Funkcje na przestrzeniach metryzowalnych

Dla przestrzeni metryzowalnych (i ogólniej normalnych) zachodzi ważne twierdzenie o rozszerzaniu funkcji ciągłych ze zbiorów domknietych, pokzaujace że na takich przestrzeniach jest ''duzo'' funkcji ciagłych o wartościach rzeczywistych.

Twierdzenie [H. F. F. Tietze (Schleinz, Austria 1880 - 1964 München)] Jeśli $ A\subset X $ jest domkniętym podzbiorem przestrzeni metryzowalnej $ (X,\sT(d)) $ to dowolne przekształcenie ciągłe $ f\colon (A,\sT(d)|A)\to([0,1],\sT_e) $ rozszerza się na całą przestrzeń tzn. istnieje $ \bar f\colon (X,\sT(d))\to([0,1],\sT_e) $ takie, że $ \bar f(a) = f(a) $ dla każdego $ {a\in A} $.

Dowód twierdzenia Tietze znajduje się w BCPP Podrozdział 1.6.

Stwierdzenie W tw. Tietze odcinek $ [0,1] $ mozna zastąpić przez kostkę $ [0,1]^n $.
Stwierdzenie Odwzorowanie obcięcia $ i^*\colon C_b(X) \to C_b(A) $ jest epimorfizmem.