Zadania

W skrypcie przedstawimy przykładowy plan wykładów oraz zestawy zada do laboratorium komputerowego do semestralnego wykładu z Matematyki przy komputerze.Wiele zada oraz przykładów jest zawarte w naszych wykładach.Polecamy przerobi je szczegółowo na ćwiczeniach. Na koniec najlepiej żeby studenci mogli zaimplementować własne projekty zaliczeniowe, które wykorzystują grafikę, oraz symboliczne i numeryczne funkcje Mathematica.

Ćwiczenia (z przykładami i częściowymi rozwiązaniami)

1.

KZadania_1.gif

Rozwiązanie

KZadania_2.gif

KZadania_3.gif

KZadania_4.gif

KZadania_5.gif

KZadania_6.gif

KZadania_7.gif

2.

Sprawdź prawdziwość następującego twierdzenia:

Niech det A będzie wyznacznikiem macierzy A rozmiaru n×n (n jest ustalone). Oznaczmy przez det A(j,k) wyznacznik macierzy otrzymanej przez usunięcie j-tego wiersza oraz k-tej kolumny z macierzy A. Podobnie możemy usuwać kolejne wiersze i kolumny. Wówczas prawdziwe jest równanie:

KZadania_8.gif.  

Przeanalizuj poniższy przykład dla n=5, [i,j,k,l]=[1,2,4,5]. Zilustruj twierdzenie przy pomocy funkcji Manipulate, dając użytkownikowi wybór, którą kolumnę lub wiersz usunąć.

Przykład

KZadania_9.gif

KZadania_10.gif

KZadania_11.gif

KZadania_12.gif

KZadania_13.gif

KZadania_14.gif

KZadania_15.gif

KZadania_16.gif

KZadania_17.gif

KZadania_18.gif

3.

Przeczytaj o twierdzeniu Sturma (http://en.wikipedia.org/wiki/Sturm%27s_theorem) i zaimplementuj algorytm, który znajduje liczbę różnych rzeczywistych pierwiastków wielomianu (bez podwójnych pierwiastków).

Przykład

Następujący wielomian ma dwa rzeczywiste pierwiastki:

KZadania_19.gif

KZadania_20.gif

Typowe podejście do programowania funkcyjnego składa się z implementacji algorytmu krok po kroku, a następnie połączeniu pojedyńczych kroków w jedną funkcję.
Definiujemy wielomian:

KZadania_21.gif

Sprawdzamy, że wielomian nie ma podwójnych pierwiastków:

KZadania_22.gif

KZadania_23.gif

KZadania_24.gif

KZadania_25.gif

KZadania_26.gif

KZadania_27.gif

KZadania_28.gif

KZadania_29.gif

KZadania_30.gif

KZadania_31.gif

KZadania_32.gif

KZadania_33.gif

KZadania_34.gif

KZadania_35.gif

KZadania_36.gif

KZadania_37.gif

Łączymy teraz wszystko w jedną funkcję. Tu wygodnie jest użyć funkcji NestWhileList:

KZadania_38.gif

KZadania_39.gif

KZadania_40.gif

KZadania_41.gif

KZadania_42.gif

Czołowe współczynniki łańcuchu Sturma:

KZadania_43.gif

KZadania_44.gif

To samo po zastąpieniu x→-x:

KZadania_45.gif

KZadania_46.gif

Inne pożyteczne funkcje: wielomiany z parametrem

1.

Sprawdzamy, dla jakich wartości parametru a wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych:

KZadania_47.gif

KZadania_48.gif

2.

Sprawdzamy, dla jakich wartości parametru a wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych:

KZadania_49.gif

KZadania_50.gif

Czyli dla a=4 wielomian jest nieujemny i ma pierwiastki rzeczywiste. Sprawdźmy, ile ich jest:

KZadania_51.gif

KZadania_52.gif

KZadania_53.gif

KZadania_54.gif

4.

KZadania_55.gif

KZadania_56.gif

o wymiarach (n+1) × (n+1), gdzie s(k) są śladami iloczynów macierzy KZadania_57.gif i s(0)=n.

2. Znajdź sygnaturę macierzy S (liczbę dodatnich i ujemnych wartości własnych). Zauważ, że ponieważ macierz jest symetryczna, jej wartości własne są rzeczywiste.
  

Przykład.

KZadania_58.gif

KZadania_59.gif

KZadania_60.gif

KZadania_61.gif

KZadania_62.gif

KZadania_63.gif

KZadania_64.gif

KZadania_65.gif

KZadania_66.gif

KZadania_67.gif

KZadania_68.gif

KZadania_69.gif

KZadania_70.gif

KZadania_71.gif

KZadania_72.gif

KZadania_73.gif

KZadania_74.gif

KZadania_75.gif

KZadania_76.gif

KZadania_77.gif

KZadania_78.gif

KZadania_79.gif

KZadania_80.gif

5. Równania różniczkowe zwyczajne [1].

1.

KZadania_81.gif

Rozwiązanie.

KZadania_82.gif

KZadania_83.gif

KZadania_84.gif

KZadania_85.gif

2.

KZadania_86.gif

Rozwiązanie.

KZadania_87.gif

KZadania_88.gif

KZadania_89.gif

KZadania_90.gif

KZadania_91.gif

KZadania_92.gif

KZadania_93.gif

KZadania_94.gif

6. Geometria różniczkowa [2].

1.

Oblicz parametr łukowy krzywej w KZadania_95.gif.

Rozwiązanie.

KZadania_96.gif

KZadania_97.gif

KZadania_98.gif

2.

Narysuj kilka stycznych do okręgu.

Rozwiązanie.

KZadania_99.gif

KZadania_100.gif

KZadania_101.gif

KZadania_102.gif

KZadania_103.gif

3.

Narysuj krzywą płaską sparametryzowaną parametrem łukowym z zadaną krzywizną κ.
Wskazówka: rozwiąż układ RRZ   x'[s] == Cos[θ[s]], y'[s] == Sin[θ[s]], θ'[s] == κ.

Rozwiązanie.

KZadania_104.gif

KZadania_105.gif

KZadania_106.gif

KZadania_107.gif

KZadania_108.gif

4.

Oblicz krzywiznę średnią oraz krzywiznę Gaussa krzywej w KZadania_109.gif.

7.

Narysuj obrazy rzutu stereograficznego punktów z KZadania_110.gif (lub płaszczyzny zespolonej C) na sferze Riemanna  (http://en.wikipedia.org/wiki/Stereographic_projection).

8.

Zaimplementuj metodę Frobeniusa dla RRZ (http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_method, http://mathworld.wolfram.com/FrobeniusMethod.html).

9.

Zaimplementuj hipotezę ABC (http://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture).

Literatura.

KZadania_111.gif

[2] A. Gray, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, CRC Press LLC, 1998. Pliki Mathematica można pobrać ze strony  http://library.wolfram.com/infocenter/Books/3759.