Różne rodzaje zbieżności zmiennych losowych

Różne rodzaje zbieżności zmiennych losowych

Zajmiemy się teraz zachowaniem granicznym ciągów zmiennych losowych. Zacznijmy jednak od pewnego pożytecznego faktu.

Definicja Załóżmy, że $ (\Omega,\F,\P) $ jest przestrzenią probabilistyczną oraz $ \F_1 $, $ \F_2 $, $ \ldots \subseteq \F $ jest ciągiem $ \sigma $-ciał. Wówczas $ \sigma $-ciało

$$ \bigcap_{n=1}^\infty \sigma(\F_n,\F_{n+1},\F_{n+2},\ldots)$$

nazywamy $ \sigma $-ciałem resztkowym.

Przykład Załóżmy, że $ X_1 $, $ X_2 $, $ \ldots $ jest ciągiem zmiennych losowych i niech $ \F_n=\sigma(X_n) $ będzie $ \sigma $-ciałem generowanym przez zmienną $ X_n $, $ n=1,\,2,\,\ldots $. Wówczas każde ze zdarzeń

$$ \{(X_n)_{n\geq 1}\mbox{ jest zbieżny}\},\,\,  \{\sup_n|X_n|<\infty\},\,\,  \left\{\sum_{n=1}^\infty X_n\mbox{ jest zbieżny}\right\}$$

należy do $ \sigma $-ciała resztkowego.

Twierdzenie [Prawo $ 0-1 $ Kołmogorowa] Załóżmy, że $ (\Omega,\F,\P) $ jest przestrzenią probabilistyczną oraz $ \sigma $-ciała $ \F_1,\,\F_2,\,\ldots \subseteq \F $ są niezależne. Wówczas dla każdego $ A\in \bigcap_{n=1}^\infty  \sigma(\F_n,\F_{n+1},\ldots) $ mamy $ \P(A)=0 $ lub $ \P(A)=1 $.
Lemat Załóżmy, że $ \mathcal{G}_1\subseteq \mathcal{G}_2 \subseteq \ldots  \subseteq \F $ jest wstępującym ciągiem $ \sigma $-ciał oraz niech $ \mathcal{G}=\sigma(\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2,\ldots) $. Wówczas dla dowolnego $ A\in\mathcal{G} $ istnieje ciąg $ (A_n)_{n\geq 1} $ takich zdarzeń, że $ A_n\in \mathcal{G}_n $ dla każdego $ n $ oraz $ \lim_{n\to\infty}\P(A \Delta A_n)=0 $ ($ \Delta $ oznacza tu różnicę symetryczną zbiorów).
Dowód:[Dowód] Wprowadźmy klasę zbiorów

$$ \mathcal{K}=\{A\in\mathcal{G}:\mbox{istnieje ciąg }(A_n)_{n\geq  1}\mbox{ jak w sformułowaniu lematu}\}.$$

Oczywiście $ \bigcup_{n\geq 1}\mathcal{G}_n \subset \mathcal{K} $, ponadto suma po lewej stronie zawierania jest $ \pi $-układem. Wystarczy więc wykazać, że $ \mathcal{K} $ jest $ \lambda $-układem. Sprawdzamy:

(i) $ \Omega\in \mathcal{K} $ - jest to oczywiste.

(ii) Załóżmy, że $ A,\,B\in\mathcal{K} $ spełniają warunek $ A\subseteq B $ i niech $ (A_n)_{n\geq 1} $, $ (B_n)_{n\geq 1} $ będą odpowiednimi ciągami przybliżającymi. Wykażemy, zgodnie z intuicją, że ciąg $ (B_n\setminus A_n)_{n\geq 1} $ przybliża $ B\setminus A $. Oczywiście $ B_n\setminus A_n\in \mathcal{G}_n $ dla każdego $ n $. Ponadto, korzystając z tożsamości $ \P(A\Delta  B)=\E|1_A-1_B| $, mamy \begin{align*} \P\big((B_n\setminus A_n)\Delta(B\setminus A)\big)&=\E\big|1_{B_n\setminus A_n}-1_{B\setminus A}\big|\\ &=\E \big|1_{B_n}-1_{A_n\cap B_n}-1_B+1_A\big|\\ &\leq \E |1_{B_n}-1_B|+\E |1_A-1_{A_n}1_{B_n}|. \end{align*} Pierwszy składnik jest równy $ \P(B_n\Delta B) $, a więc zbiega do $ 0 $ gdy $ n\to \infty $. Ponadto, \begin{align*} \E |1_A-1_{A_n}1_{B_n}|&= \E\big|1_A-(1_{A_n}-1_A+1_A)(1_{B_n}-1_B+1_B)\big|\\ &\leq \E |1_A-1_A1_B|+\E 1_A|1_{B_n}-1_B|\\ &     +\E 1_B|1_{A_n}-1_A|+\E |1_{A_n}-1_A||1_{B_n}-1_B|\\ &\leq 0+\P(B\Delta B_n)+\P(A\Delta A_n)+2\P(A\Delta A_n) \end{align*} także zbiega do zera gdy $ n $ dąży do nieskończoności. Udowodniliśmy zatem, że $ B\setminus A\in\mathcal{K} $.

