Twierdzenie Sylvestera o bezwładności

Dla przestrzeni liniowych nad ciałem liczb rzeczywistych wzmocnimy Twierdzenie [link] i uzupełnimy w istotny sposób obserwację z Uwagi [link].

Uwaga (#) W przestrzeni liniowej $ (V,Q) $ nad $ \R $ istnieje baza ortogonalna $ (\ga_1,\ldots,\ga_n) $ taka, że dla $ r=\r(Q) $ i pewnego $ s\leq r $

$ (\ast) $ $ Q(\sum_{j=1}^nz_j\ga_j)=z_1^2+\ldots+z_s^2-z_{s+1}^2-\ldots-z_r^2 $,

tzn.\ diagonalna macierz Grama $ G_h(\ga_1,\ldots,\ga_n) $ formy biegunowej dla $ Q $ ma na przekątnej $ s $ jedynek, $ r-s $ minus jedynek i $ n-r $ zer.

Istotnie, zgodnie z Twierdzeniem [link] i Uwagą [link], istnieje baza ortogonalną $ (\be_1,\ldots,\be_n) $ w $ (V,Q) $ taka, że $ An(Q)=\lin(\be_{r+1},\ldots,\be_n) $. Zmieniając kolejność wektorów $ (\be_1,\ldots,\be_r) $ możemy ponadto założyć, że $ Q(\be_j)>0 $ dla $ j=1,\ldots,s $ i $ Q(\be_j)<0 $ dla $ j=s+1,\ldots,r $.

Z ortogonalności bazy $ (\be_1,\ldots,\be_n) $ wynika, że $ Q(\sum_{j=1}^ny_j\be_j)=\sum_{j=1}^nQ(y_j\be_j)=\sum_{j=1}^ry_j^2Q(\be_j) $. Kładąc $ \ga_j=\frac{1}{\sqrt{|Q(\be_j)|}}\be_j $ dla $ j\leq r $ i $ \ga_j=\be_j $ dla $ j>r $ otrzymujemy bazę ortogonalną $ (\ga_1,\ldots,\ga_n) $ spełniającą $ (\ast) $, bo $ Q(\sum_{j=1}^nz_j\ga_j)= \sum_{j=1}^rQ(z_j\frac{1}{\sqrt{|Q(\be_j)|}}\be_j)+\sum_{j=r+1}^nQ(z_j\be_j)= \sum_{j=1}^rz_j^2\frac{1}{|Q(\be_j)|}Q(\be_j) $.

Pokażemy, że wskaźniki $ s $ i $ r-s $ po prawej stronie wzoru $ (\ast) $ nie zależą od wyboru bazy.

Twierdzenie {\bf(o bezwładności).} (#) Niech $ (V,Q) $ będzie przestrzenią liniową nad $ \R $ z wyróżnioną formą kwadratową. Istnieje wówczas rozkład na sumę prostą $ V=An(Q)\oplus U\oplus W $ taki, że $ Q(\ga)>0 $ dla $ \ga\in U\setminus\set{\0} $, $ Q(\be)<0 $ dla $ \be\in W\setminus\set{\0} $, przy czym wymiary $ s_+(Q)=\dim U $, $ s_-(Q)=\dim W $ nie zależą od wyboru $ U $ i $ W $ w tym rozkładzie.
Dowód: Jeśli $ (\ga_1,\ldots,\ga_n) $, $ r $ i $ s $ są takie jak w Uwadze [link], $ V_+=\lin(\ga_1,\ldots,\ga_s) $, $ V_-=\lin(\ga_{s+1},\ldots,\ga_r) $ oraz $ An(Q)=\lin(\ga_{r+1},\ldots,\ga_n) $, to z $ (\ast) $ mamy

$ (\ast\ast) $ $ Q(\ga)>0 \mbox{ dla } \ga\in V_+\setminus\set{\0} \mbox{ i }  Q(\be)<0 \mbox{ dla } \be\in V_-\setminus\set{\0}, $

co pokazuje, że rozkład $ V=An(Q)\oplus V_+\oplus V_- $ spełnia warunki twierdzenia.

Niech $ V=An(Q)\oplus U\oplus W $ będzie dowolnym rozkładem $ V $ takim, że forma $ Q $ jest dodatnia na $ U\setminus\set{\0} $ i ujemna na $ W\setminus\set{\0} $. Wtedy forma $ Q $ jest niedodatnia na $ An(Q)\oplus W $ (i nieujemna na $ An(Q)\oplus U $), bo dla $ \al+\be\in An(Q)\oplus W $, z $ \al\perp\be $ mamy $ Q(\al+\be)=Q(\al)+Q(\be)\leq 0 $ (i podobnie dla $ \al+\ga\in An(Q)\oplus U $).

