Topologia I

O topologii

Topologią jest dziedziną matematyki w której nadaje się precyzyjny, abstrakcyjny sens intuicjom związanym z pojęciami ciągłości, deformacji, spójności oraz analizy jakościowej wzajemnego położenia obiektów geometrycznych - stąd dawna nazwa topologii Analysis situs, czyli analiza położenia. Topologia bywa określana jako ''elastyczna geometria''; czyli nauka o relacjach geometrycznych abstrahujących od pomiarów odległości, ale dopuszczających ciągłe przekształcenia obiektów geometrycznych. Relacje przystawania czy izometrii znane z geometrii zastępują w topologii pojęcia homeomorfizmu lub jeszcze bardziej zgrubne homotopijnej równoważności obiektów geometrycznych. Niezmiennikiem homeomorfizmu jest np. zwartość i spójność przestrzeni; niezmiennikiem homotopijnych równoważności tylko spójność i jej wyżej wymiarowe odpowiedniki (''dziury w przestrzeni'').

Początki rozważań topologicznych znajdują się w pracach Leonarda Eulera , ale pierwszego całościowego ujęcia idei topologicznych dokonał Johann Benedict Listing w wydanej w 1848 roku książce Vorstudien zur Topologie, który wprowadził też nazwę "Topologia" od greckiego słowa tópos - miejsce. Kolejne przełomy w rozwoju topologii są związane ze sformułowaniem jej podstawowych i pojęć w terminach teorii mnogości, rozwiniętej przez Georga Cantora pod koniec XIX w. oraz z wprowadzeniem narzędzi algebraicznych do badania własności topologicznych przez Henri Poincaré na początku wieku XX. Do rozwoju topologii wybitnie przyczynili się warszawscy matematycy Kazimierz Kuratowski, Karol Borsuk i Samuel Eilenberg (od 1939 r. w USA).

Tak jak przewidywał Poincaré, metody topologiczne wywarły ogromny wpływ na badania matematyczne w wielu dziedzinach. W XX w. kilkunastu matematyków otrzymało medal Fieldsa za osiągnięcia w dziedzinie topologii lub za osiągnięcia w geometrii i analizie globalnej motywowane ideami topologicznymi. Topologia przeplata się z niemal wszystkimi działami matematyki czystej, a w ostatnich latach jej idee są wykorzystywane coraz szerzej w informatyce teoretycznej i robotyce; obok tradycyjnych działów topologii: topologii mnogościowej (ogólnej), algebraicznej, geometrycznej coraz więcej mówi się o topologii obliczeniowej ( computational topology ).

O e-skrypcie

E-skrypt stanowi zintegrowaną i uzupełnioną wersję prezentacji wyświetlanych podczas wykładu przedmiotu Topologia I, prowadzonego przez autora w latach 2012-2014 na Wydziale MIM UW. Założeniem kursu było przekazania wiedzy i umiejętności przewidzianych programem i jednocześnie:

  • rozwijanie umiejętności posługiwania się pojęciami z teorii zbiorów;
  • podkreślenie analogii i związków pojęć i konstrukcji topologicznych ze znanymi z algebry liniowej, teorii grup i analizy matematycznej;
  • zastosowanie abstrakcyjnych pojęć do badania dobrze znanych powierzchni: walca, wstęgi Möbiusa, sfery, torusa, płaszczyzny rzutowej i butelki Kleina.

Skrypt intenetowy stwarza możliwości aktualizacji niedostępne na nośniku papierowym. Obok tekstu skryptu w menu po lewej stronie ekranu znajdują się linki do quizów (testów) mających na celu weryfikację opanowania podstawowych pojęć topologii. Pierwszy quiz testuje opanowanie pojęć teorii zbioru, niezbędnych do nauki topologii. Po wypełnieniu quizu otrzymuje się informacje o prawidłowych odpowiedziach, czasami wraz z uzasadnieniem. Na zakończenie każdego rozdziału umieszczone są zadania, sprawdzające przyswojenie materiału, często na konkretnych przykładach przestrzeni i przekształceń. W tekście znajduje się wiele zewnętrznych linków, w tym do not biograficznych o matematykach, których twierdzenia są omawiane.

Zachęcam do równoległej lektury skryptu S. Betley, J. Chaber, E.Pol, R.Pol TOPOLOGIA I, wykłady i zadania, wrzesień 2012 oznaczanego dalej BCPP. Czytelnik zauważy z pewnością pewne różnice zarówno w zakresie materiału, jak i rozkładu akcentów. Mam jednak nadzieję, że spojrzenie na topologię z różnych perspektyw pozwoli lepiej zrozumieć jedne z najważniejszych idei matematyki. Wśród zadań znajduje się wiele odsyłaczy do ciekawych zadań z skryptu BCPP.

Zapraszam do korzystania z e-skryptu oraz przesyłania wszelkich uwag, w tym postulatów uzupełnienia dowodów, dodania wskazówek do zadań, uzupełnienia skryptu o pewne tematy itp. Dzięki współpracy z użytkownikami e-skrypt może stawać się coraz lepszy.

UWAGA. Załączone do poszczególnych stron pliki pdf nie zawierają obecnie wielu poprawek wprowadzonych w wersji html !

Stefan Jackowski

30 września 2015 r.