(iii) Jeśli $ A_1,\,A_2,\,\ldots $ jest wstępującym ciągiem elementów z $ \mathcal{K} $, to $ \bigcup_{n=1}^\infty A_n $ także należy do $ \mathcal{K} $. Istotnie, sumę $ \bigcup_{n=1}^\infty A_n $ możemy dowolnie dokładnie przybliżyć za pomocą sumy częściowej $ \bigcup_{n=1}^N A_n=A_N $, a następnie zbiór $ A_N $ przybliżamy odpowiednim ciągiem zdarzeń z $ \sigma $-ciał $ \mathcal{G}_n $. □

Dowód:[Dowód twierdzenia Kołmogorowa] Rozważmy wstępujący ciąg $ \sigma $-ciał dany przez

$$ \mathcal{G}_n=\sigma(\F_1,\F_2,\ldots,\F_n),\qquad n=1,\,2,\,\ldots.$$

Weźmy zdarzenie $ A $ należące do $ \sigma $-ciała resztkowego. Oczywiście należy ono także do $ \sigma $-ciała

$$  \sigma(\F_1,\F_2,\ldots)=\sigma(\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2,\ldots),$$

a zatem, na mocy powyższego lematu, możemy wskazać ciąg $ (A_n)_{n\geq 1} $ taki, że $ A_n\in \mathcal{G}_n $ oraz $ \P(A\Delta  A_n)\to 0 $ gdy $ n\to\infty $. Ponieważ $ \P(A\Delta A_n)=\P(A\setminus  A_n)+\P(A_n\setminus A) $, to każde z tych dwóch prawdopodobieństw także zbiega do $ 0 $. Ale

$$ \P(A\setminus A_n)=\P(A)-\P(A\cap A_n),$$

zatem $ \P(A\cap A_n)\to \P(A) $. Ponadto,

$$ \P(A_n\setminus A)=\P(A_n)-\P(A\cap A_n),$$

a więc, w połączeniu z poprzednią zbieżnością, $ \P(A_n)\to  \P(A) $. Wreszcie, dla dowolnego $ n $ mamy

$$ A\in \sigma(\F_{n+1},\F_{n+2},\ldots),\qquad A_n\in \mathcal{G}_n,$$

i te $ \sigma $-ciała są niezależne. Wobec tego $ A $ oraz $ A_n $ także są niezależne, $ \P(A\cap A_n)=\P(A)\P(A_n) $, i lewa strona dąży do $ \P(A) $, a prawa do $ \P(A)^2 $. Stąd $ \P(A)\in \{0,1\} $. □

Przechodzimy teraz do zbieżności zmiennych losowych.

Definicja Załóżmy, że $ (X_n)_{n\geq 1} $ jest ciągiem zmiennych losowych o wartościach w $ \R^d $. Mówimy, że

(i) $ X_n $ zbiega do $ X $ prawie na pewno, jeśli $ \P(\lim_{n\to \infty}X_n=X)=1 $. Oznaczenie: $ X_n\to X $ p.n.

(ii) ($ p\geq 1 $, $ d=1 $) $ X_n $ zbiega do $ X $ w $ L^p $ jeśli $ X_1,\,X_2,\,\ldots \in L^p $ oraz $ \lim_{n\to \infty}||X_n-X||_p=0 $ (przypomnijmy: $ ||\xi||_p=(\E |\xi|^p)^{1/p} $ dla $ p<\infty $, $ ||\xi||_\infty=\mbox{esssup}\,|\xi| $). Oznaczenie: $ X_n \to X $ w $ L^p $.

