Butelka Kleina

Butelkę Kleina Felix Christian Klein (Duesseldorf 1849 - 1925 Göttingen ) zazwyczaj definiuje się jako przestrzeń powstała z następujących utożsamień na bokach kwadratu $ J^2=[-1,1]\times [-1,1] $: $ (1,t)\sim (-1,-t) $ oraz $ (s,1)\sim (s,-1) $. Kolejne etapy utożsamiania boków są pokazane w serii ilustracji w Wikipedia. Podobnie jak sfera, torus i płaszczyzna rzutowa butelka Kleina posiada także inne użyteczne modele.

Stwierdzenie (#) Następujące przestrzenie są homeomorficzne z butelką Kleina.

  1. $ B' $ - przestrzeń ilorazowa walca $ S^1\times [-1,1] $ w którym utożsamiamy punkty $ (z,1)\sim (\bar z, -1) $;
  2. $ B'' $ - przestrzeń ilorazowa torusa $ S^1\times S^1 $ w którym utożsamiamy punkty $ (z_1,z_2)\sim (\bar z_1,-z_2) $, gdzie $ \bar z $ oznacza sprzężenie zespolone;
  3. $ B''' $ - przestrzeń ilorazowa sumy prostej dwóch domkniętych wstęg Moebiusa $ M_1\sqcup M_2 $ w której utożsamiamy punty $ ([z,1],1)\sim ([z,1],2) $ -- czyli dwie wstęgi Möbiusa sklejone wzdłuż brzegów.

Butelka Kleina jest przestrzenią zwarta, której każdy punkt ma otoczenie homeomorficzne z $ \R^2 $.

Dowód: W celu sprawdzenia zwartości, wystarczy zauważyć, że butelka Kleina jest przestrzenią Hausdorffa. Odwzorowanie ilorazowe $ q\colon T\to B'' $ jest homeomorfizmem na górnych i dolnych ''ćwiartkach'' torusa, które są homeomorficzne z $ \R^2 $. Czytelnik, który dobrnął do tego miejsca bez trudu wyobrazi sobie i zapisze powyższe homeomorfizmy ;). □
Uwaga Podobnie jak poprzednio rozważane powierzchnie, butelka Kleina jest topologicznie jednorodna tzn. dla każdej pary punktów istnieje homeomorfizm przeprowadzający jeden na drugi. Przekłuta butelka Kleina jest homotopijnie równoważna z bukietem dwóch okręgów.
Uwaga Zanurzenie butelki Kleina w przestrzeń euklidesową $ \R^4 $ opisane jest w BCPP Zad. 5.8. oraz Michał Krych, Analiza Matematyczna 2, Funkcje wielu zmiennych - ciągłość.. Poniższa, atrakcyjna wizualizacje obrazu przekształcenia butelki Kleina w $ \R^3 $ pochodzi w Wikipedii:

Twierdzenie Przekształcenie okręgu na wspólny brzeg wstęg Möbiusa $ \iota\colon S^1\to B''' $,

$$\iota (z) := [[z,1],1] = [[-z,-1],1]=  [[z,1],2] =  [[-z,-1],2]$$

(dwukrotne nawinięcie) definiuje monomorfizm $ \iota^*\colon H^1(B''')\to H^1(S^1) $, którego obrazem jest podgrupa cykliczna generowana przez klasę homotopii odwzorowanie stopnia 2, a więc $ H^1(B)\simeq \Z $.

Dowód: Oznaczmy $ E := \iota (S^1) = M_1\cap M_2 $ i nazwijmy ten zbiór, homeomorficzny z okręgiem, równikiem butelki Kleina. Niech $ g\colon B\to S^1 $ będzie odwzorowaniem, które po obcięciu do równika jest ściągalne. Z Tw. [link] wynika, że jest ono ściągalne na obu wstęgach Möbiusa, a więc na obu można określić jego logarytm. Ponieważ przecięcie tych wstęg jest spójne, wieć na mocy Wniosku [link] istnieje logarytm $ g $ określony na całej butelce, a więc $ g $ jest ściągalne. □
Stwierdzenie Butelka Kleina nie jest homeomorficzna (a nawet homotopijnie równoważna) ze sferą, torusem, ani płaszczyzną rzutową.
Dowód: Grupy kohomologii wymienionych przestrzeni nie są izomorficzne, a więc nie są one homotopijnie równoważne. □