Warunkowa wartość oczekiwana
Warunkowa wartość oczekiwana jest jednym z kluczowych pojęć w teorii prawdopodobieństwa. Zacznijmy od sytuacji gdy warunkujemy względem zdarzenia.





![]() |
![]() |

1. Załóżmy najpierw, że , gdzie
. Wówczas
![]() |
2. Z liniowości, dowodzona równość zachodzi także dla zmiennych prostych (kombinacji liniowych indykatorów zdarzeń).
3. Teraz jeśli jest nieujemną zmienną losową, to bierzemy niemalejący ciąg
zmiennych prostych zbieżny prawie na pewno do
. Pisząc (*) dla
i zbiegając z
dostajemy (*) dla
, na mocy twierdzenia Lebesgue'a o monotonicznym przejściu do granicy pod znakiem całki.
4. Jeśli jest dowolną zmienną losową, to rozważamy rozbicie
i stosujemy (*) dla
oraz
; po odjęciu stronami dostajemy (*) dla
. □
Rozważmy teraz następujący przykład. Przypuśćmy, że jest rozbiciem
na zdarzenia o dodatniej mierze. Niech
będzie całkowalną zmienną losową i zdefiniujmy zmienną
wzorem
jeśli
,
. Zmienną
interpretujemy jako średnią wartość
jeśli wiemy wszystko o zdarzeniach z
-ciała generowanego przez rozbicie
. Zmienna
posiada następujące własności:
1) jest mierzalna względem
- gdyż jest stała na dowolnym zdarzeniu
,
2) Dla każdego mamy
![]() |
skąd wynika, iż
![]() |
dla dowolnego .
Prowadzi to do definicji warunkowej wartości oczekiwanej względem -ciała.








1) jest mierzalna względem
.
2) Dla każdego ,
![]() |
Oznaczenie: .
W szczególności gdy ,
, to definiujemy prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia
pod warunkiem
poprzez
















![]() |
Jednoznaczność jest oczywista: jeśli ,
są zmiennymi losowymi spełniającymi 1) oraz 2), to w szczególności, dla każdego
,
, skąd
p.n. □
Przechodzimy do pojęcia warunkowej wartości oczekiwanej względem zmiennej losowej. Będziemy potrzebować następującego pomocniczego faktu.





1. Załóżmy, że , gdzie
. Wówczas
dla pewnego
, skąd
, czyli jako
możemy wziąć indykator
.
2. Jeśli jest zmienną prostą, to jako
bierzemy kombinację liniową odpowiednich indykatorów (patrz poprzedni punkt).
3. Załóżmy, że jest nieujemną zmienną losową. Istnieje niemalejący ciąg
prostych,
-mierzalnych zmiennych losowych zbieżny do
. Na mocy 2), mamy
dla pewnego ciągu funkcyjnego
. Jak łatwo sprawdzić, wystarczy wziąć
![]() |
4. Jeśli teraz jest dowolną zmienną losową, to mamy
, gdzie
,
to funkcje borelowskie odpowiadające
-mierzalnym
oraz
. □




![]() |
Uwaga: Na mocy lematu mamy dla pewnej funkcji borelowskiej
. Liczbę
możemy interpretować jako
.\\
Przykłady:
1. Załóżmy, że ,
posiadają rozkłady skokowe. Oznaczmy
![]() |
Jeśli jest dowolną funkcją borelowską taką, że
, to
![]() |
Aby to wykazać, należy sprawdzić, iż prawa strona (oznaczana dalej przez ) spełnia własności 1) i 2) z definicji
. Pierwszy warunek jest jasny -
, jako funkcja
, jest
-mierzalna. Zajmijmy się zatem drugim warunkiem. Niech
. Ponieważ
ma rozkład dyskretny,
jest co najwyżej przeliczalną sumą zdarzeń postaci
oraz zdarzenia o prawdopodobieństwie
. Wystarczy więc sprawdzić 2) dla zbiorów
postaci
. Mamy
![]() |
oraz
![]() |
2. Konkretny przykład. Załóżmy, że ,
są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z parametrami
, odpowiednio. Wyznaczymy
.
Wiadomo, że ma rozkład Poissona z parametrem
. Stąd
![]() |
Ponadto, jeśli , to
![]() |
i
![]() |
Stąd
![]() |
3. Załóżmy, że ma rozkład z gęstością
i niech
będzie gęstością zmiennej
. Zdefiniujmy gęstość warunkową wzorem
![]() |
Wówczas dla dowolnej funkcji borelowskiej takiej, że
mamy
![]() |
Istotnie, sprawdzimy, że prawa strona spełnia warunki 1) i 2) z definicji . Oczywiście warunek 1) jest spełniony - prawa strona jest funkcją od
. Przejdźmy do 2). Dla dowolnego
mamy, iż
dla pewnego
oraz
![]() |
4. Konkretny przykład. Załóżmy, że ma rozkład jednostajny na trójkącie
![]() |
Obliczymy oraz
.
Mamy oraz
![]() |
Wobec tego, gęstość warunkowa zadana jest wzorem
![]() |
Stąd
![]() |
oraz \begin{align*} \P(X\leq 1/2|Y)&=\E[ 1_{(-\infty,1/2]}(X)|Y]\\ &=\int_\R 1_{(-\infty,1/2]}(x)g_{X|Y}(x|Y)\mbox{d}x\\ &=\frac{1}{Y}\int_0^Y 1_{(-\infty,1/2]}(x)1_{[0,Y]}(x)\mbox{d}x\\ &=\begin{cases} 1 & \mbox{jeśli }Y\leq 1/2,\\ 1/(2Y) & \mbox{jeśli }Y>1/2. \end{cases} \end{align*}
Własności warunkowej wartości oczekiwanej
Załóżmy, że jest ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech
będzie pewnym pod-
-ciałem
. Ponadto, o wszystkich zmiennych losowych warunkowanych zakładamy, że są całkowalne.
0. Mamy . Wynika to natychmiast z 2), jeśli weźmiemy
.

