Warunek Jacobiego

Algorytm Lagrange'a przebiega szczególnie prosto dla macierzy symetrycznych spełniających następujący warunek.

Definicja (#) Macierz symetryczna $ A=[a_{ij}]_{i,j=1}^n $ spełnia warunek Jacobiego, jeśli dla $ k=1,\ldots,n $, \ $ \Delta_k=\det [a_{ij}]_{i,j=1}^k\neq0 $; wyznaczniki $ \Delta_k $ nazywamy minorami wiodącymi macierzy $ A $.
Twierdzenie (#) Jeśli $ A=A^T\in\M{n}{n}{\K} $ jest macierzą symetryczną spełniającą warunek Jacobiego, to istnieje macierz odwracalna $ C $ taka, że iloczyn $ C^TAC $ jest macierzą diagonalną mającą na przekątnej wyrazy $ \Delta_1, \frac{\Delta_2}{\Delta_{1}},\ldots, \frac{\Delta_n}{\Delta_{n-1}} $.
Dowód: Dla macierzy symetrycznej $ A $ spełniającej warunek Jacobiego, w algorytmie Lagrange'a przedstawionym w poprzedniej części, wykonuje się jedynie operacje opisane w (I), bo $ a_{11}=\Delta_1\neq 0 $ i wykonywane w (I) operacje elementarne typu (I)$ _{a(1)+(i)} $ nie zmieniają żadnego z minorów $ \Delta_k $ (działamy tylko pierwszym wierszem lub kolumną na dalsze wiersze lub kolumny). W szczególności $ d_1=\Delta_1 $ i $ \Delta_2=d_1d_2 $, gdzie $ d_2 $ jest wyrazem w lewym górnym rogu macierzy $ A_1 $, co pokazuje, że $ d_2\neq 0 $, więc w kolejnym kroku również można się ograniczyć do zachowujących minory $ \Delta_k $ operacji elementarnych.

Po $ n-1 $ takich krokach dostajemy macierz $ M $ taką, że $ MAM^T $ jest macierzą diagonalną mającą na przekątnej wyrazy $ d_1,d_2,\ldots,d_n $ oraz minory wiodące takie jak odpowiednie minory wiodące macierzy $ A $, a stąd $ \Delta_k=d_1\cdot\ldots\cdot d_k $, czyli $ d_k=\frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}} $, dla $ k>1 $. □

Zauważmy, że w dowodzie założenie $ \Delta_n\neq 0 $ nie było wykorzystywane, więc założenia twierdzenia możemy nieco osłabić, do warunku $ \Delta_k\neq 0 $ dla $ k<n $.