Wyznacznik Grama i objętość | Portal Dydaktyczny dla Matematyków

W tej części wyjaśnimy, że moduł wyznacznika macierzy kwadratowej można interpretować jako objętość równoległościanu rozpiętego na wierszach (równoważnie - kolumnach) tej macierzy w wielowymiarowej przestrzeni euklidesowej. Ważnym elementem naszych rozważań jest wyznacznik Grama wprowadzony poniżej.

Definicja (#) Macierzą Grama układu wektorów $(\al_1,\ldots,\al_m)$ w liniowej przestrzeni euklidesowej $(V,\is{\ }{\,})$ nazywamy $(m\times m)$ -macierz

$G(\al_1,\ldots,\al_m)=\mk{ccc}{\is{\al_1}{\al_1}& \cdots&\is{\al_1}{\al_m}\\ \vdots&&\vdots\\ \is{\al_m}{\al_1}&\cdots& \is{\al_m}{\al_m}}.$

Wyznacznik $\Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)=\det (G(\al_1,\ldots,\al_m))$ nazywamy wyznacznikiem Grama układu $(\al_1,\ldots,\al_m)$ .

Uwaga (#) Macierz Grama $G(\al_1,\ldots,\al_m)$ układu wektorów w $(V,\is{\ }{\,})$ wyznacza wartości iloczynu skalarnego na $\lin(\al_1,\ldots,\al_m)$ : \ dla $\al=\sum_ia_{i}\al_i$ , $\be=\sum_ja_{j}\al_j$ ,

$\is{\al}{\be}= \is{\sum_ia_{i}\al_i}{\sum_jb_{j}\al_j}= \sum_{ij}a_{i}b_j\is{\al_i}{\al_j}= [a_{1},\ldots,a_{m}]G(\al_1,\ldots,\al_m)\mk{c}{b_{1}\\\vdots\\b_{m}}.$

Lemat (#) Niech $(\al_1,\ldots,\al_m)$ będzie układem wektorów w $(V,\is{\ }{\,})$ i niech $\be_k=\sum_ia_{ik}\al_i$ , $k\leq m$ . Wówczas $\Gamma(\be_1,\ldots,\be_m)=(\det A)^2\, \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)$ , dla macierzy $A=[a_{ij}]_{i,j=1}^m$ .

Dowód: Niech $A=[A_1,\ldots,A_m]$ (tzn.\ $A_k$ jest $k$ -tą kolumną macierzy $A$ ) i połóżmy $G(\al_1,\ldots,\al_m)=G$ . Zgodnie z Uwagą [link], $(k,l)$ -ty wyraz macierzy $G(\be_1,\ldots,\be_m)$ ma postać $\is{\be_k}{\be_l}=A_k^T G A_l$ , więc $G(\be_1,\ldots,\be_m)=A^TG A$ , a \nolinebreak stąd $\Gamma(\be_1,\ldots,\be_m)=\det A^T \det G\, \det A=(\det A)^2\, \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)$ . □

Uwaga (#) Jeśli układ $(\al_1,\ldots,\al_m)$ jest liniowo zależny, to $\Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)=0$ , bo wówczas wiersze macierzy $G(\al_1,\ldots,\al_m)$ są liniowo zależne.

Jak wynika w szczególności z kolejnego twierdzenia, wyznacznik Grama układu liniowo niezależnego jest dodatni.

Twierdzenie (#) Niech $(\al_1,\ldots,\al_m)$ będzie układem wektorów w liniowej przestrzeni euklidesowej $(V,\is{\ }{\,})$ . Jeśli układ wektorów $(\be_1,\ldots,\be_m)$ otrzymuje się w procesie ortogonalizacji Grama-Schmidta z \nolinebreak układu $(\al_1,\ldots,\al_m)$ , to $\Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)=\Gamma(\be_1,\ldots,\be_m)= ||\be_1||^2\cdot\ldots\cdot||\be_m||^2$ .

Dowód: Zgodnie z formułą (1) w Twierdzeniu [link] $\al_k=\sum_i a_{ik}\be_i$ , gdzie macierz $A=[a_{ij}]_{i,j=1}^m$ ma na głównej przekątnej jedynki, a pod główną przekątną zera. Zatem $\det A=1$ i z Lematu [link] mamy $\Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)=\Gamma(\be_1,\ldots,\be_m)$ . Ponadto macierz $G(\be_1,\ldots,\be_m)$ jest diagonalna i ma na głównej przekątnej wyrazy $\is{\be_i}{\be_i}=||\be_i||^2$ , więc $\Gamma(\be_1,\ldots,\be_m)=||\be_1||^2\cdot\ldots\cdot||\be_m||^2$ . □

Stwierdzenie (#) Niech $W$ będzie podprzestrzenią liniowej przestrzeni euklidesowej $(V,\is{\ }{\,})$ rozpiętą na liniowo niezależnym układzie $(\al_1,\ldots,\al_m)$ i niech $P:V\to W$ będzie rzutem ortogonalnym $V$ na $W$ . Wówczas dla $\al\in V$ ,

$||\al-P(\al)||= \sqrt{\frac{\Gamma(\al_1,\ldots,\al_m,\al)}{\Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)}}\,.$

Dowód: Jeśli $\al\in W$ , to po obu stronach równości mamy zero, zob.\ Uwaga [link]. Niech $\al\not\in W$ i niech układ $(\be_1,\ldots,\be_m,\be)$ będzie wynikiem ortogonalizacji Grama-Schmidta układu $(\al_1,\ldots,\al_m,\al)$ . Wówczas $\be=\al-P(\al)$ oraz

$\Gamma(\al_1,\ldots,\al_m,\al)= ||\be_1||^2\cdot\ldots\cdot||\be_m||^2\cdot||\be||^2$ \ \ i \ \ $\Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)= ||\be_1||^2\cdot\ldots\cdot||\be_m||^2$ ,

co dowodzi tezy. □

Uwaga Wyznacznik Grama układu wektorów nie zależy od ich kolejności.

