W tej części wyjaśnimy, że moduł wyznacznika macierzy kwadratowej można interpretować jako objętość równoległościanu rozpiętego na wierszach (równoważnie - kolumnach) tej macierzy w wielowymiarowej przestrzeni euklidesowej. Ważnym elementem naszych rozważań jest wyznacznik Grama wprowadzony poniżej.



![]() |
Wyznacznik nazywamy wyznacznikiem Grama układu
.
![$ A=[A_1,\ldots,A_m] $](/sites/default/files/tex/ca729d8f4e94ca458ddbcbbf99b60184ba89f8a4.png)









Jak wynika w szczególności z kolejnego twierdzenia, wyznacznik Grama układu liniowo niezależnego jest dodatni.






![$ A=[a_{ij}]_{i,j=1}^m $](/sites/default/files/tex/a9141189efe59724b1f589fd3a5ef99b8956d7ee.png)












![]() |





\ \ i \ \
,
co dowodzi tezy. □
Istotnie, niech będzie układem wektorów w
i
permutacją. Wówczas
, gdzie
jest macierzą powstałą z permutacji kolumn macierzy jednostkowej. Zatem
i zgodnie z Lematem [link],
.
Dla układu wektorów w liniowej przestrzeni euklidesowej
równoległościanem rozpiętym na tym układzie nazywamy zbiór
Jeśli układ jest liniowo niezależny, to
jest równoległobokiem na płaszczyźnie
, a
jest równoległościanem w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej
.
Zgodnie z określeniem przyjętym w geometrii euklidesowej objętość równoległościanu (dla
, pole równoległoboku
) powinna być równa iloczynowi objętości podstawy
przez wysokość
, gdzie
jest rzutem ortogonalnym
na przestrzeń
rozpiętą na podstawie.
Natychmiastową konsekwencją Wniosku [link] jest



\qquad
\qquad
,
gdzie jest rzutem ortogonalnym przestrzeni
na podprzestrzeń
.


Wtedy , więc
i mamy
Następująca obserwacja pokazuje, że moduł wyznacznika endomorfizmu liniowej przestrzeni euklidesowej można interpretować jako współczynnik zmiany objętości przy tym endomorfizmie pełnowymiarowych równoległościanów.




.
![$ A=[a_{ij}]_{i,j=1}^m $](/sites/default/files/tex/a9141189efe59724b1f589fd3a5ef99b8956d7ee.png)




,
a ponieważ , otrzymujemy tezę twierdzenia. □