Wyznacznik Grama i objętość

W tej części wyjaśnimy, że moduł wyznacznika macierzy kwadratowej można interpretować jako objętość równoległościanu rozpiętego na wierszach (równoważnie - kolumnach) tej macierzy w wielowymiarowej przestrzeni euklidesowej. Ważnym elementem naszych rozważań jest wyznacznik Grama wprowadzony poniżej.

Definicja (#) Macierzą Grama układu wektorów $ (\al_1,\ldots,\al_m) $ w liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ nazywamy $ (m\times m) $-macierz

$$G(\al_1,\ldots,\al_m)=\mk{ccc}{\is{\al_1}{\al_1}& \cdots&\is{\al_1}{\al_m}\\ \vdots&&\vdots\\ \is{\al_m}{\al_1}&\cdots& \is{\al_m}{\al_m}}.$$

Wyznacznik $ \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)=\det (G(\al_1,\ldots,\al_m)) $ nazywamy wyznacznikiem Grama układu $ (\al_1,\ldots,\al_m) $.

Uwaga (#) Macierz Grama $ G(\al_1,\ldots,\al_m) $ układu wektorów w $ (V,\is{\ }{\,}) $ wyznacza wartości iloczynu skalarnego na $ \lin(\al_1,\ldots,\al_m) $: \ dla $ \al=\sum_ia_{i}\al_i $, $ \be=\sum_ja_{j}\al_j $,

$$\is{\al}{\be}= \is{\sum_ia_{i}\al_i}{\sum_jb_{j}\al_j}= \sum_{ij}a_{i}b_j\is{\al_i}{\al_j}= [a_{1},\ldots,a_{m}]G(\al_1,\ldots,\al_m)\mk{c}{b_{1}\\\vdots\\b_{m}}.$$
Lemat (#) Niech $ (\al_1,\ldots,\al_m) $ będzie układem wektorów w $ (V,\is{\ }{\,}) $ i niech $ \be_k=\sum_ia_{ik}\al_i $, $ k\leq m $. Wówczas $ \Gamma(\be_1,\ldots,\be_m)=(\det A)^2\, \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m) $, dla macierzy $ A=[a_{ij}]_{i,j=1}^m $.
Dowód: Niech $ A=[A_1,\ldots,A_m] $ (tzn.\ $ A_k $ jest $ k $-tą kolumną macierzy $ A $) i połóżmy $ G(\al_1,\ldots,\al_m)=G $. Zgodnie z Uwagą [link], $ (k,l) $-ty wyraz macierzy $ G(\be_1,\ldots,\be_m) $ ma postać $ \is{\be_k}{\be_l}=A_k^T G A_l $, więc $ G(\be_1,\ldots,\be_m)=A^TG A $, a \nolinebreak stąd $ \Gamma(\be_1,\ldots,\be_m)=\det A^T \det G\, \det A=(\det A)^2\, \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m) $. □
Uwaga (#) Jeśli układ $ (\al_1,\ldots,\al_m) $ jest liniowo zależny, to $ \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)=0 $, bo wówczas wiersze macierzy $ G(\al_1,\ldots,\al_m) $ są liniowo zależne.

Jak wynika w szczególności z kolejnego twierdzenia, wyznacznik Grama układu liniowo niezależnego jest dodatni.

Twierdzenie (#) Niech $ (\al_1,\ldots,\al_m) $ będzie układem wektorów w liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $. Jeśli układ wektorów $ (\be_1,\ldots,\be_m) $ otrzymuje się w procesie ortogonalizacji Grama-Schmidta z \nolinebreak układu $ (\al_1,\ldots,\al_m) $, to $ \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)=\Gamma(\be_1,\ldots,\be_m)= ||\be_1||^2\cdot\ldots\cdot||\be_m||^2 $.
Dowód: Zgodnie z formułą (1) w Twierdzeniu [link] $ \al_k=\sum_i a_{ik}\be_i $, gdzie macierz $ A=[a_{ij}]_{i,j=1}^m $ ma na głównej przekątnej jedynki, a pod główną przekątną zera. Zatem $ \det A=1 $ i z Lematu [link] mamy $ \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)=\Gamma(\be_1,\ldots,\be_m) $. Ponadto macierz $ G(\be_1,\ldots,\be_m) $ jest diagonalna i ma na głównej przekątnej wyrazy $ \is{\be_i}{\be_i}=||\be_i||^2 $, więc $ \Gamma(\be_1,\ldots,\be_m)=||\be_1||^2\cdot\ldots\cdot||\be_m||^2 $. □
Stwierdzenie (#) Niech $ W $ będzie podprzestrzenią liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ rozpiętą na liniowo niezależnym układzie $ (\al_1,\ldots,\al_m) $ i niech $ P:V\to W $ będzie rzutem ortogonalnym $ V $ na $ W $. Wówczas dla $ \al\in V $,

$$||\al-P(\al)||= \sqrt{\frac{\Gamma(\al_1,\ldots,\al_m,\al)}{\Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)}}\,.$$
Dowód: Jeśli $ \al\in W $, to po obu stronach równości mamy zero, zob.\ Uwaga [link]. Niech $ \al\not\in W $ i niech układ $ (\be_1,\ldots,\be_m,\be) $ będzie wynikiem ortogonalizacji Grama-Schmidta układu $ (\al_1,\ldots,\al_m,\al) $. Wówczas $ \be=\al-P(\al) $ oraz

$ \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m,\al)= ||\be_1||^2\cdot\ldots\cdot||\be_m||^2\cdot||\be||^2 $ \ \ i \ \ $ \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m)= ||\be_1||^2\cdot\ldots\cdot||\be_m||^2 $,

co dowodzi tezy. □

Uwaga Wyznacznik Grama układu wektorów nie zależy od ich kolejności.

