Wyznaczniki

Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją $ \det:\M{m}{n}{\K}\to\K $, ($ m=1,2,\ldots $) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno i zerującą sie na macierzach mających dwa identyczne wiersze. Jak zobaczymy, te warunki i warunek $ \det I_n=1 $ charakteryzują wyznacznik jednoznacznie, przy czym funkcję $ \det $ można określić przez indukcję ze względu na $ n $.

Zanim przystąpimy do dokładnego opisu wyznacznika, podamy pewną interpretację geometryczną funkcji $ \det:\M{3}{3}{\R}\to\R $. Własności wyznacznika zapewniają, że moduł wyznacznika nie zmienia się przy operacjach elementarnych typu (I) i (II) na wierszach macierzy. Tak więc, jeśli $ A\in\M{3}{3}{\R} $ jest macierzą odwracalną, a macierz $ B $ jest macierzą diagonalną otrzymaną w wyniku operacji elementarnych na wierszach $ A $ (zob.\ dowód Twierdzenia [link]), to $ |\det A|=|\det B| $.

Nietrudno sprawdzić, że operacje elementarne redukujące $ A $ do $ B $ nie zmieniają objętości równoległościanu rozpiętego w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej na wierszach macierzy. Zatem objętości równoległościanów rozpiętych na wierszach $ A $ i $ B $ są identyczne. Ponieważ wiersze $ B $ rozpinają prostopadłościan i $ |\det B| $ jest iloczynem modułów wyrazów na przekątnej $ B $ - długości jego krawędzi, $ |\det B| $ jest objętością tego prostopadłościanu.

W rezultacie widzimy, że $ |\det A| $ jest objętością równoległościanu rozpiętego na wierszach macierzy $ A $. Znak wyznacznika wiąże się z orientacją przestrzeni. Do tej ważnej interpretacji geometrycznej wyznacznika nad ciałem liczb rzeczywistych powrócimy w dalszej części, po wprowadzeniu $ n $-wymiarowych przestrzeni euklidesowych. Najpierw jednak skupimy się na własnościach algebraicznych wyznaczników nad dowolnym ciałem skalarów.