W tej części wyjaśnimy pominięte w tekście elementy dowodów związane z twierdzeniem Weierstrassa o istnieniu ekstremów funkcji ciągłych.
Zaczniemy od Lematu [link] użytego w dowodzie zasadniczego twierdzenia algebry.
Dla wielomianu zespolonego i
istnieje
takie, że
.


.
Istotnie, dla mamy
,
stąd .
Podstawiając w tej nierówności za różnicę
dostajemy
.
Niech
![]() |
Dla wybierzmy
tak, by ciąg
zbiegał do
. Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa możemy założyć, przechodząc w razie potrzeby do podciągu, że ciąg
jest zbieżny do pewnego
z przedziału
. Przechodząc ponownie do podciągu możemy ponadto założyć, że ciąg
jest zbieżny do pewnego
. Dla
mamy
, więc
, a stąd i z
dostajemy
. □
W dowodzie Twierdzenia [link] korzystaliśmy z pewnej własności funkcji na sferze jednostkowej w liniowej przestrzeni euklidesowej, analogicznej do udowodnionej w Lemacie [link]. Podamy teraz uzasadnienie tej własności, przy czym podobieństwo do dowodu Lematu [link] nie jest przypadkowe - obie własności wynikają z twierdzenia Weierstrassa o funkcjach ciągłych na zwartych przestrzeniach metrycznych.




$
Dla wybierzmy wektory
o normie
tak, by ciąg
zbiegał do
. Podobnie jak w dowodzie Lematu [link] wystarczy teraz pokazać, że dla pewnego podciągu
istnieje
takie, że
, bo z warunku
wynika, że wtedy także
.
Udowodnimy przez indukcję ze względu na , że dla każdego ciągu wektorów
o normie
można znaleźć taki podciąg
i wektor
. Dla przestrzeni jednowymiarowych teza wynika z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa. Załóżmy, że
i teza jest prawdziwa dla przestrzeni wymiaru mniejszego niż
.
Niech będzie sumą ortogonalną, gdzie
i niech
będzie rozkładem
na ortogonalne składowe. Z założenia indukcyjnego wynika, że ciąg
zawiera podciąg
taki, że
dla pewnego
. Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa możemy wybrać z ciągu
podciąg
zbieżny do pewnego
. Dla wektora
mamy wówczas
. □