Istotnie, niech $(\al_1,\ldots,\al_m)$ będzie układem wektorów w $(V,\is{\ }{\,})$ i $\pi:\set{1,\ldots,m}\to\set{1,\ldots,m}$ permutacją. Wówczas $\al_{\pi(j)}=\sum_i a_{ij}\al_i$ , gdzie $A=[a_{ij}]_{ij=1}^m$ jest macierzą powstałą z permutacji kolumn macierzy jednostkowej. Zatem $(\det A)^2=1$ i zgodnie z Lematem [link], $\Gamma(\al_{\pi(1)},\ldots,\al_{\pi(m)})= \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)$ .

Dla układu wektorów $(\al_1,\ldots,\al_m)$ w liniowej przestrzeni euklidesowej $(V,\is{\ }{\,})$ równoległościanem rozpiętym na tym układzie nazywamy zbiór

$R(\al_1,\ldots,\al_m)=\set{\sum_{i=1}^m t_i\al_i:t_i\in[0,1]}.$

Jeśli układ $(\al_1,\al_2,\al_3)$ jest liniowo niezależny, to $R(\al_1,\al_2)$ jest równoległobokiem na płaszczyźnie $\lin(\al_1,\al_2)$ , a $R(\al_1,\al_2,\al_3)$ jest równoległościanem w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej $\lin(\al_1,\al_2,\al_3)$ .

Zgodnie z określeniem przyjętym w geometrii euklidesowej objętość równoległościanu $R(\al_1,\ldots,\al_m)$ (dla $m=2$ , pole równoległoboku $R(\al_1,\al_2)$ ) powinna być równa iloczynowi objętości podstawy $R(\al_1,\ldots,\al_{m-1})$ przez wysokość $||\al_m-P(\al_m)||$ , gdzie $P(\al_m)$ jest rzutem ortogonalnym $\al_m$ na przestrzeń $\lin(\al_1,\ldots,\al_{m-1})$ rozpiętą na podstawie.

Definicja (#) Objętością ( $n$ -wymiarową) układu $(\al_1,\ldots,\al_{m})$ w liniowej przestrzeni euklidesowej $(V,\is{\ }{\,})$ nazywamy liczbę

${\rm vol}(\al_1,\ldots,\al_{m})= \sqrt{\Gamma(\al_1,\ldots,\al_{m})}.$

Natychmiastową konsekwencją Wniosku [link] jest

Stwierdzenie Funkcja ${\rm vol}(\al_1,\ldots,\al_{m})$ jest jedyną funkcją, która układowi wektorów $(\al_1,\ldots,\al_{m})$ w liniowej przestrzeni euklidesowej $(V,\is{\ }{\,})$ przyporządkowuje liczbę nieujemną w taki sposób, że

$(1)$ \qquad ${\rm vol}(\al)=||\al||$

$(2)$ \qquad ${\rm vol}(\al_1,\ldots,\al_{m})= ||\al_m-P(\al_m)||\,{\rm vol}(\al_1,\ldots,\al_{m-1})$ ,

gdzie $P$ jest rzutem ortogonalnym przestrzeni $V$ na podprzestrzeń $\lin(\al_1,\ldots,\al_{m-1})$ .

Uwaga Rozważmy kartezjańską przestrzeń euklidesową z Przykładu [link] (a) i niech $A\in\M{n}{n}{\K}$ będzie macierzą o kolumnach $A_1,\ldots,A_n$ .

Wtedy $G(A_1,\ldots,A_n)=A^TA$ , więc $\Gamma(A_1,\ldots,A_n)=(\det A)^2$ i mamy

${\rm vol}(A_1,\ldots,A_n)=|\det A|.$

Następująca obserwacja pokazuje, że moduł wyznacznika endomorfizmu liniowej przestrzeni euklidesowej można interpretować jako współczynnik zmiany objętości przy tym endomorfizmie pełnowymiarowych równoległościanów.

Twierdzenie Niech $\vp:V\to V$ będzie endomorfizmem liniowej przestrzeni euklidesowej $(V\is{\ }{\,})$ . Dla dowolnej bazy $(\al_1,\ldots,\al_n)$ w $V$ zachodzi wówczas równość

${\rm vol}(\vp(\al_1),\ldots,\vp(\al_{n}))=|\det \vp|\cdot{\rm vol}(\al_1,\ldots,\al_{n})$ .

Dowód: Niech $A=[a_{ij}]_{i,j=1}^m$ będzie macierzą endomorfizmu $\vp$ w układzie współrzędnych związanym z bazą $(\al_1,\ldots,\al_{n})$ przestrzeni $V$ , tzn. $\vp(\al_j)=\sum_i a_{ij}\al_i$ . Z Lematu [link]

$\Gamma(\vp(\al_1),\ldots,\vp(\al_{n}))=(\det A)^2\cdot\Gamma(\al_1,\ldots,\al_{n})$ ,

a ponieważ $\det\vp=\det A$ , otrzymujemy tezę twierdzenia. □