Z $ (\ast\ast) $ mamy więc $ V_+\cap (An(Q)\oplus W)=\set{\0} $, co daje $ \dim V_+\leq \dim U $ (i analogicznie, $ \dim V_-\leq \dim W $, bo $ V_-\cap (An(Q)\oplus U)=\set{\0} $), a ponieważ $ \dim V_++\dim V_-=\dim U+\dim W=n-r $, otrzymujemy stąd $ \dim U=\dim V_+ $ oraz $ \dim W=\dim V_- $. □

Twierdzenie o bezwładności pozwala, jak zobaczymy w [link], na prostą klasyfikację macierzy symetrycznych w $ \M{n}{n}{\R} $ z dokładnością do relacji kongruencji.

Definicja Sygnaturą formy kwadratowej nazywa się liczbę $ s(Q)=s_+(Q)-s_-(Q) $.

Zauważmy, że ponieważ $ \r(Q)=s_+(Q)+s_-(Q) $\ ,

$$s_+(Q)=\frac{1}{2}(\r(Q)+s(Q))\ , \quad s_-(Q)=\frac{1}{2}(\r(Q)-s(Q))$$
Uwaga (#) Niech $ J_{s,r}\in\M{n}{n}{\R} $ będzie macierzą diagonalną mającą na przekątnej kolejno $ s $ jedynek, $ r-s $ minus jedynek i $ n-r $ zer. Macierz symetryczna $ A=A^T\in\M{n}{n}{\R} $ jest kongruentna z macierzą $ J_{s,r} $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla formy kwadratowej $ Q:\R^n\to \R $ danej wzorem $ Q(X)=X^TAX $ mamy $ r=\r(Q) $ i $ s=s_+(Q) $.

Istotnie, macierz $ A $ jest kongruentna z macierzą $ J_{s,r} $ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje izomorfizm liniowy $ S:\R^n\to\R^n $ taki, że $ Q\circ S(Z)=Z^TJ_{s,r}\,Z $ zob.\ Uwaga [link] (b).

Interpretując $ S^{-1} $ jako układ współrzędnych $ \ta:\R^n\to\R^n $ związany z bazą $ (S(\ep_1),\ldots,S(\ep_n)) $, zob.\ Uwaga [link], widzimy, że jest to równoważne istnieniu opisanej w Uwadze [link] bazy ortogonalnej w przestrzeni $ (\R^n,Q) $. Z definicji sygnatury, istnienie takiej bazy oznacza, że $ \r(Q)=r $ i $ s_+(Q)=s $.

Na zakończenie podamy ważną charakteryzację dodatniej określoności form kwadratowych - kryterium Sylvestera.

Uwaga Niech $ A=A^T\in\M{n}{n}{\R} $, niech $ \Delta_1,\ldots,\Delta_n $ będą minorami wiodącymi macierzy $ A $ (zob.\ [link]) i niech $ Q(X)=X^TAX $.

  • [(a)] Forma kwadratowa $ Q $ jest dodatnio określona, tzn.\ ma sygnaturę $ s(Q)=n $, wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie minory $ \Delta_j $ są dodatnie i wówczas forma biegunowa dla $ Q $, $ h(X,Y)=X^TAY $ jest iloczynem skalarnym w $ \R^n $.
  • [(b)] Forma kwadratowa $ Q $ jest ujemnie określona, tzn.\ ma sygnaturę $ s(Q)=-n $, wtedy i tylko wtedy, gdy $ (-1)^j\Delta_j>0 $ dla $ j=1,2,\ldots $\,.

Istotnie, jeśli forma $ Q $ jest dodatnio określona, to forma biegunowa $ h(X,Y)=X^TAY $ jest iloczynem skalarnym, więc wszystkie minory $ \Delta_j $ są dodatnie jako wyznaczniki macierzy Grama $ G_h(\ep_1,\ldots,\ep_j) $, zob.\ Twierdzenie [link]. Jeśli forma $ Q $ jest ujemnie określona, to $ -h $ jest iloczynem skalarnym, więc wszystkie minory wiodące macierzy $ -A $ są dodatnie. Implikacje odwrotne wynikają z Twierdzenia [link].