(iii) $ X_n $ zbiega do $ X $ według prawdopodobieństwa, jeśli dla każdego $ \e>0 $, $ \lim_{n\to \infty}\P(|X_n-X|>\e)=0 $. Oznaczenie: $ X_n\xrightarrow{\P} X $.

Twierdzenie Jeśli $ X_n\to X $ p.n., to $ X_n\xrightarrow{\P}X $. Implikacja przeciwna nie zachodzi.
Dowód:[Dowód] Z definicji, ciąg $ (X_n)_{n\geq 1} $ zbiega do $ X $ prawie na pewno, jeśli

$$ \P\left(\bigcap_{\e>0}\bigcup_{N=1}^\infty \bigcap_{n\geq N}\{\omega:  |X_n(\omega)-X(\omega)|<\e\}\right)=1.$$

Jest to równoważne warunkowi, że dla każdego $ \e>0 $,

$$ \P\left(\bigcup_{N=1}^\infty \bigcap_{n\geq N}\{\omega:  |X_n(\omega)-X(\omega)|<\e\}\right)=1.$$

Ale ciąg zdarzeń $ \left(\bigcap_{n\geq N}\{|X_n-X|<\e\} \right)_{N\geq 1} $ jest wstępujący; na mocy twierdzenia o ciągłości, powyższa równość oznacza, iż dla dowolnego $ \e>0 $,

$$ \lim_{N\to \infty} \P\left(\bigcap_{n\geq N}\{\omega: |X_n(\omega)-X(\omega)|<\e\}\right)=1.$$

Wobec tego tym bardziej

$$ \lim_{N\to \infty} \P\left(\{\omega: |X_N(\omega)-X(\omega)|<\e\}\right)=1,$$

czyli, po przejściu do zdarzenia przeciwnego, $ \P(|X_N-X|\geq \e)\to 0 $.

Aby udowodnić, że implikacja przeciwna nie zachodzi, rozważmy następujący przykład. Załóżmy, że przestrzeń probabilistyczna to przedział $ [0,1] $ wraz ze swoimi podzbiorami borelowskimi oraz miarą Lebesgue'a. Niech \begin{align*} X_1&=1_{[0,1)},\\ X_2&=1_{[0,1/2)},     X_3=1_{[1/2,1)},\\ X_4&=1_{[0,1/4)},     X_5=1_{[1/4,1/2)},     X_6=1_{[1/2,3/4)},     X_7=1_{[3/4,1)},\\ &\ldots \end{align*} Wówczas ciąg $ (X_n)_{n\geq 0} $ zbiega do $ 0 $ według prawdopodobieństwa: dla dowolnego $ \e $, $ \P(|X_n-0|>\e) $ jest potęgą dwójki z coraz mniejszym całkowitym wykładnikiem. Z drugiej strony, dla dowolnego $ \omega\in [0,1) $, liczbowy ciąg $ (X_n(\omega))_{n\geq 1} $ nie jest zbieżny; jest to ciąg zawierający nieskończenie wiele zer oraz nieskończenie wiele jedynek. □

Twierdzenie Jeśli $ X_n\to X $ w $ L^p $, to $ X_n\xrightarrow{\P}X $. Implikacja w drugą stronę nie zachodzi.
Dowód:[Dowód] Na mocy nierówności Czebyszewa, dla dowolnego $ \e $ mamy

$$ \P(|X_n-X|\geq \e)\leq \frac{\E |X_n-X|^p}{\e^p} \xrightarrow{n\to\infty} 0.$$

Wykażemy, że implikacja w drugą stronę nie zachodzi. Rozpatrzymy tylko $ p<\infty $, przypadek $ p=\infty $ pozostawiamy czytelnikowi. Rozważmy przestrzeń probabilistyczną $ ([0,1],\mathcal{B}(0,1),|\cdot|) $ oraz ciąg $ (X_n)_{n\geq 1} $ zmiennych zadanych wzorem

$$ X_n(\omega)=n^{1/p}1_{[0,1/n]}(\omega).$$

Wówczas $ X_n\xrightarrow{\P}0 $: dla dowolnego $ \e $ mamy

$$ \P(|X_n-0|>\e)\leq 1/n \to 0.$$

Zatem, gdyby ciąg $ (X_n)_{n\geq 1} $ zbiegał w $ L^p $, to do zmiennej skoncentrowanej w zerze (na mocy implikacji którą właśnie udowodniliśmy). Ale

