Ciągi Cauchy i zupełność przestrzeni metrycznych

Znane z Analizy Matematycznej pojęcie ciągu Cauchy liczb przenosi się na dowolne przestrzenie metryczne:

Definicja Ciąg punktów $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ w przestrzeni metrycznej $ (X,d) $ , nazywa się ciągiem Cauchy jeśli dla każdej liczby $ \epsilon>0 $ istnieje liczba $ n(\epsilon) $ taka, że dla dowolnych $ r,s>n(\epsilon) $ zachodzi nierówność $ d(x_r,x_s)<\epsilon $ (czyli ciąg $ d(x_r,x_s) \to 0 $).

Dowolny ciag zbieżny w $ (X,d) $ jest ciągiem Cauchy, lecz nie każdy ciąg Cauchy musi być zbieżny (np. w $ ((0,1),d_e) $).

Stwierdzenie (#) Jeśli $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ jest ciągiem Cauchy to prawie wszystkie wyrazy ciągu leżą w kuli o dowolnie małym promieniu. Jeśli zbiór $ \{x_n\} $ posiada punkt skupienia $ x_0 $, to ciąg $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ jest zbieżny do $ x_0 $.
Dowód: Niech $ \epsilon >0. $ Z definicji ciągu Cauchy istnieje $ n_0 $ takie, że dla każdego $ n,m \geq n_0 $ zachodzi $ d(x_n,x_m)\leq\frac 12 \epsilon $, a zatem prawie wszystkie wyrazy ciągu leżą w kuli $ B(x_{n_0},\epsilon) $.

Jeśli zbiór $ \{x_n\} $ posiada punkt skupienia $ x_0 $, to istnieje podciąg $ \{x_{n_k}\} $ zbieżny do $ x_0 $. Stąd $ d(x_n,x_0)\leq d(x_n,x_{n_k})+d(x_{n_k},x_0)\leq\epsilon $ dla dostatecznie dużych $ n $ i $ n_k $.□

Definicja Przestrzeń metryczna jest zupełna jeśli dowolny ciąg Cauchy jej elementów jest zbieżny (tzn. posiada granicę).
Stwierdzenie (#) Jeśli $ h\colon (X,d_X)\to (Y,d_Y) $ jest bijekcją zachowującą odległość (tzn. izometrią) oraz $ (X,d) $ jest przestrzenią zupełną, to $ (Y,d_Y) $ też jest przestrzenią zupełną. □

Zwarta przestrzeń metryczna jest oczywiście zupełna, a z Twierdzenia [link] wynika, że dowolna metryka wyznaczająca topologię zwartą jest zupełna. Zachodzi nawet następujące nieco silniejsze twierdzenie:

Stwierdzenie Jeśli $ (X,d) $ jest przestrzenią metryczną. Załóżmy, że istnieje liczba $ r>0 $ taka, że dla każdego punktu $ {x\in X} $ domknięcie kuli $ \cl(B(x,r)) $ jest zbiorem zwartym. Wtedy $ (X,d) $ jest przestrzenią zupełną.
Dowód: Niech $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ będzie ciągiem Cauchy. Z Stwierdzenia [link] wynika, że prawie wszystkie elementy tego ciągu leżą w pewnej zwartej kuli $  \cl(B(x,r)) $, a więc ten ciąg jest zbieżny. □

Zupełność jest własnością metryczną pokrewną topologicznej zwartości, co świetnie ilustruje kolejne twierdzenie, analogiczne do Lematu [link]. Należy jednak zauważyć, że w ogólności zupełność nie jest własnością topologiczną: dwie metryki mogą być równoważne, ale jedna zupełna a druga nie. Np. w zbiorze liczb rzeczywistych $ \R $ można określić metrykę równoważną z (zupełną) metryką euklidesową, która nie jest zupełna.

