Układy równań, macierze

W tej części opiszemy metodę rozwiązywania układów $ m $ równań z $ n $ niewiadomymi o współczynnikach rzeczywistych, tzn.\ układów

$ (\ast)\hspace*{70pt}\left\{  \begin{array}{ccccccccc}      a_{11}x_1& + &     a_{12}x_2 & + & \cdots & + & a_{1n} x_n& = & b_1 \\      a_{21}x_1& + &     a_{22}x_2 & + & \cdots & + & a_{2n} x_n& = & b_2 \\      \vdots   &   &       \vdots  &    &        &  & \vdots     &   & \vdots\\      a_{m1}x_1& + &     a_{m2}x_2 & + & \cdots & + & a_{mn} x_n& = & b_m \\  \end{array} \right. $\ ,

gdzie $ a_{ij}\in\R $ są stałymi współczynnikami, $ b_i\in\R $ są stałymi wyrazami wolnymi, a symbole $ x_j $ oznaczają niewiadome.

Definicja (#) Jeśli wszystkie wyrazy wolne $ b_i $ sa zerami, to układ jest jednorodny.

Współczynniki układu $ (\ast) $ można zapisać w postaci $ (m\times n) $-macierzy

$$\left[\begin{array}{ccccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots & \vdots &  & \vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}  \end{array}\right]; $$

współczynnik $ a_{ij} $ nazywamy $ (i,j) $-tym wyrazem macierzy, a $ (m\times 1) $-macierze i $ (1\times n) $-macierze

$$\mk{c}{a_{1j}\\a_{2j}\\\ldots\\a_{mj}}\mbox{ \ i \ }  [a_{i1},a_{i2},\ldots,a_{in}]$$

nazywamy odpowiednio $ j $-tą kolumną i $ i $-tym wierszem macierzy.

Następujące dwie interpretacje będą odgrywały w przyszłości ważną rolę.

Niech $ \R^m $ będzie przestrzenią kolumn o $ m $ elementach, tzn.\ $ (m\times 1) $-macierzy. Elementy $ \R^m $ będziemy nazywali wektorami wymiaru $ m $, a wyraz takiego wektora stojący w $ i $-tym wierszu jego $ i $-tą współrzędną. Wektor, który ma wszystkie współrzędne zerowe nazywamy {\em wektorem zerowym} i oznaczamy symbolem \nolinebreak $ \0 $. Wektory z $ \R^m $ dodajemy, sumując $ i $-te współrzędne i mnożymy przez liczby (lub symbole $ x $), mnożąc każdą współrzędną osobno.

Tak więc układ ($ \ast $) zapisuje się w postaci

\[  (\ast w)\hspace*{80pt}  x_1\left[\begin{array}{c}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{m1} \end{array}\right]+  x_2\left[\begin{array}{c}a_{12}\\a_{22}\\ \vdots \\a_{m2} \end{array}\right]+\ldots+  x_n\left[\begin{array}{c}a_{1n}\\a_{2n}\\ \vdots \\a_{mn} \end{array}\right]=  \left[\begin{array}{c}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m  \end{array}\right]. \]

Określając iloczyn macierzy o $ n $ kolumnach przez wektor wymiaru $ n $ o współrzędnych $ x_i $ wzorem

$$\left[\begin{array}{ccccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots & \vdots &  & \vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}  \end{array}\right]  \left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ \vdots \\x_n  \end{array}\right]=  x_1\left[\begin{array}{c}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{m1} \end{array}\right]+  x_2\left[\begin{array}{c}a_{12}\\a_{22}\\ \vdots \\a_{m2} \end{array}\right]+\ldots+  x_n\left[\begin{array}{c}a_{1n}\\a_{2n}\\ \vdots \\a_{mn} \end{array}\right]$$

i przyjmując oznaczenia

$$A=\left[\begin{array}{ccccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots & \vdots &  & \vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}  \end{array}\right],\quad X=\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ \vdots \\x_n  \end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}{c}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m  \end{array}\right], $$

układ równań ($ \ast $) można zapisać w postaci

\[ (\ast m)\hspace*{200pt}AX=B. \]

Tak więc rozwiązanie układu ($ \ast $) polega na wyznaczeniu, o ile istnieją, wszystkich wektorów $ X $ takich, że wektor wyrazów wolnych $ B $ jest iloczynem macierzy współczynników $ A $ i wektora $ X $.

Definicja (#) Układ równań $ AX=B $, który nie ma rozwiązań nazywamy sprzecznym.