Twierdzenie Weierstrassa

W tej części wyjaśnimy pominięte w tekście elementy dowodów związane z twierdzeniem Weierstrassa o istnieniu ekstremów funkcji ciągłych.

Zaczniemy od Lematu [link] użytego w dowodzie zasadniczego twierdzenia algebry.

Lemat (#)

Dla wielomianu zespolonego $ w(z)=a_0+a_1z+\ldots+z^n $ i $ K=\set{z\in\c:|\Re z|,|\Im z|\leq M} $ istnieje $ z_0\in K $ takie, że $ |w(z_0)|= \inf\set{|w(z)|: z\in K} $.

Dowód: Zaczniemy od warunku (ustalającego ciągłość funkcji $ |w(z)| $ zmiennej zespolonej). Dla każdego ciągu $ (z_m)_{m} $ liczb zespolonych

$ (\ast) $ $ \lim_{m}|z_m-z_0|= 0 \ \Rightarrow \ \lim_m |w(z_m)|=|w(z_0)| $.

Istotnie, dla $ h\in\c $ mamy $ w(z_0+h)-w(z_0)=A_1h+\ldots+A_nh^n $,

stąd $ |\,|w(z_0+h)|-|w(z_0)|\,|\leq |w(z_0+h)-w(z_0)|\leq |h|(|A_1|+\ldots+|A_n||h|^{n-1}) $.

Podstawiając w tej nierówności za $ h $ różnicę $ z_m-z_0 $ dostajemy $ (\ast) $.

Niech

$$\mu=\inf\set{|w(z)|:z\in K}.$$

Dla $ m=1,2,\ldots $ wybierzmy $ z_m=a_m+ib_m\in K $ tak, by ciąg $ (|w(z_m)|)_m $ zbiegał do $ \mu $. Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa możemy założyć, przechodząc w razie potrzeby do podciągu, że ciąg $ (a_m)_m $ jest zbieżny do pewnego $ a_0 $ z przedziału $ [-M,M] $. Przechodząc ponownie do podciągu możemy ponadto założyć, że ciąg $ (b_m)_m $ jest zbieżny do pewnego $ b_0\in[-M,M] $. Dla $ z_0=a_0+ib_0 $ mamy $ |z_m-z_0|=\sqrt{(a_m-a_0)^2+(b_m-b_0)^2} $, więc $ \lim_m |z_m-z_0|=0 $, a stąd i z $ (\ast) $ dostajemy $ \mu=\lim_m |w(z_m)|=|w(z_0)| $. □

W dowodzie Twierdzenia [link] korzystaliśmy z pewnej własności funkcji na sferze jednostkowej w liniowej przestrzeni euklidesowej, analogicznej do udowodnionej w Lemacie [link]. Podamy teraz uzasadnienie tej własności, przy czym podobieństwo do dowodu Lematu [link] nie jest przypadkowe - obie własności wynikają z twierdzenia Weierstrassa o funkcjach ciągłych na zwartych przestrzeniach metrycznych.

Lemat (#) Dla endomorfizmu $ \vp:V\to V $ liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ istnieje wektor $ \be\in V $ taki, że $ ||\be||=1 $ \ oraz \ $ \is{\be}{\vp(\be)}= \sup\set{\is{\al}{\vp(\al)}:||\al||=1} $.
Dowód: Połóżmy $ Q(\al)=\is{\al}{\vp(\al)} $ dla $ \al\in V $. Sprawdzimy najpierw, że dla każdego ciągu wektorów $ (\al_m)_{m} $ takich, że $ ||\al_m||=1 $

$ (\ast)<table class="displaymath"><tr><td class="dspleft"><img class="teximage" src="/sites/default/files/tex/1646f273d133af3e7b773af503e0dbbf53529a72.png" alt="10bea508a228f58e70871e183e4b4be4:1:" /></td><td class="dspright"></td></tr></table>\mu=\sup\set{Q(\al):||\al||=1}. $$

Dla $ m=1,2,\ldots $ wybierzmy wektory $ \al_m $ o normie $ 1 $ tak, by ciąg $ (Q(\al_m))_m $ zbiegał do $ \mu $. Podobnie jak w dowodzie Lematu [link] wystarczy teraz pokazać, że dla pewnego podciągu $ (\al_{m_k})_k $ istnieje $ \be\in V $ takie, że $ \lim_k||\al_{m_k}-\be||=0 $, bo z warunku $ |\,||\al_m||-||\be||\,|\leq ||\al_m-\be|| $ wynika, że wtedy także $ ||\be||=1 $.

Udowodnimy przez indukcję ze względu na $ \dim V $, że dla każdego ciągu wektorów $ V $ o normie $ \leq 1 $ można znaleźć taki podciąg $ (\al_{m_k})_k $ i wektor $ \be $. Dla przestrzeni jednowymiarowych teza wynika z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa. Załóżmy, że $ \dim V>1 $ i teza jest prawdziwa dla przestrzeni wymiaru mniejszego niż $ \dim V $.

Niech $ V=W\oplus L $ będzie sumą ortogonalną, gdzie $ \dim L=1 $ i niech $ \al_m=\be_m+\ga_m $ będzie rozkładem $ \al_m $ na ortogonalne składowe. Z założenia indukcyjnego wynika, że ciąg $ (\be_m)_m $ zawiera podciąg $ (\be_{m_j})_j $ taki, że $ \lim_j||\be_{m_j}-\be_0||=0 $ dla pewnego $ \be_0\in W $. Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa możemy wybrać z ciągu $ (\ga_{m_j})_j $ podciąg $ (\ga_{m_{j_k}})_k $ zbieżny do pewnego $ \ga_0\in L $. Dla wektora $ \be=\be_0+\ga_0 $ mamy wówczas $ \lim_k||\al_{m_{j_k}}-\be||=0 $. □