W skrypcie przedstawimy przykładowy plan wykładów oraz zestawy zada do laboratorium komputerowego do semestralnego wykładu z Matematyki przy komputerze.Wiele zada oraz przykładów jest zawarte w naszych wykładach.Polecamy przerobi je szczegółowo na ćwiczeniach. Na koniec najlepiej żeby studenci mogli zaimplementować własne projekty zaliczeniowe, które wykorzystują grafikę, oraz symboliczne i numeryczne funkcje Mathematica.
Ćwiczenia (z przykładami i częściowymi rozwiązaniami)
1.
Rozwiązanie
2.
Sprawdź prawdziwość następującego twierdzenia:
Niech det A będzie wyznacznikiem macierzy A rozmiaru n×n (n jest ustalone). Oznaczmy przez det A(j,k) wyznacznik macierzy otrzymanej przez usunięcie j-tego wiersza oraz k-tej kolumny z macierzy A. Podobnie możemy usuwać kolejne wiersze i kolumny. Wówczas prawdziwe jest równanie:
.
Przeanalizuj poniższy przykład dla n=5, [i,j,k,l]=[1,2,4,5]. Zilustruj twierdzenie przy pomocy funkcji Manipulate, dając użytkownikowi wybór, którą kolumnę lub wiersz usunąć.
Przykład
3.
Przeczytaj o twierdzeniu Sturma (http://en.wikipedia.org/wiki/Sturm%27s_theorem) i zaimplementuj algorytm, który znajduje liczbę różnych rzeczywistych pierwiastków wielomianu (bez podwójnych pierwiastków).
Przykład
Następujący wielomian ma dwa rzeczywiste pierwiastki:
Typowe podejście do programowania funkcyjnego składa się z implementacji algorytmu krok po kroku, a następnie połączeniu pojedyńczych kroków w jedną funkcję.
Definiujemy wielomian:
Sprawdzamy, że wielomian nie ma podwójnych pierwiastków:
Łączymy teraz wszystko w jedną funkcję. Tu wygodnie jest użyć funkcji NestWhileList:
Czołowe współczynniki łańcuchu Sturma:
To samo po zastąpieniu x→-x:
Inne pożyteczne funkcje: wielomiany z parametrem
1.
Sprawdzamy, dla jakich wartości parametru a wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych:
2.
Sprawdzamy, dla jakich wartości parametru a wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych:
Czyli dla a=4 wielomian jest nieujemny i ma pierwiastki rzeczywiste. Sprawdźmy, ile ich jest:
4.
o wymiarach (n+1) × (n+1), gdzie s(k) są śladami iloczynów macierzy 
i s(0)=n.
2. Znajdź sygnaturę macierzy S (liczbę dodatnich i ujemnych wartości własnych). Zauważ, że ponieważ macierz jest symetryczna, jej wartości własne są rzeczywiste.
Przykład.
5. Równania różniczkowe zwyczajne [1].
1.
Rozwiązanie.
2.
Rozwiązanie.
6. Geometria różniczkowa [2].
1.
Oblicz parametr łukowy krzywej w 
.
Rozwiązanie.
2.
Narysuj kilka stycznych do okręgu.
Rozwiązanie.
3.
Narysuj krzywą płaską sparametryzowaną parametrem łukowym z zadaną krzywizną κ.
Wskazówka: rozwiąż układ RRZ x'[s] == Cos[θ[s]], y'[s] == Sin[θ[s]], θ'[s] == κ.
Rozwiązanie.
4.
Oblicz krzywiznę średnią oraz krzywiznę Gaussa krzywej w 
.
7.
Narysuj obrazy rzutu stereograficznego punktów z 
(lub płaszczyzny zespolonej C) na sferze Riemanna (http://en.wikipedia.org/wiki/Stereographic_projection).
8.
Zaimplementuj metodę Frobeniusa dla RRZ (http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_method, http://mathworld.wolfram.com/FrobeniusMethod.html).
9.
Zaimplementuj hipotezę ABC (http://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture).
Literatura.
[2] A. Gray, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, CRC Press LLC, 1998. Pliki Mathematica można pobrać ze strony http://library.wolfram.com/infocenter/Books/3759.