$$ \E |X_n-0|^p=\E |X_n|^p=1 \not\to 0. \qedhere$$

Twierdzenie Jeśli $ p<p' $ oraz $ X_n\to X $ w $ L^{p'} $, to $ X_n\to X $ w $ L^p $.
Dowód:[Dowód] Wynika to natychmiast z nierówności H\óldera: mamy

$$ ||X_n-X||_p\leq ||X_n-X||_{p'}\xrightarrow{n\to\infty} 0.\qedhere$$

Twierdzenie a) Ciąg $ (X_n)_{n\geq 1} $ jest zbieżny według prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego według prawdopodobieństwa:

$$ \forall_{\delta>0}\forall_{\e>0}\exists_N\forall_{m,n\geq N} \P(|X_n-X_m|>\e)<\delta.$$

b) Jeśli $ X_n $ zbiega do $ X $ według prawdopodobieństwa, to istnieje podciąg $ (n_k)_{k\geq 1} $ taki, że ciąg $ (X_{n_k})_{k\geq 1} $ zbiega p.n. do $ X $.

Definicja Załóżmy, że $ \{X_i\}_{i \in\mathcal{I}} $ jest rodziną całkowalnych zmiennych losowych. Mówimy, że ta rodzina jest jednostajnie (jednakowo) całkowalna, jeśli

$$ \sup_{i\in \mathcal{I}} \int_{\{|X_i|\geq r\}}|X_i|\mbox{d}\P \xrightarrow{r\to\infty} 0.$$

Przykłady:

1) Załóżmy, że istnieje nieujemna całkowalna zmienna $ \eta $ taka, że $ |X_i|\leq \eta $ dla wszystkich $ i\in \mathcal{I} $. Wówczas $ \{X_i\}_{i\in\mathcal{I}} $ jest rodziną jednakowo całkowalną. Istotnie,

$$ \sup_{i\in\mathcal{I}}\int_{\{|X_i|\geq r\}} |X_i|\mbox{d}\P\leq \int_{\{\eta\geq r\}} |\eta|\mbox{d}\P \xrightarrow{r\to \infty} 0,$$

na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zmajoryzowanym przejściu do granicy.

2) Każda skończona rodzina zmiennych całkowalnych jest jednakowo całkowalna: wystarczy wykorzystać poprzedni przykład, biorąc $ \eta=\sum_{i\in \mathcal{I}}|X_i| $.

3) Dowolna jednostajnie całkowalna rodzina zmiennych losowych, po dodaniu do niej skończonej liczby zmiennych całkowalnych, pozostaje jednostajnie całkowalna.

4) Rozważmy przestrzeń probabilistyczną $ ([0,1],\mathcal{B}([0,1]),|\cdot|) $ oraz ciąg zmiennych $ X_1 $, $ X_2 $, $ \ldots $ zadanych przez $ X_n(\omega)=n^21_{[0,1/n]}(\omega) $. Rodzina ta nie jest jednostajnie całkowalna: mamy

$$ \{|X_n|\geq m^2\}=\{n^21_{[0,1/n]}\geq m^2\}=\begin{cases} \emptyset & \mbox{dla }n<m,\\ [0,1/n] & \mbox{dla }n\geq m, \end{cases}$$

a więc

$$ \int_{\{|X_n|\geq m^2\}} |X_n|\mbox{d}\P=\begin{cases} 0 & \mbox{dla }n<m,\\ n^2\cdot 1/n & \mbox{dla }n\geq m, \end{cases}$$

a więc dla każdego $ r $, $ \sup_n \int_{\{|X_n|\geq r\}}|X_n|\mbox{d}\P=\infty $.

Z drugiej strony, rodzina zmiennych $ \{Y_n\}_{n\geq 1}=\{\sqrt{n}1_{[0,1/n]}\}_{n\geq 1} $ jest jednostajnie całkowalna. Powtarzając powyższe rozumowanie widzimy, że

$$  \int_{\{|X_n|\geq r\}} |X_n|\mbox{d}\P=\begin{cases} 0 & \mbox{dla }\sqrt{n}<r,\\ \sqrt{n}\cdot 1/n & \mbox{dla }\sqrt{n}\geq r. \end{cases}$$

Zatem dla ustalonego $ r $,

$$\sup_n \int_{\{|X_n|\geq r\}}|X_n|\mbox{d}\P\leq 1/r, $$

co zbiega do $ 0 $ gdy $ r\to\infty $.

