Zasadnicze twierdzenie algebry

Warunkiem koniecznym istnienia wektorów własnych jest istnienie pierwiastków wielomianu charakterystycznego. To wskazuje szczególną rolę ciała skalarów $ \c $, bo jak wykażemy poniżej, każdy wielomian o \nolinebreak współczynnikach zespolonych ma pierwiastek zespolony.

Twierdzenie (#) Dla każdego wielomianu $ w\in\c[x] $ stopnia dodatniego istnieje $ \la\in\c $ takie, że $ w(\la)=0 $.

Dowód poprzedzimy dwoma lematami

Lemat {\bf (d'Alemberta).} Niech $ w(z)=a_0+a_1z+\ldots+z^n $, $ a_i\in\c $. Jeśli $ w(a)\neq 0 $, to istnieje $ b\in \c $ takie, że $ |w(b)|<|w(a)| $.
Dowód: Mamy $ w(a+z)=a_0+a_1(a+z)+\ldots+(a+z)^n=A_0+A_1z+\ldots+z^n= w(a)+A_kz^k+\ldots+z^n $, gdzie $ A_k\neq 0 $.

Niech $ c\in\c $ będzie takie, że $ c^k=-\frac{w(a)}{A_k} $ ($ c=\sqrt[k]{r}(\cos\frac{\theta}{k}+i\sin\frac{\theta}{k}) $, jeśli $ -\frac{w(a)}{A_k}={r}(\cos {\theta}+i\sin{\theta}) $, $ r>0 $).

\mDla $ t\in\R $ z przedziału $ [0,1] $,

$$w(a+tc)=w(a)+A_kt^kc^k+\ldots+t^nc^n= w(a)-w(a)t^k+B_{k+1}t^{k+1}\ldots+B_nt^n= w(a)(1-t^k)+B_{k+1}t^{k+1}\ldots+B_nt^n.$$

Tak więc

$ |w(a+tc)|\leq(1-t^k)|w(a)|+t^k(|B_{k+1}|t\ldots+|B_n|t^{n-k})= |w(a)|+t^k(-|w(a)|+|B_{k+1}|t\ldots+|B_n|t^{n-k}). $

Dobierzmy $ t>0 $ tak małe, żeby wyrażenie w nawiasie było ujemne. Wówczas dla $ b=a+tc $ mamy $ |w(b)|<|w(a)| $. □

Lemat (#) Dla wielomianu zespolonego $ w(z)=a_0+a_1z+\ldots+z^n $ i $ K=\set{z\in\c:|\Re z|,|\Im z|\leq M} $ istnieje $ z_0\in K $ takie, że $ |w(z_0)|= \inf\set{|w(z)|: z\in K} $.

Lemat jest wersją twierdzenia Weierstrassa dla funkcji $ |w(z)| $ na kwadracie $ K $, jego uzasadnienie podamy w \nolinebreak uzupełnieniach, zob.\ Lemat [link]. Z tych dwóch lematów łatwo wyprowadzimy teraz zasadnicze twierdzenie algebry.

{\bf Dowód Twierdzenia [link].} Niech $ w(z)=a_0+a_1z+\ldots+z^n $ będzie wielomianem zespolonym. Ponieważ

$$|w(z)|= \left|z^n\left(\frac{a_0}{z^n}+ \ldots+\frac{a_{n-1}}{z}+1\right)\right|\geq |z^n|\left(1-\left(\frac{|a_0|}{|z^n|}+ \ldots+\frac{|a_{n-1}|}{|z|}\right)\right),$$

dla pewnego kwadratu $ K $ o środku w zerze i dostatecznie dużym boku, $ \mu=\inf\set{|w(z)|: z\in \c}=\inf\set{|w(z)|: z\in K} $. Z Lematu [link] istnieje $ z_0\in K $ takie, że $ |w(z_0)|=\mu $, a z Lematu d'Alemberta $ \mu=0 $. {\null\null
$ \blacksquare $    }