Układ bazowy, baza punktowa

W Uwadze [link] (a) odnotowaliśmy, że wybranie punktu początkowego $ p\in E $ ustala wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość punktów $ E $ z wektorami z $ \s E $, $ q\to\ve{pq} $. Dodatkowy wybór bazy w $ \s{E} $ pozwala więc przyporządkować każdemu punktowi współrzędne.

Definicja Układem bazowym w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \K $ nazywamy układ $ (p;\al_1,\ldots,\al_n) $ taki, że $ p\in E $, a $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ jest bazą $ \s E $.
Definicja Bazą punktową w przestrzeni afinicznej $ E $ nad $ \K $ nazywamy układ punktów $ (p_0,\ldots,p_n) $ taki, że $ (p_0;\ve{p_0p_1},\ldots,\ve{p_0p_n}) $ jest układem bazowym w $ E $.

Jeśli $ (p_0,p_1,\ldots,p_n) $ jest bazą punktową $ E $, to punkt $ q\in E $ można jednoznacznie zapisać w układzie bazowym $ (p_0;\ve{p_0p_1},\ldots,\ve{p_0p_n}) $ w postaci $ q=p_0+\sum_{j=1}^na_j\ve{p_0p_j} $. Wtedy $ q=\sum_{j=0}^na_jp_j $ jest kombinacją afiniczną $ (p_0,p_1,\ldots,p_n) $, w której waga $ a_0=1-\sum_{j=1}^n a_j $ jest dobrana tak, by suma wag była jednością. Wagi $ a_0,\ldots,a_n $ nazywamy współrzędnymi barycentrycznymi punktu $ q $.

Zbiór współrzędnych barycentrycznych, interpretowanych jako elementy $ \K^{n+1} $, tworzy w tej przestrzeni hiperpłaszczyznę opisaną równaniem $ \sum_{j=0}^nx_j=1 $.