![$ [2,10] $](/sites/default/files/tex/da5dd7507e398096995cd53061f52062de3a1b6d.png)


Rozwiązanie: Wprowadźmy zmienną losową , zadaną jako liczbę wypadków danego dnia. Zmienna
ma rozkład Poissona z parametrem
, ponadto, z warunków zadania,
. Istotnie, średnia wysokość szkody powstałej w pojedynczym wypadku wynosi
, a więc jeśli było
wypadków, to średnia szkoda wynosi
. Zatem, korzystając z własności 0.,
![]() |
1. Niech . Wówczas
![]() |
Istotnie: sprawdzimy, że prawa strona (oznaczana dalej przez ) spełnia warunki 1) i 2) z definicji
. Pierwszy warunek jest oczywisty. Aby sprawdzić drugi zauważmy, że dla dowolnego
,
![]() |
2. Jeśli jest nieujemną zmienną losową, to
p.n. Istotnie, niech
. Wówczas
i
![]() |
Widzimy, że gdyby zdarzenie miało dodatnie prawdopodobieństwo, to lewa strona byłaby ujemna, a prawa - nieujemna.
3. Mamy
![]() |
Istotnie, na mocy 1. oraz 2. mamy, iż nierówność p.n. pociąga za sobą
. Stąd, z prawdopodobieństwem
,
![]() |
i
![]() |
Uwaga: Biorąc wartość oczekiwaną obu stron w (*) dostajemy, na mocy 0.,
![]() |
Innymi słowy, operator liniowy jest kontrakcją.
4. Warunkowa wersja twierdzenia Lebesgue'a o monotonicznym przejściu do granicy. Załóżmy, że jest niemalejącym ciągiem nieujemnych zmiennych losowych zbieżnych p.n. do
. Wówczas
p.n.
Aby to wykazać, zacznijmy od obserwacji iż na mocy 1. i 2., ciąg jest z prawdopodobieństwem
niemalejący, a więc w szczególności zbieżny. Oznaczmy jego granicę przez
,
. Niech teraz
. Mamy, na mocy 2) oraz bezwarunkowego twierdzenia Lebesgue'a,
![]() |
Ponieważ jest
-mierzalna, to z powyższej równości wynika, iż
.
5. Analogicznie dowodzimy warunkowe wersje twierdzenia Lebesgue'a o zmajoryzowanym przejściu do granicy pod znakiem całki oraz lematu Fatou.
6. Załóżmy, że jest mierzalna względem
. Wówczas
![]() |
W szczególności, biorąc , dostajemy, iż
.
Sprawdzamy, że prawa strona spełnia warunki 1) oraz 2) z definicji . Warunek 1) jest oczywisty, pozostaje więc sprawdzić drugi. Zastosujemy metodę komplikacji zmiennej
.
a) Jeśli , gdzie
, to dla dowolnego
,
![]() |
b) Jeśli jest zmienną prostą, to wzór
dostajemy na mocy a) oraz liniowości warunkowych wartości oczekiwanych.
c) Jeśli jest nieujemną zmienną losową, to istnieje niemalejący ciąg
-mierzalnych zmiennych prostych, zbieżny p.n. do
. Rozbijmy
i zastosujmy b) do zmiennych
oraz
:
![]() |
Zbiegając z i korzystając z warunkowej wersji twierdzenia Lebesgue'a (własność 4.), dostajemy
![]() |
Zastępując przez
i powtarzając rozumowanie, dostajemy
![]() |
i po odjęciu stronami dostajemy (+).
d) Jeśli jest dowolną zmienną losową, to rozbijamy ją na różnicę
, stosujemy c) do zmiennych
,
, oraz
,
, i odejmujemy stronami uzyskane równości.
7. Jeśli są pod-
-ciałami
, to
![]() |
Zacznijmy od obserwacji, iż wyrażenia stojące po skrajnych stronach są równe. Wynika to natychmiast z poprzedniej własności: zmienna losowa jest mierzalna względem
. Wystarczy więc udowodnić, że pierwsze dwa wyrazy w (=) są równe. Weźmy
. Mamy
, a więc
![]() |
skąd teza.
8. Załóżmy, że jest niezależna od
. Wówczas
. Istotnie, sprawdzimy, że
spełnia warunki 1) i 2) w definicji
. Warunek 1) jest oczywisty:
jest zmienną losową stałą, a więc mierzalną względem każdego
-ciała. Niech teraz
. Mamy na mocy niezależności
oraz
,
![]() |
9. Nierówność Jensena. Załóżmy, że jest funkcją wypukłą taką, że
jest zmienną całkowalną. Wówczas
![]() |
Będzie nam potrzebny następujący prosty fakt. Dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie.




