Zespolona wartość własna macierzy rzeczywistej

Dla macierzy $ A\in\M{n}{n}{\R} $ oznaczmy przez $ \vp $ endomorfizm $ \vp(X)=AX $ przestrzeni $ \R^n $ wyznaczony przez $ A $ i załóżmy, że $ Z=X+iY\in\c^n $, gdzie $ X,Y\in\R^n $, jest wektorem własnym $ A $ odpowiadającym zespolonej wartości własnej $ \la=a+ib\not\in\R $. Pokażemy, że

  • [(a)] wektory $ X,Y $ rozpinają w $ \R^n $ płaszczyznę $ W=\lin(X,Y) $ taką, że $ \vp(W)=W $ i macierz endomorfizmu $ \vp|W:W\to W $ w układzie współrzędnych związanym z bazą $ (X,Y) $ płaszczyzny $ W $ ma postać $ \mk{rr}{a&b\\-b&a} $;
  • [(b)] $ A^T\neq A $, por.\ Twierdzenie [link];
  • [(c)] jeśli $ A $ jest macierzą ortogonalną, to $ |\la|=1 $ i w kartezjańskiej przestrzeni euklidesowej, zob.\ [link] (a), $ ||X||=||Y|| $ oraz $ X\perp Y $. W szczególności, $ \vp|W $ jest obrotem $ W $, por.\ Lemat [link].

Istotnie, z równości $ AZ=\la Z $ mamy $ AX+iAY=(a+ib)(X+iY)=(aX-bY)+i(bX+aY) $. Porównując części rzeczywiste i urojone po obu stronach dostajemy stąd wzory

$ (\ast) $ $ AX=aX-bY $ \ oraz \ $ AY=bX+aY $

pokazujące, że $ \vp(W)\subset W $.

Połóżmy $ \overline{Z}=X-iY $. Z $ (\ast) $ mamy $ A\overline{Z}=AX-iAY=(aX-bY)-i(bX+aY)=(a-ib)(X-iY) $, czyli wektor $ \overline{Z} $ jest wektorem własnym $ A $ odpowiadającym wartości własnej $ \overline{\la} $. Zatem wektory $ Z,\overline{Z} $ rozpinają płaszczyznę $ \lin(Z,\overline{Z})\subset\c^n $. Wektory $ X=\frac{1}{2}(Z+\overline{Z}) $ i $ Y=-\frac{i}{2}(Z-\overline{Z}) $ są bazą tej płaszczyzny (nad $ \c $), więc są również liniowo niezależne nad $ \R $.

Stąd wynika (a), bo $ (\ast) $ określa postać macierzy $ \vp|W $ w tej bazie, a z $ \det(\vp|W)=a^2+b^2=|\la|> 0 $ mamy $ \vp(W)=W $.

Dla dowodu (b) załóżmy, że macierz $ A $ jest symetryczna. Wtedy $ (AZ)^T\overline{Z}=Z^T(A\overline{Z}) $, więc $ \la (Z^T\overline{Z})=(AZ)^T\overline{Z}=Z^T(A\overline{Z})= Z^T(\overline{\la}\, \overline{Z})= \overline{\la} (Z^T\overline{Z}) $. Ponieważ $ Z^T\overline{Z}=(X+iY)^T(X-iY)=||X^2||+||Y||^2>0 $, dostajemy $ \la=\overline{\la} $, sprzecznie z założeniem, że $ \la\not\in\R $.

Jeśli $ A $ jest macierzą ortogonalną, to $ \vp $ jest izometrią liniową kartezjańskiej przestrzeni euklidesowej, więc $ \det (\vp|W)=1=|\la| $, co daje pierwszą część (c). Mamy też $ AZ=\la Z $ oraz $ A^TZ=A^{-1}Z=\la^{-1}Z $. Zatem $ \la (Z^TZ)=(AZ)^TZ=Z^T(A^TZ)= Z^T(\la^{-1}Z)= \overline{\la} (Z^TZ) $. Ponieważ $ \la\neq\overline{\la} $, dostajemy stąd $ Z^TZ=0 $, czyli $ 0=(X+iY)^T(X+iY)=(||X^2||-||Y||^2)+2i(X^TY) $, co dowodzi (c).