Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją , (
) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno i zerującą sie na macierzach mających dwa identyczne wiersze. Jak zobaczymy, te warunki i warunek
charakteryzują wyznacznik jednoznacznie, przy czym funkcję
można określić przez indukcję ze względu na
.
Zanim przystąpimy do dokładnego opisu wyznacznika, podamy pewną interpretację geometryczną funkcji . Własności wyznacznika zapewniają, że moduł wyznacznika nie zmienia się przy operacjach elementarnych typu (I) i (II) na wierszach macierzy. Tak więc, jeśli
jest macierzą odwracalną, a macierz
jest macierzą diagonalną otrzymaną w wyniku operacji elementarnych na wierszach
(zob.\ dowód Twierdzenia [link]), to
.
Nietrudno sprawdzić, że operacje elementarne redukujące do
nie zmieniają objętości równoległościanu rozpiętego w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej na wierszach macierzy. Zatem objętości równoległościanów rozpiętych na wierszach
i
są identyczne. Ponieważ wiersze
rozpinają prostopadłościan i
jest iloczynem modułów wyrazów na przekątnej
- długości jego krawędzi,
jest objętością tego prostopadłościanu.
W rezultacie widzimy, że jest objętością równoległościanu rozpiętego na wierszach macierzy
. Znak wyznacznika wiąże się z orientacją przestrzeni. Do tej ważnej interpretacji geometrycznej wyznacznika nad ciałem liczb rzeczywistych powrócimy w dalszej części, po wprowadzeniu
-wymiarowych przestrzeni euklidesowych. Najpierw jednak skupimy się na własnościach algebraicznych wyznaczników nad dowolnym ciałem skalarów.