Domknięcie zbioru

Definicja Domknięciem zbioru $ A\subset X $ nazywamy minimalny (ze względu na inkluzję) domknięty podzbiór zawierający $ A $, a więc przecięcie wszystkich podzbiorów domkniętych zawierających $ A $:

$$\cl_{(X,\sT)} (A) := \bigcap\{C\, |\,C\supset A,\, X\setminus C\in\sT\}$$
Uwaga Oznaczenie $ \cl_{(X,\sT)} (A) $ podkreśla, że domykamy $ A $ jako podzbiór przestrzeni $ X $. Jeśli jest jasne z kontekstu w jakiej przestrzeni topologicznej domykamy nasz zbiór, stosowane jest skrócone oznaczenie $ \cl_X (A), \cl (A) $ lub $ \bar A $.
Stwierdzenie Operacja domknięcie wyznacza odwzorowanie zbiorów potęgowych $ \cl \colon {\cal P}(X)\to {\cal P}(X) $ spełniające następujące warunki:

  1. $ \forall A\subset X,\, \cl (A)\supset A $,
  2. $ \cl (A) = A\,\iff\, X\setminus A\in\sT, $
  3. $ \cl(\cl (A)) = \cl (A) $,
  4. $ \cl (A)\cup \cl (B) =  \cl (A\cup B). $
Stwierdzenie $ x\in \bar A $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru otwartego $ U\ni x $ (równoważnie dowolnego zbioru z pewnej bazy w punkcie $ x\in X $) przecięcie ze zbiorem $ A $ jest niepuste: $ U\cap A\neq \emptyset $
Dowód: Niech $ \sB_x $ będzie ustaloną bazą w punkcie $ x $. Rozpatrzmy zbiór

$$C:=\{x\in X\, |\, \forall_{U\in\sB_x}\, U\cap A \neq\emptyset\}.$$

Z definicji wynika, że $ A\subset C $ oraz $ X\setminus C $ jest zbiorem otwartym, a więc $ C $ jest zbiorem domkniętym, a więc $ \bar A\subset C $. Zauważmy, że także $ C\subset \bar A $. Istotnie, jeśli $ x\notin\bar A $ to znaczy, że istnieje podzbiór domknięty $ B\supset A $ taki, że $ x\notin B $, a więc zbiór otwarty $ X\setminus B $ zawiera $ x $ i nie przecina się z $ A $. □

Definicja Podzbiór $ A\subset X $ nazywa się gęsty jeśli jego domknięcie jest całą przestrzenią tzn. $ \cl (A) = X $.
Przykład Podzbiór prostej euklidesowej jest gęsty wtedy i tylko wtedy gdy ma niepuste przecięcie z dowolnym odcinkiem.
Stwierdzenie (#) Jeśli $ p\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest ciągłą surjekcją oraz $ A\subset X $ jest podzbiorem gęstym, to jego obraz $ f(A)\subset Y $ też jest podzbiorem gęstym. □
Uwaga Obraz ciągły zbioru brzegowego nie musi być zbiorem brzegowym!
Definicja Brzegiem zbioru $ A\subset X $ nazywamy zbiór

$$ \op{Fr} (A) := \cl (A)\cap\cl (X\setminus A).$$
Stwierdzenie Zachodzą następujące równości zbiorów:

  1. $ \Int (A) = A\setminus \op{Fr}(A). $
  2. $  \op{Fr}(A)\cap\Int (A) = \emptyset $
  3. $ \cl (A) = \Int (A)\cup \op{Fr}(A) $
  4. $ X = \Int (A)\cup \op{Fr}(A)\cup \Int (X\setminus A) $ i te zbiory są parami rozłączne.
Uwaga Zbiór jest brzegowy [link] wtedy i tylko wtedy, gdy $ \cl(A)=\op{Fr}(A). $