Istotnie, niech $ (\al_1,\ldots,\al_m) $ będzie układem wektorów w $ (V,\is{\ }{\,}) $ i $ \pi:\set{1,\ldots,m}\to\set{1,\ldots,m} $ permutacją. Wówczas $ \al_{\pi(j)}=\sum_i a_{ij}\al_i $, gdzie $ A=[a_{ij}]_{ij=1}^m $ jest macierzą powstałą z permutacji kolumn macierzy jednostkowej. Zatem $ (\det A)^2=1 $ i zgodnie z Lematem [link], $ \Gamma(\al_{\pi(1)},\ldots,\al_{\pi(m)})= \Gamma(\al_1,\ldots,\al_m) $.

Dla układu wektorów $ (\al_1,\ldots,\al_m) $ w liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ równoległościanem rozpiętym na tym układzie nazywamy zbiór

$ R(\al_1,\ldots,\al_m)=\set{\sum_{i=1}^m t_i\al_i:t_i\in[0,1]}. $

Jeśli układ $ (\al_1,\al_2,\al_3) $ jest liniowo niezależny, to $ R(\al_1,\al_2) $ jest równoległobokiem na płaszczyźnie $ \lin(\al_1,\al_2) $, a $ R(\al_1,\al_2,\al_3) $ jest równoległościanem w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej $ \lin(\al_1,\al_2,\al_3) $.

Zgodnie z określeniem przyjętym w geometrii euklidesowej objętość równoległościanu $ R(\al_1,\ldots,\al_m) $ (dla $ m=2 $, pole równoległoboku $ R(\al_1,\al_2) $) powinna być równa iloczynowi objętości podstawy $ R(\al_1,\ldots,\al_{m-1}) $ przez wysokość $ ||\al_m-P(\al_m)|| $, gdzie $ P(\al_m) $ jest rzutem ortogonalnym $ \al_m $ na przestrzeń $ \lin(\al_1,\ldots,\al_{m-1}) $ rozpiętą na podstawie.

Definicja (#) Objętością ($ n $-wymiarową) układu $ (\al_1,\ldots,\al_{m}) $ w liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ nazywamy liczbę

$ {\rm vol}(\al_1,\ldots,\al_{m})= \sqrt{\Gamma(\al_1,\ldots,\al_{m})}. $

Natychmiastową konsekwencją Wniosku [link] jest

Stwierdzenie Funkcja $ {\rm vol}(\al_1,\ldots,\al_{m}) $ jest jedyną funkcją, która układowi wektorów $ (\al_1,\ldots,\al_{m}) $ w liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V,\is{\ }{\,}) $ przyporządkowuje liczbę nieujemną w taki sposób, że

$ (1) $\qquad $ {\rm vol}(\al)=||\al|| $

$ (2) $\qquad $ {\rm vol}(\al_1,\ldots,\al_{m})= ||\al_m-P(\al_m)||\,{\rm vol}(\al_1,\ldots,\al_{m-1}) $,

gdzie $ P $ jest rzutem ortogonalnym przestrzeni $ V $ na podprzestrzeń $ \lin(\al_1,\ldots,\al_{m-1}) $.

Uwaga Rozważmy kartezjańską przestrzeń euklidesową z Przykładu [link] (a) i niech $ A\in\M{n}{n}{\K} $ będzie macierzą o kolumnach $ A_1,\ldots,A_n $.

Wtedy $ G(A_1,\ldots,A_n)=A^TA $, więc $ \Gamma(A_1,\ldots,A_n)=(\det A)^2 $ i mamy

$ {\rm vol}(A_1,\ldots,A_n)=|\det A|. $

Następująca obserwacja pokazuje, że moduł wyznacznika endomorfizmu liniowej przestrzeni euklidesowej można interpretować jako współczynnik zmiany objętości przy tym endomorfizmie pełnowymiarowych równoległościanów.

Twierdzenie Niech $ \vp:V\to V $ będzie endomorfizmem liniowej przestrzeni euklidesowej $ (V\is{\ }{\,}) $. Dla dowolnej bazy $ (\al_1,\ldots,\al_n) $ w $ V $ zachodzi wówczas równość

$ {\rm vol}(\vp(\al_1),\ldots,\vp(\al_{n}))=|\det \vp|\cdot{\rm vol}(\al_1,\ldots,\al_{n}) $.

Dowód: Niech $ A=[a_{ij}]_{i,j=1}^m $ będzie macierzą endomorfizmu $ \vp $ w układzie współrzędnych związanym z bazą $ (\al_1,\ldots,\al_{n}) $ przestrzeni $ V $, tzn. $ \vp(\al_j)=\sum_i a_{ij}\al_i $. Z Lematu [link]

$ \Gamma(\vp(\al_1),\ldots,\vp(\al_{n}))=(\det A)^2\cdot\Gamma(\al_1,\ldots,\al_{n}) $,

a ponieważ $ \det\vp=\det A $, otrzymujemy tezę twierdzenia. □