![]() |
Powróćmy do dowodu 9. Dla ciągów ,
, gwarantowanych przez powyższy lemat, mamy
dla każdego
. Stąd, na mocy 1. oraz 2., z prawdopodobieństwem
,
![]() |
Poniweaż ciągi ,
są przeliczalne, to możemy wziąć supremum po
po prawej stronie i dalej nierówność będzie zachodziła z prawdopodobieństwem
:
![]() |
Uwaga: Jako wniosek, dostajemy, iż dla i
,
![]() |
Stąd po wzięciu wartości oczekiwanej obu stron, czyli
![]() |
Zatem warunkowa wartość oczekiwana jest kontrakcją w
.
Na zakończenie zajmiemy się zagadnieniem regresji nieliniowej. Załóżmy, że ,
są zmiennymi losowymi całkowalnymi z kwadratem. Obserwujemy zmienną
i za pomocą tych danych chcemy najlepiej przybliżyć
(w sensie średniokwadratowym) zmienną postaci
. Ściślej, szukamy funkcji borelowskiej
takiej, że
![]() |
W przypadku, gdy zawęzimy się do klasy funkcji liniowych, prowadzi to do zagadnienia regresji liniowej, rozważanej wcześniej.




![]() |
Stąd teza. □
Zadania
1. Zmienne losowe są niezależne i mają ten sam rozkład
,
. Obliczyć
oraz
.
2. Zmienne losowe ,
są niezależne, przy czym
ma rozkład Bernoulliego
, a
ma rozkład Bernoulliego
. Wyznaczyć
oraz
.
3. Rzucono kostką, a następnie rzucono nią tyle razy, ile oczek wypadło w pierwszym rzucie. Obliczyć wartość oczekiwaną liczby wyrzuconych trójek.
4. W urnie znajduje się kul białych,
kul czarnych i
kul czerownych (
,
,
są dodatnimi liczbami całkowitymi). Losujemy ze zwracaniem po jednej kuli aż do momentu wyciągnięcia kuli czerwonej. Wyznaczyć wartość oczekiwaną liczby losowań w których wyciągnięto białą kulę.
5. Wiadomo, że procent monet stanowią monety fałszywe, z orłem po obu stronach. Losujemy ze zwracaniem
monet i każdą z nich wykonujemy rzut. Niech
oznacza liczbę losowań, w wyniku których wyciągnięto monetę fałszywą,
- liczba wyrzuconych orłów. Udowodnić, że
6. Zmienna losowa ma gęstość
![]() |
Wyznaczyć ,
oraz
.
7. Zmienne losowe ,
są niezależne i mają rozkład wykładniczy z parametrem
. Obliczyć
(dla
) oraz
.
8. Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy z parametrem
, zaś
jest zmienną losową taką, że jeśli
, to
ma rozkład wykładniczy z parametrem
.
a) Wyznaczyć rozkład .
b) Obliczyć .
9. Zmienna losowa ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej
, Var
, Var
, Cov
. Obliczyć
(dla
) oraz
.
10. Zmienne ,
,
,
są niezależne i mają ten sam rozkład o skończonej wartości oczekiwanej. Obliczyć
11. Załóżmy, że ,
są zmiennymi losowymi a
jest
-ciałem takim, że
jest mierzalne względem
, a
jest niezależne od
. Niech
będzie funkcją borelowską taką, że
jest całkowalną zmienną losową. Udowodnić, że
![]() |
gdzie .
12. Załóżmy, że jest całkowalną zmienną losową, a
-ciało
jest niezależne od
oraz od
-ciała
. Udowodnić, że
![]() |
13. Zmienne ,
,
są niezależne, przy czym
ma standardowy rozkład normalny,
jest nieujemną zmienną ograniczoną, a
ma rozkład Rademachera. Obliczyć
oraz
.
14. Zmienne ,
,
,
są niezależne, przy czym
ma rozkład Poissona z parametrem
, a
ma rozkład jednostajny na
,
. Obliczyć
.