Homotopijna klasyfikacja odwzorowań w $\mathbb{C}^*$

Dla dowolnej przestrzeni $ X $ zbiór odwzorowań $ \Map (X,\C^*) $ posiada strukturę grupy abelowej, wyznaczoną przez mnożenie liczb zespolonych -- funkcje mnożymy mnożąc je w każdym punkcie. W dalszym ciągu będziemy rozpatrywać zbiór klas homotopii odwzorowań $ [X,\C^*] = [X, S^1] $, który tę strukturę grupową dziedziczy, bowiem jeśli $ f_0 \sim f_1,g_0\sim g_1\colon X\to\C^* $ to ich iloczyny też są homotopijne: $ f_0\cdot g_0 \sim f_1\cdot g_1 $.

Definicja Zbiór $ H^1(X) :=[X,\C^*] = [X, S^1] $ z wyżej zdefiniowanym działaniem będziemy nazywać (pierwszą) grupą kohomologii (lub kohomotopii) przestrzeni $ X $.

Ponieważ mnożenie liczb zespolonych jest przemienne, więc dla dowolnej przestrzeni grupa $ H^1(X) $ jest abelowa.

Stwierdzenie (#) Przyporządkowanie przestrzeni topologicznej $ X $ grupy $ H^1(X) $ ma następujące własności:

  1. Dla dowolnego przekształcenia $ \phi\colon X\to Y $ przekształcenie $ \phi^*\colon H^1(Y)\to H^1(X) $ dane wzorem $ \phi^*(f) := f\circ\phi $ jest homomorfizmem grup.
  2. Jeśli przekształcenia $ \phi_0,\phi_1\colon X\to Y $ są homotopijne, to $ \phi_0^* = \phi_1^* $
  3. Dla dowolnych dwóch punktowanych przestrzeni $ (X_1,x_1), (X_2,x_2) $ włożenia zadają izomorfizm grup
    $$H^1(X_1\vee X_2) \arr {\simeq} H^1(X_1)\times H^1(X_2).$$
Dowód:

     Ad 1. $ \phi^*(f\cdot g )(x) := (f \cdot g)(\phi (x)) =   f(\phi (x) \cdot g (\phi (x))= \phi^*(f)\cdot\phi^*(g) $.

     Ad 2. To jest szczególny przypadek Wniosku [link].

     Ad 3. Włożenia $ \iota_1\colon X_1\subset X_1\sqcup X_2 $ i $ \iota_2\colon X_2\subset X_1\sqcup X_2 $ zadają homorfizm grup

$$(\iota_1^{\#},\iota_2^{\#}):  H^1(X_1\vee X_2) \to H^1(X_1)\times H^1(X_2),$$

który na mocy Stw. [link] jest bijekcją, a więc izomorfizmem.□

Dla dowolnej przestrzeni ściągalnej $ H^1(X)=0 $. Zajmiemy się więc obliczeniem grupy $ H^1(S^1) $, czyli zbadaniem zbioru klas homotopii $ [S^1,\C^*] = [S^1, S^1]. $ Rozpoczniemy od zdefiniowania stopnia przekształcenia $ S^1\to\C^* $ (zwanego też indeksem pętli względem punktu 0). Korzystając z Stw. [link] bedziemy utożsamiać odwzorowania $ S^1\to X $ z drogami zamkniętymi, czyli pętlami $ [0,1]\to X $ i oznaczać je tą samą literą.

Niech $ \alpha\colon [0,1] \to \C^* $ będzie drogą zamkniętą. Ponieważ odcinek jest przestrzenią ściągalną, na mocy Twierdzenia [link] odwzorowanie $ \alpha $ posiada logarytm $ \tilde\alpha\colon [0,1]\to \C $. Zdefiniujemy stopień $ \alpha $:

$$\deg (\alpha ) := \frac{1}{2\pi i} (\tilde\alpha (1) - \tilde\alpha (0)).$$
Stwierdzenie (#) Przyporządkowanie pętli $ \alpha\colon [0,1] \to \C^* $ jej stopnia $ \deg (\alpha ) $ ma następujące własności:

  1. Wartość $ \deg (\alpha ) $ nie zależy od wyboru logarytmu $ \tilde\alpha $ i jest liczbą całkowitą.
  2. Jeśli $ \alpha_0\sim \alpha_1\colon S^1\to\C^* $ są homotopijne, to $ \deg (\alpha_0 ) = \deg (\alpha_1) $.
  3. Dla dowolnych $ \alpha, \beta\colon S^1\to\C^* $ zachodzi: $ \deg (\alpha\beta) = \deg (\alpha) + \deg (\beta) $.
  4. Dla dowolnej liczby całkowitej $ n\in\Z $ odwzorowanie $ \phi_n\colon S^1\to\C^*,\, \phi_n(z) :=z^n, $ ma stopień $ n $.
Dowód:

Ad 1. Ponieważ odcinek jest przestrzenią spójną, więc na mocy Stw. [link] logarytm $ \tilde\alpha $ jest wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do składnika $ 2k\pi i $, a więc $ \deg(\alpha) $ nie zależy od wyboru logarytmu. Ponieważ $ \alpha (0) = \alpha (1)  $ więc $ \tilde\alpha (1) - \tilde\alpha (0) = 2d\pi i $, dla pewnej liczby całkowitej $ d\in\Z $ skąd wynika, że $ \deg(\alpha) = d $ jest liczbą całkowitą.

Ad 2. Skoro $ \alpha_0\sim\alpha_1 $ to istnieje homotopia $ H\colon [0,1]\times [0,1]\to \C^* $ taka, że $ H(\cdot,0) = \alpha_0,\, H(\cdot,1) = \alpha_1,\, H(0,t) = H(1,t) $. Ponieważ kwadrat jest zwartą przestrzenią ściągalną więc na mocy Tw. [link] przekształcenie $ H $ posiada logarytm $ \tilde H\colon [0,1]\times [0,1]\to \C $. Rozważmy funkcję $ d(t) := \frac{1}{2\pi i} (\tilde H (1,t) - \tilde H (0,t)) $. Funkcja ta jest ciągła i na mocy pkt. 1 przybiera wartości całkowite, a więc jest stała. Wynika stąd, że $ \deg(\alpha_0) =  d(0) = d(1) = \deg(\alpha_1) $

Ad 3. Jesli $ \tilde\alpha\colon [0,1]\to\C $ i $ \tilde\beta\colon [0,1]\to\C $ są odpowiednio logarytmami $ \alpha $ i $ \beta $, to $ \tilde\alpha + \tilde\beta $ jest logarytmem iloczynu $ \alpha\cdot\beta $.

Ad 4. Logarytmem funkcji potęgowej $ \phi_n (z) := z^n $ traktowanej jako odwzorowanie odcinka $ \phi'_n\colon [0,1]\to\C^*,\, \phi'_n (t) = \exp (2n\pi i t) $ jest przekształcenie $ \tilde\phi'_n (t) = 2n\pi i t $ a więc $ \deg (\phi_n) = n $. □

Twierdzenie (#) Stopień wyznacza izomorfizm grup $ \deg\colon [S^1,\C^*] \arr {\simeq} \Z $.
Dowód: Na mocy Stw. [link] $ \deg\colon [S^1,\C^*] \arr {} \Z $ jest dobrze zdefiniowanym homomorfizmem grup i jest epimorfizmem. Pozostaje zauważyć, że jest monomorfizmem. Niech $ \deg (\alpha) = 0 $; oznacza to, że dla pewnego logarytmu $ \tilde\alpha (1) - \tilde\alpha (0) =0 $, czyli logarytm jest drogą zamkniętą, a więc definiuje przekształcenie $ \tilde\alpha\colon S^1\to\C $ takie, że $ \alpha = p\tilde\alpha $. Ponieważ $ \C $ jest ściągalna, więc $ \alpha\sim 1 $ . □

Ostatnie twierdzenie powiada, że dowolne odwzorowanie $ \alpha\colon S^1\to\C^* $ jest homotopijne z jednym z odwzorowań potęgowych $ \phi_n $ i żadne dwa różne takie odwzorowania nie są homotopijne.

Stwierdzenie $ [S^1\vee\dots\vee S^1,S^1] \simeq \Z\times\dots\times\Z $
Dowód: Wynika natychmiast z Stw. {s:grupa_kohomologii} pkt. 3. □

Sformułujemy kilka ważnych wniosków wypływających ze znajomości homotopijnej klasyfikacji odwzorowań $ S^1\to\C^* $.

