Dla przestrzeni metryzowalnych (i ogólniej normalnych) zachodzi ważne twierdzenie o rozszerzaniu funkcji ciągłych ze zbiorów domknietych, pokzaujace że na takich przestrzeniach jest ''duzo'' funkcji ciagłych o wartościach rzeczywistych.
Twierdzenie [H. F. F. Tietze (Schleinz, Austria 1880 - 1964 München)] Jeśli
jest domkniętym podzbiorem przestrzeni metryzowalnej
to dowolne przekształcenie ciągłe
rozszerza się na całą przestrzeń tzn. istnieje
takie, że
dla każdego
.


![$ f\colon (A,\sT(d)|A)\to([0,1],\sT_e) $](/sites/default/files/tex/59ccc6de52cfadad60568b82e2c2b8a3ee499c92.png)
![$ \bar f\colon (X,\sT(d))\to([0,1],\sT_e) $](/sites/default/files/tex/d198e47037528753675dbce7dec8b83d2d28511f.png)


Dowód twierdzenia Tietze znajduje się w BCPP Podrozdział 1.6.
Stwierdzenie W tw. Tietze odcinek
mozna zastąpić przez kostkę
.
![$ [0,1] $](/sites/default/files/tex/cb7a13577f6d3c55e4b2f98ac06b9d18a0ec7c53.png)
![$ [0,1]^n $](/sites/default/files/tex/ec9b8d6bcbcdcd63fc42bbeec21242345a2b4fab.png)
Stwierdzenie Odwzorowanie obcięcia
jest epimorfizmem.
