Homotopia odwzorowań

Definicja Niech $ (X,\sT_X),\, (Y,\sT_Y) $ będą przestrzeniami topologicznymi, a $ I :=[0,1] $ będzie odcinkiem z topologią euklidesową. Homotopią nazxywamy dowolne przekształcenie ciągłe $ F\colon X\times I \to Y $. Przekształcenia $ f_0,f_1\colon X\to Y $ nazywamy homotopijnymi jeśli istnieje homotopia $ F\colon X\times I \to Y $ taka, że dla każdego $ x\in X $ zachodzą równości   $ F(x,0)=f_0(x),\, F(x,1) = f_1(x) $ i oznaczamy $ f_0\sim f_1 $ lub jeśli chcemy pamiętać jaka homotopia je łączy $ f_0\sim_F f_1 $ .
Stwierdzenie (#) Homotopia $ \sim $ jest relacją równoważności w zbiorze odwzorowań $ \Map (X,Y) $.
Dowód: Sprawdzimy trzy warunki, które musi spełniać relacja równoważności:

Zwrotność. Każde przekształcenie $ f\colon X\to Y $ jest homotopijne ze sobą przez homotopię stałą: $ F\colon X\times I\to Y,\, F(x,t) := f(x) $.

Symetria. Jeśli $ F\colon X\times I\to Y $ jest homotopią między $ f_0 $ i $ f_1 $, to $ F'\colon X\times I\to Y,\, F'(x,t) := F(x,1-t) $ jest homotopią między $ f_1 $ i $ f_0 $.

Przechodniość. Jeśli $ F\colon X\times I\to Y $ jest homotopią między $ f_0 $ i $ f_1 $ a $ G\colon X\times I\to Y $ jest homotopią między $ f_1 $ i $ f_2 $ to $ H\colon X\times I\to Y $ zdefiniowane przez $ F $ na dolnej połowie walca i przez $ G $ na górnej połowie:

$$H(x,t) := \begin{cases} F(x,2t)\,\text{dla}\, 0\leq t\leq \frac 12 \\ G(x,2t-1)\,\text{dla}\, \frac 12\leq t\leq 1 \end{cases}$$

jest homotopią między $ f_0 $ a $ f_2 $. □

    

Zbiór klas homotopii oznaczamy $ [X,Y] := \Map (X,Y)/\sim $. Zauważmy, że   $  [\{p\},X] = \pi_0(X) $, gdzie $ \{p\} $ -- przestrzeń jednopunktowa, jest rozważanym poprzednio zbiorem składowych łukowych przestrzeni $ X $.

Stwierdzenie Dowolne dwa przekształcenia $ f_0,f_1\colon X \to W $ gdzie $ W\subset\R^n $ jest podzbiorem wypukłym są homotopijne przez homotopię $ F(x,t) := (1-t)f_0(x)+tf_1(x) $, zwaną homotopią afiniczną.

Składanie przekształceń zachowuje relację homotopii:

Stwierdzenie (#) Jeśli $ f_0,f_1\colon X\to Y $ oraz $ g_0,g_1\colon Y\to Z $ oraz $ f_0 \sim f_1 $ i~$ g_0\sim g_1 $, to ich złożenia są homotopijne: $ g_0f_0\sim g_1f_1 $
Dowód: Skonstruujemy homotopie $ g_0f_0\sim  g_0f_1\sim g_1f_1 $ i skorzystamy z przechodniości relacji homotopii. Niech $ F\colon X\times I\to Y $ będzie homotopią między $ f_0 $ i $ f_1 $ a $ G\colon Y\times I\to Z $ homotopią między $ g_0 $ i $ g_1 $. Wtedy złożenie $ X\times I\arr {F} Y \arr {g_0} Z $ jest homotopią $ g_0f_0\sim  g_0f_1 $ a złożenie $ X\times I \arr {f_1\times id} Y\times I\arr {G} Z $ jest homotopią $ g_0f_1\sim g_1f_1 $. □
Stwierdzenie (#) Jeśli $ f:X\to Y $, to dla dowolnej przestrzeni $ Z $ są dobrze określone przekształcenia $ f^{\#}\colon [Y,Z]\to [X,Z],\, f^{\#}([\phi]) := [\phi\circ f] $ oraz $ f_{\#}\colon [Z,X]\to [Z,Y],\, f_{\#}([\psi]) := [f\circ \psi] $ . Jeśli $ f\sim g $ to $ f_{\#} = g_{\#} $ i $ f^{\#} = g^{\#} $. Jeśli dane są dwa przekształcenia $ X\arr {f} Y\arr {g} Z $, to $ (gf)_{\#} = g_{\#}f_{\#} $ oraz $ (gf)^{\#} = f^{\#}g^{\#} $.
Dowód: Wynika natychmiast z definicji i z poprzedniego Stwierdzenia. □

Następne twierdzenie powiada, że przekształcenia bliskie o wartościach w otwartych podzbiorach przestrzeni euklidesowych są homotopjne.

Twierdzenie Niech $ X $ będzie przestrzenią zwartą, a $ W\subset\R^n $ otwartym podzbiorem. Dla każdego przekształcenie $ f\colon X\to W $ istnieje $ \epsilon>0 $ takie, że dowolne przekształcenie $ g\colon X\to W $ dla którego $ d_{\sup}(g,f)<\epsilon $ jest homotopijne z $ f $.
Dowód: Obraz $ f(X)\subset G $ jest podzbiorem zwartym. Zatem jego pokrycie

$$f(X)\subset \bigcup\limits_{x\in X} B(f(x),r_x) \subset W$$

ma liczbę Lebesgue'a $ \lambda >0 $ tzn. dowolne dwa punkty odległe o mniej niż $ \lambda $ leżą w pewnej kuli $ B(f(x),r_x)\subset W $. Zatem jeśli $ d_{\sup}(g,f)<\lambda =:\epsilon $ to afiniczna homotopia   $ F(x,t) = (1-t)f(x)+tg(x) $ jest dobrze określonym odwzorowaniem $ F:X\times I \to W $. □

Definicja Przekształcenie $ f\colon X\to Y $ nazywa się ściągalne jeśli jest homotopijne z przekształceniem stałym w pewien punkt. Przestrzeń $ X $ nazywa się ściągalna jeśli przekształcenie identycznościowe $ Id\colon X\to X $ jest ściągalne.
Przykład Podzbiór $ G\subset\R^n $ nazywamy gwiaździstym jeśli istnieje punkt $ p_0\in G $ (srodek gwiazdy) taki, że dla każdego $ p\in G $ odcinek $ [p_0,p]\subset G $. Zbiory wypukłe są gwiaździste. Dowolny podzbiór gwiaździsty jest ściągalny, a ściagnięcie jest dane wzorem $ F\colon G\times I \to G,\, F(p,t) = (1-t)p_0 + tp. $
Stwierdzenie Dowolne przekształcenie określone na przestrzeni ściągalnej lub o wartościach w przestrzeni ściągalnej jest ściągalne. □