Udowodnimy teraz pewien równoważny warunek na jednakową całkowalność.

Twierdzenie Rodzina $ \{X_i\}_{i\in\mathcal{I}} $ jest jednakowo całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą następujące dwa warunki:

1$ ^\circ $ $ \sup_{i\in\mathcal{I}} \E |X_i|<\infty $,

2$ ^\circ $ Dla każdego $ \e>0 $ istnieje $ \delta>0 $ taka, że jeśli zdarzenie $ A $ spełnia $ \P(A)<\delta $, to

$$ \int_A |X_i|\mbox{d}\P<\e,\qquad i\in\mathcal{I}.$$
Dowód:[Dowód] $ \Rightarrow $ Zacznijmy od warunku 2$ ^\circ $. Dla każdego $ A\in \F $ oraz $ i\in\mathcal{I} $ mamy

$$ \int_A |X_i|\mbox{d}\P=\int_{A\cap\{|X_i|\geq r\}}|X_i|\mbox{d}\P+\int_{A\cap\{|X_i|<r\}}|X_i|\mbox{d}\P\leq \sup_{i\in \mathcal{I}}\int_{\{|X_i|\geq r\}}|X_i|\mbox{d}\P+r\P(A).$$

Zatem, przy ustalonym $ \e>0 $, bierzemy $ r $ takie, by pierwszy składnik był mniejszy niż $ \e/2 $ (jest to możliwe na mocy definicji jednakowej całkowalności); następnie, bierzemy $ \delta=\e/(2r) $: wówczas drugi składnik także jest mniejszy niż $ \e/2 $. Ponadto, biorąc wyżej $ A=\Omega $, dostajemy, iż dla każdego $ r $,

$$ \sup_{i\in \mathcal{I}}\E |X_i|\leq \sup_{i\in \mathcal{I}} \int_{\{|X_i|\geq r\}}|X_i|\mbox{d}\P+r<\infty,$$

co jest żądanym warunkiem 1$ ^\circ $.

$ \Leftarrow $ Dla dowolnego $ i\in \mathcal{I} $ mamy, z nierówności Czebyszewa oraz 1$ ^\circ $,

$$ \P(|X_i|\geq r)\leq \frac{\E |X_i|}{r}\leq \sup_{i\in \mathcal{I}} \E |X_i|/r<\infty.$$

Następnie, dla dowolnego $ \e>0 $ dobieramy $ \delta $ z warunku 2$ ^\circ $. Powyższy rachunek daje, iż dla dostatecznie dużych $ r $ mamy $ \sup_{i\in \mathcal{I}}\P(|X_i|\geq r)<\delta $, a zatem z 2$ ^\circ $,

$$ \sup_{i\in \mathcal{I}}\int_{\{|X_i|\geq r\}}|X_i|\mbox{d}\P<\e.$$

Oznacza to, iż jest spełniony warunek definiujący jednakową całkowalność. □

Twierdzenie Niech $ p\geq 1 $ będzie ustaloną liczbą. Ciąg $ (X_n)_{n\geq 1} $ jest zbieżny w $ L^p $ wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny według prawdopodobieństwa oraz rodzina $ \{|X_n|^p\}_{n\geq 1} $ jest jednostajnie całkowalna.
Dowód: $ \Rightarrow $ Zbieżność według prawdopodobieństwa mamy za darmo; pozostaje wykazać jednostajną całkowalność. Dla dowolnego $ A\in \F $,

$$ \left(\int_A |X_n|^p\mbox{d}\P\right)^{1/p}=||X_n1_A||_p\leq ||X1_A||_p+||(X-X_n)1_A||_p. \leqno{(*)}$$

