Baza topologii

Definicja [Baza topologii] Niech $ {\cal T}\subset \sP(X) $ będzie topologią w zbiorze $ X $. Podrodzinę $ {\cal B}\subset{\cal T} $ nazywamy bazą topologii $ \cal T $ jeśli dowolny zbiór $ U\in{\cal T} $ jest sumą mnogościową pewnych zbiorów należących do $ \cal B $.

Jeśli przestrzeń topologiczna posiada bazę przeliczalną, to mówimy że spełnia II aksjomat przeliczalności.

Rodzina $ {\cal B}\subset{\cal T} $ jest bazą topologii $ \cal T $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego punktu $ x\in X $ oraz zbioru otwartego $ U\ni x $ istnieje zbiór $ V\in \cal B $ taki, że $ x\in V\subset U $. Istotnie, jest to warunek równoważny stwierdzeniu, że $ U $ jest sumą zbiorów należących do $ {\cal B} $. W zapisie logicznym warunek, że zbiór jest otwarty, wyrażony w terminach bazy jest nastepujący:

$$U\in\sT\,\iff\, \forall_{x\in U}\,\exists_{V\ni \sB}\, x\in V\subset U.$$

Jeśli $ {\cal B}\subset{\cal T} $ jest bazą topologii $ \sT $ to oczywiście $ \sB $ generuje topologię $ \sT $, przy czym w opisanej wyżej procedurze generowania topologii przez rodzinę zbiorów wystarczy dokonać kroku drugiego, bowiem definicji bazy przecięcie skończenie wielu zbiorów otwartych jest sumą zbiorów z $ \sB $.

Definicja Mówimy, że rodzina podzbiorów $ \{A_s\}_{s\in S} $ zbioru $ X $ jest jego pokryciem jeśli $ \bigcup\limits_{s\in S}A_s = X $ .
Stwierdzenie Rodzina $ \sB\subset\sP (X) $ jest bazą topologii $ \sT(\sB) $ generowanej przez rodzinę $ \sB $ wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące dwa warunki:

  1. Rodzina $ \sB $ jest pokryciem $ X $;
  2. Dla dowolnych zbiorów $ V_1,V_2\in\sB $ oraz punktu $ x\in V_1\cap V_2 $ istnieje zbiór $ {V\in\sB $ taki, że $ x\in V\subset V_1\cap V_2 $.

Stwierdzenie (#) Niech $ \sT_1,\,\sT_2 $ będą topologiami w zbiorze $ X $ a $ \sB_1\subset\sT_1, $ i $ \sB_2\subset\sT_2 $ odpowiednio pewnymi ich bazami. Inkluzja topologii $ \sT_1\subset \sT_2 $ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $ x\in X $ i zbioru bazowego $ U_1\in\sB_1 $ takiego, że $ x\in U_1\in\sB_1 $ istnieje zbiór $ U_2 $ taki, ze $ x\in U_2\subset U_1 $. □
Stwierdzenie Jeśli przestrzeń $ (X,\sT) $ posiada bazę przeliczalną, to z każdego pokrycia $ X $ zbiorami otwartymi $ \{U_s\}_{s\in S}\subset\sT $ można wybrać podpokrycie przeliczalne, czyli istnieją wskaźniki $ s_1,s_2,...\in S $ takie, że $ \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_{s_i} = X $.

Ostatnie stwierdzenie wynika natychmiast z następującego lematu teorio-mnogościowego:

Lemat (#) Załóżmy, że mamy dane dwa pokrycia zbioru $ X $: $ \{A_s\}_{s\in S} $ oraz $ \{B_t\}_{t\in T} $. Jeśli dla każdego $ s\in S $ i dla każdego punktu $ a\in A_s $ istnieje zbiór $ B_{t(a)} $ taki, że $ a\in B_{t(a)}\subset A_s $, to istnieje podzbiór $ S'\subset S $ mocy nie większej niż moc zbioru $ T $ taki, że $ \{A_s\}_{s\in S'} $ jest także pokryciem.
Dowód: Rozpatrzmy funkcję $ \tau:\left\{ (a,s) \ | \ a \in A_s, \ s \in S\right\} \to T $ taką, że $ \forall_{(a,s)} a\in B_{\tau (a,s)}\subset A_s $ i oznaczmy przez $ T'\subset T $ obraz $ \tau $, a więc $ X= \bigcup\limits_{t' \in T'}B_{t'} $. Dla dowolnego $ t'\in T' $ wybieramy po jednym elemencie $ (a', s')\in\tau^{-1}(t') $ i definiujemy zbiór

$$S' := \{s'\in S\, |\, \exists_{t'\in T'}\, (a', s')\, \text{jest wybranym elementem}\, \tau^{-1}(t')\}.$$

Oczywiście $ |S'|\le |T'|\le |T| $ oraz $ \{A_{s'}\}_{s'\in S'} $ jest pokryciem, bowiem:

$$\bigcup_{s' \in S'}A_{s'} \supset \bigcup\limits_{t' \in T'}B_{t'} = X.$$

Stwierdzenie Jeśli przestrzeń $ (X,\sT) $ spełnia II aksjomat przeliczalności (tzn. posiada bazę przeliczalną), to z dowolnej bazy można wybrać bazę przeliczalną.
Dowód: Oznaczmy bazę przeliczalną $ X $ jako $ \sB $, natomiast dowolną bazę $ \sB' $. Dowód wynika natychmiast z Stw. [link]. Dowolny zbiór z przeliczalnej bazy $ \sB $ można pokryć przeliczalną ilością zbiorów z bazy $ \sB' $ - ponieważ przeliczalna suma zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna, więc biorąc zbiory z bazy $ \sB' $ potrzebne do pokrycia wszystkich zbiorów z bazy $ \sB $ otrzymujemy bazę przeliczalną. □
Definicja [Baza topologii w punkcie] Niech $ x\in X $ będzie ustalonym punktem. Podrodzinę $ {\cal B}_x\subset{\cal T} $ nazywamy bazą topologii $ \cal T $ w punkcie $ x $ jeśli dla każdego zbioru otwartego $ U\ni x $ istnieje zbiór $ V\in \sB_x $ taki, że $ x\in V\subset U $. Bazę w punkcie nazywamy także bazą otoczeń punktu $ x $.

Jeśli przestrzeń topologiczna posiada bazę przeliczalną w każdym punkcie, to mówimy że spełnia I aksjomat przeliczalności.

Zauważmy, że jeśli $ {\cal B} $ jest bazą przestrzeni $ (X,\sT) $, to dla dowolnego $ x\in X $ rodzina $ {\cal B}_x := \{U\in\ {\cal B}\, |\, U\ni x\} $ jest bazą w punkcie $ x $. Odwrotnie, mając bazy w punktach $ {\cal B}_x $ dla wszystkich $ x\in X $, rodzina $ {\cal B} := \bigcup\limits_{x\in X} {\cal B}_x $ jest bazą przestrzeni $ (X,\sT) $.

Przykład (#) Jeśli $ (X,d) $ jest przestrzenią metryczną to dla ustalonego punktu $ x_0\in X $ rodzina kul $ \sB(x_0) :=\{B(x_0;\frac{1}{n})\, |\, n=1,2,...\} $ jest bazą topologii $ \sT(d) $ w punkcie $ x_0 $, a więc dowolna przestrzeń metryzowalna spełnia I aksjomat przeliczalności.