Generowanie topologii

Niech $ X $ będzie dowolnym zbiorem a $ \rodz{U}\subset\sP (X) $ dowolną rodziną jego podzbiorów.

Definicja Topologią generowaną przez rodzinę $ \rodz{U}\subset\sP (X) $ nazywamy najmniejszą topologię w $ X $ zawierającą $ \rodz{U} $ - czyli przecięcie wszystkich topologii zawierających rodzinę $ \rodz{U} $. Oznaczamy ją $ \topind(\rodz{U}) $.

     Konstrukcja topologii $ \topind(\rodz{U}) $:

  1. dołączamy do $ \rodz{U} $ przecięcia skończenie wielu elementów rodziny $ \rodz{U} $ definiując rodzinę:
    $$\rodz{U}^\cap := \{U_1\cap\dots \cap U_k\, |\, U_i\in\rodz{U}\}$$

    Rodzina $ \rodz{U}^\cap  $ jest już zamknięta ze względu na branie przecięć skończenie wielu zbiorów tzn. jeśli $ V_1,V_2\in \rodz{U}^\cap $ to $ V_1\cap V_2\in \rodz{U}^\cap $

  2. Do rodziny $ \rodz{U}^\cap $ dołączamy wszystkie sumy zbiorów należących do $ \rodz{U}^\cap $ definiując rodzinę:
    $$(\rodz{U}^\cap)^\cup := \{\bigcup\limits_{i\in I} V_i\, |\, V_i\in\rodz{U}^\cap\}$$

    Rodzina $ (\rodz{U}^\cap)^\cup $ jest zamknięta ze względu na branie sum zbiorów tzn. dla dowolnej rodziny $ \{W_j\}_{j\in J}\subset (\rodz{U}^\cap)^\cup $ jej suma $ \bigcup\limits_{j\in J}W_j\in (\rodz{U}^\cap)^\cup. $

  3. $ \topind(\rodz{U}) = (\rodz{U}^\cap)^\cup $
Stwierdzenie Niech $ (X,\sT) $ będzie dowolną przestrzenią topologiczną, $ Y $ będzie zbiorem oraz $ {\cal V}\subset\sP (Y) $ rodziną jego podzbiorów. Przekształcenie $ f\colon (X,\sT) \to (Y,\sT({\cal V})) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru $ V\in\rodz{V} $ jego przeciwobraz $ f^{-1}(V)\in {\cal T} $ .
Przykład Wybór rodziny generującej topologię nie jest oczywiście jednoznaczny; np. cała topologia generuje samą siebie. W przestrzeni metrycznej topologia $ \sT(d) $ jest generowana przez każdą z następujących rodzin:

  1. Rodzinę wszystkich kul otwartych.
  2. Rodzinę kul otwartych o promieniach wymiernych.
  3. Rodzinę kul otwartych o promieniach $ \frac{1}{n} $ dla $ n=1,2,3... $.

i wiele innych.

Przykład Topologia euklidesowa na prostej jest generowana przez rodzinę półprostych o końcach będących liczbami wymiernymi.