Dla $ A=\Omega $, nierówność $ (*) $ daje $ ||X_n||_p\leq ||X||_p+||X_n-X||_p $, a więc $ \sup_n ||X_n||_p<\infty $, co pociąga za sobą warunek 1$ ^\circ $ z poprzedniego twierdzenia. Aby dowieść 2$ ^\circ $, ustalmy $ \e>0 $. Z definicji zbieżności w $ L^p $, istnieje $ N $ takie, że $ ||X_n-X||_p<\e/2 $ dla $ n\geq N $. Rodzina $ \{|X|^p,|X_1-X|^p,\ldots,|X_N-X|^p\} $ jest skończona i zawiera całkowalne zmienne losowe, jest więc jednakowo całkowalna (por. Przykład 2 powyżej) i spełnia warunek 2$ ^\circ $: istnieje $ \delta $ taka, że jeśli $ \P(A)<\delta $, to

$$ \left(\int_A|X|^p\mbox{d}\P\right)^{1/p}<\e/2,\qquad \left(\int_A  |X_i-X|^p\mbox{d}\P\right)^{1/p}<\e/2,\quad i=1,\,2,\,\ldots,\,N.$$

Wystarczy teraz połączyć wszystkie powyższe rozważania i (*): jeśli $ \P(A)<\delta $, to

$$\sup_n \int_A |X_n|^p\mbox{d}\P\leq \e^p.$$

$ \Leftarrow $ Ponieważ $ X_n\to X $ według prawdopodobieństwa, to możemy wybrać podciąg $ (X_{n_k})_{k\geq 1} $ zbieżny do $ X $ prawie na pewno. Z lematu Fatou, $ X\in L^p $:

$$ \E |X|^p=\E \lim_{k\to\infty}|X_{n_k}|^p\leq \liminf_{k\to \infty}\E |X_{n_k}|^p\leq \sup_n \E |X_n|^p<\infty.$$

Dalej, mamy \begin{align*} ||X_n-X||_p&\leq ||(X_n-X)1_{\{|X_n-X|\geq \alpha\}}||_p+||(X_n-X)1_{\{|X_n-X|<\alpha\}}||_p\\ & \leq \left(\int_{\{|X_n-X|\geq \alpha\}}|X_n|^p\mbox{d}\P\right)^{1/p}+\left(\int_{\{|X_n-X|\geq \alpha\}}|X|^p\mbox{d}\P\right)^{1/p}\\ &     +\left(\int_{\{|X_n-X|< \alpha\}}|X_n-X|^p\mbox{d}\P\right)^{1/p}. \end{align*} Następnie, wybierzmy dowolne $ \e>0 $ i połóżmy $ \alpha=\e/3 $. Z warunku 2$ ^\circ $ dostajemy istnienie takiej $ \delta $, że jeśli $ \P(A)<\delta $, to

$$ \sup_n \int_A |X_n|^p\mbox{d}\P<\left(\e/3\right)^p,\qquad \int_A |X|^p<(\e/3)^p.$$

Ponadto, z definicji zbieżności według prawdopodobieństwa, istnieje $ N $ takie, że dla $ n\geq N $, $ \P(|X_n-X|\geq \alpha)<\delta $. Stąd wynika teza, gdyż dwa pierwsze składniki w powyższym oszacowaniu są mniejsze niż $ \e/3 $ oraz

$$ \left(\int_{\{|X_n-X|< \alpha\}}|X_n-X|^p\mbox{d}\P\right)^{1/p}\leq \left(\int_{\{|X_n-X|< \alpha\}} \alpha^p\mbox{d}\P\right)^{1/p}\leq \alpha=\e/3.\qedhere$$

Zadania

1. Zmienne $ (X_n)_{n\geq 1} $ są niezależnymi zmiennymi Rademachera. Udowodnić, że $ (X_n)_{n\geq 1} $ nie jest zbieżny p.n.. Czy $ (X_n)_{n\geq 1} $ jest zbieżny według prawdopodobieństwa?

2. Dany jest ciąg $ (X_n)_{n\geq 1} $ jak poprzednio. Udowodnić, że szereg $ \sum_{n=1}^\infty 2^{-n}X_n $ jest zbieżny p.n. i wyznaczyć rozkład graniczny.

3. Dane są ciągi $ (X_n)_{n\geq 1} $, $ (Y_n)_{n\geq 1} $ zbieżne według prawdopodobieństwa do $ X $, $ Y $, odpowiednio. Udowodnić, że

a) $ (X_n+Y_n)_{n\geq 1} $ zbiega do $ X+Y $ według prawdopodobieństwa. b) $ (X_nY_n)_{n\geq 1} $ zbiega według prawdopodobieństwa do $ XY $.