Definicja Niech $ A $ będzie podzbiorem w przestrzeni metrycznej $ (X,d) $. Średnicą zbioru $ A $ nazywa sie liczbę (lub $ +\infty $) $ d(A) := \sup\{d(x,y)\, |\, x,y\in A\} $
Lemat (#) Dla dowolnego podzbioru $ A $ w w przestrzeni metrycznej $ (X,d) $ zachodzi równość średnic: $ d(A) = d(\cl (A)) $
Dowód: $ d(a,b)\leq d(a,a_n)+d(a_n,b)\leq d(a,a_n)+d(a_n,b_n)+d(b_n,b) $ stąd $ d(a,b)\leq d(a_n,b_n) + 2\epsilon $ dla $ n>n_0 $, a więc $ d(A) = d(\cl (A)) $. □
Twierdzenie [Warunek Cantora ( Georg Cantor (St Petersburg 1845 -- 1918 Halle) (#) Przestrzeń $ (X, d) $ jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych o średnicach dążących do zera ma niepuste przecięcie.
Dowód: Niech $ F_1\supset F_2\supset F_3\supset ... $ będzie zstępującym ciagiem zbiorów domkniętych takich, że $ d(F_i)\to 0 $. Wybierając po jednym punkcie $ x_n\in F_n $ otrzymujemy ciąg Cauchy. Na mocy zupełności $ (X,d) $ posiada on granicę, która musi należeć do $ \bigcap\limits_{i=1}^{\infty}F_i $.

Odwrotnie, jeśli $ \{x_i\} $ jest ciągiem Cauchy, to średnice zstępujących zbiorów domkniętych $ F_n :\op{cl}\{x_{n+1}, x_{n+2},...\} $ zbiegają do zera na mocy Lematu [link], a więc $ \bigcap\limits_{i=1}^{\infty}F_i \neq 0 $ i punkt z tego zbioru jest granicą ciagu $ \{x_i\}. $

Definicja Przestrzeń metryczna jest całkowicie ograniczona jeśli dla dowolnej liczby $ {\epsilon > 0} $ istnieje pokrycie $ X $ skończenie wieloma zbiorami o średnicy $ <\epsilon $. (Równoważnie: z pokrycia kulami $ \{B(x,\epsilon)\}_{x\in X} $ można wybrać pokrycie skończone.)
Twierdzenie Przestrzeń $ (X,d) $ jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowicie ograniczona i zupełna.
Dowód: $ \implies $ Jak zauważyliśmy dowolna przestrzeń zwarta jest zupełna, a z dowolnego pokrycia $ \{B(x,\epsilon)\}_{x\in X} $ można wybrać pokrycie skończone.

$ \impliedby $ Załóżmy, że $ (X,d) $ jest zupełna i całkowicie ograniczona a $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ będzie dowolnym ciągiem z którego mamy wybrać podciąg zbieżny. SKonstruujemy indukcyjnie zstępujący ciąg zbiorów domkniętych, w którego przecięciu będzie znajdować się granica pewnego podciągu : pokryjmy przestrzeń $ X $ kulami o promieniu 1: $ \{B(x,1)\}_{x\in X} $ i wybierzmy z niego kule w której znajduje się nieskończenie wiele wyrazów ciągu $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ Załóżmy, że skonstruowaliśmy już ciąg kul domknętych $ \bar B(x_1,1),\dots,\bar B(x_k,\frac 1k) $ takich, że w przecięciu $ F_k:=\bar B(x_1,1)\cap\dots,\cap B(x_k,\frac 1k) $ znajduje się nieskończenie wiele wyrazów ciągu $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $. Pokryjmy $ X $ kulami $ \{B(x,\frac {1}{k+1})\}_{x\in X}. $ Istnieje wśród nich kula, która zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ znajdujących się w $ F_k $. Otrzymaliśmy więc zstępujący ciąg zbiorów domkniętych $ F_1\supset F_2\supset\dots  $ o średnicach zbiegających do 0. na mocy warunku Cantora [link] $ \bigcap\limits_{i=1}^{\infty} F_i \neq\emptyset $ a z konstrukcji wynika, że punkt $ x_0\in \bigcap\limits_{i=1}^{\infty} F_i \neq\emptyset $ jest punktem skupienia zbioru u $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ a zatem granicą pewnego podciągu. □