4. Dana jest całkowalna zmienna losowa $ X $. Niech dla $ n\geq1, $

$$X_n(\omega)=\begin{cases} -n & \text{jeśli }X(\omega)<-n,\\ X(\omega) & \text{jeśli }|X(\omega)|\leq n,\\ n & \text{jeśli }X(\omega)>n. \end{cases}$$

Czy $ (X_n)_{n\geq 1} $ zbiega do $ X $ p.n.? Czy zbiega w $ L^1 $?

5. Dane są ciągi $ (X_n)_{n\geq 1} $, $ (Y_n)_{n\geq 1} $ zbieżne p.n. do zmiennych $ X $, $ Y $. Udowodnić, że jeśli dla każdego $ n $ zmienne $ X_n $ oraz $ Y_n $ mają ten sam rozkład, to $ X $ i $ Y $ też mają ten sam rozkład.

6. Zmienne $ X_1 $, $ X_2 $, $ \ldots $ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z parametrem $ \lambda $.

(a) Udowodnić, że jeśli $ \lambda>1 $, to z prawdopodobieństwem $ 1 $ mamy $ \{X_n<\log n\} $ dla dostatecznie dużych $ n $, natomiast jeśli $ \lambda\geq 1 $, to z prawdopodobieństwem $ 1 $ mamy $ X_n\geq \log n $ dla nieskończenie wielu $ n $.

(b) Zbadać zbieżność p.n. ciągu $ (X_n/\log n)_{n\geq 2} $.

7. Zmienne $ X_1 $, $ X_2 $, $ \ldots $ są niezależne, nieujemne i mają ten sam rozkład, różny od $ \delta_0 $. Dowieść, że $  \sum_{n=1}^\infty X_n=\infty $ z prawdopodobieństwem $ 1 $.

8. Zmienne losowe $ X_1 $, $ X_2 $, \ldots są niezależne, mają ten sam rozkład i spełniają warunek $ \P(|X_i|<1)=1 $. Udowodnić, że $ \lim_{n\to\infty}X_1X_2\ldots X_n=0 $ p.n.

9. Zmienne $ X_1 $, $ X_2 $, $ \ldots $ są niezależne i mają ten sam rozkład.

(a) Udowodnić, że ciąg średnich

$$  \frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n},\qquad n=1,\,2,\,\ldots$$

jest albo zbieżny p.n., albo rozbieżny z prawdopodobieństwem $ 1 $.

(b) Udowodnić, że jeśli ten ciąg jest zbieżny p.n., to jego granica ma rozkład jednopunktowy.

10. Dany jest ciąg $ (X_n)_{n\geq 1} $ niezależnych zmiennych losowych takich, że dla $ n\geq 1 $ $ X_n $ ma rozkład Poissona z parametrem $ 1/n $. Czy $ (X_n)_{n\geq 1} $ jest zbieżny według prawdopodobieństwa? Czy jest zbieżny p.n.? Czy jest zbieżny w $ L^2 $? Czy jest zbieżny w $ L^{3/2} $?

11. Dany są ciągi zmiennych $ (X_n)_{n\geq 1} $, $ (Y_n)_{n\geq  1} $, przy czym $ X_n\to X $ w $ L^p $ oraz $ Y_n \to Y $ w $ L^q $, gdzie $ p,\,q>1 $ spełniają warunek $ 1/p+1/q=1 $. Dowieść, że $ (X_nY_n)_{n\geq 1} $ zbiega w $ L^1 $ do $ XY $.

12. Jakie warunki musi spełniać niepusty zbiór $ \Lambda\subseteq (0,\infty) $, aby rodzina zmiennych losowych $ (X_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} $, gdzie

(a) $ X_\lambda \sim \mathcal{U}([0,\lambda]) $,

(b) $ X_\lambda \sim \mbox{\,Exp\,}(\lambda) $,

była jednostajnie całkowalna?

13. Dana jest funkcja $ G:[0,\infty)\to [0,\infty) $ taka, że $ \lim_{t\to\infty} \frac{G(t)}{t}=\infty $. Załóżmy, że $ (X_i)_{i\in  I} $ jest rodziną zmiennych losowych takich, że $ \sup_{i\in I} \mathbb{E}  G(|X_i|) <\infty $. Udowodnić, że rodzina ta jest jednostajnie całkowalna.