Stwierdzenie Okrąg $ S^1 $ nie jest ściągalny i nie jest retraktem dysku   $ D^2 := \{z\in\C\colon ||z|| \leq 1\} $.
Dowód: Dla $ n=1 $ twierdzenie wynika ze spójności odcinka oraz niespójności sfery $ S^0 $. Odwzorowanie identycznościowe $ id:S^1\to S^1 $ ma stopień 1, zatem nie jest ściągalne. Jeśli istniałaby retrakcja $ r\colon D^2\to S^1 $, to oznaczałoby to, że identyczność na $ S^1 $ jest ściągalna (p. Stw. [link]). □
Uwaga Sfera $ S^n $ nie jest ściągalna dla każdego $ n\geq 0 $. Zauważmy, że $ S^0 = \{-1,1\} $ nie jest spójna. Dowód dla $ n>1 $ opiera się na konstrukcji stopnia dla odwzorowań $ S^n\to S^n $. (p. John W. Milnor Topology from Differentiable Viewpoint Tłum. polskie PWN 1969). Poniższe słynne twierdzenie Brouwera (L. E. J. Brouwer (Overschie, Rotterdam 1881 - 1966 Blaricum, Netherlands) ) o punktach stałych także zachodzi dla dysków dowolnych wymiarów i jest wnioskiem z nieściągalności sfery.
Stwierdzenie [Twierdzenie Brouwera dla $ n\leq 2 $] Dowolne odwzorowanie $ f\colon D^n\to D^n $, dla $ n\leq 2 $, ma punkt stały.
Dowód: Jeśli $ f\colon D^n\to D^n $ byłoby przekształceniem bez punktów stałych, to istniałaby retrakcja $ r\colon D^n\to S^{n-1} $ zdefiniowana następująco: $ r(x) $ jest punktem przecięcia półprostej   $ f(x)+t(x - f(x)) $ dla $ t\geq 1 $ ze sferą $ S^n $ . Pokazaliśmy, że sfera $ S^{n-1} $ nie jest retraktem dysku $ D^n $ dla $ n\leq 2 $, więc dla tych wymiarów twierdzenie Brouwera jest w pełni udowodnione. □

Piekną ilustracją jedności matematyki jest to, że kurs topologii kończy się dowodem podstawowego twierdzenia algebry, powiadającego, że ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte.

Stwierdzenie [Zasadnicze twierdzenie algebry] Dowolny wielomian dodatniego stopnia o współczynnikach zespolonych posiada pierwiastek zespolony.
Dowód: Niech $ w(z) = z^n+a_{n-1}z^{n-1}+ \dots + a_1z + a_0 $ będzie wielomianem takim, że $ w(z)\neq 0 $ dla $ z\in\C $, zadaje więc odwzorowanie wielomianowe $ w\colon\C\to\C^* $. Ponieważ $ \C $ jest przestrzenią ściągalną, więc odwzorowanie $ w $ obcięte do dowolnego jej podzbioru, w szczególności $ S^1\subset\C $, jest odwzorowaniem ściągalnym. Z drugiej strony fomuła

$$H(z,t) : =  z^n+ta_{n-1}z^{n-1}+ \dots + t^{n-1}a_1z + t^na_0 = \begin{cases}  t^n w(\frac zt)\quad\text{dla}\, t\neq 0 \\ z^n \quad\text{dla}\, t=0\end{cases}$$

zadaje homotopię $ H\colon S^1\times [0,1] \to \C^* $ między $ H(z,0) = z^n :=\phi_n(z) $ i $ H(z,1) = w(z) $, a więc $ \deg (w) = n>0 $, co oznacza, że otrzymaliśmy sprzeczność. □

Uwaga Zasadnicze twierdzenie algebry oczywiście nie zachodzi dla ciała liczb rzeczywistych, natomiast zachodzi dla wielomianów o współczynnikach w ciele kwaternionów (które nie jest przemienne). Dowód opiera się na nieściągalności sfery $ S^4 = \HH\cup\{\infty\} $ gdzie $ \HH $ oznacza ciało kwaternionów. S. Eilenberg, I.Niven The “fundamental theorem of algebra” for quaternions. Bull. Amer. Math. Soc. Volume 50, Number 4 (1944), pp. 246-248.}
Stwierdzenie [Twierdzenie Borsuka ( Karol Borsuk (Warszawa 1905 - 1982 Warszawa)) - Ulama ( Stanisław Ulam (Lwów 1909 - 1984 Santa Fe, New Mexico, USA)) o antypodach dla $ n\leq 2 $] Dla dowolnego odwzorowania ciągłego $ f\colon S^n\to\R^n $, gdzie $ n\leq 2 $, istnieje punkt $ p\in S^n $ taki, że   $ f(p) = f(-p) $.
Dowód: Załóżmy, że istnieje odwzorowanie $ f\colon S^n\to\R^n $ takie, że dla każdego $ p\in S^2 $, $ f(p) \neq f(-p) $. Zdefiniujmy odwzorowanie $ g\colon S^n\to\R^n\setminus \{0\},\, g(p):=f(p)-f(-p) $. Sferę $ S^{n-1} $ można traltować jako podzbiór $ S^n $ (''równik'') a obcięcie odwzorowania $ g|S^{n-1} $ jest ściągalne (bowiem rozszerza się górną półsferę, czyli dysk) oraz spełnia warunek   $ g(-z) = - g(z) $.

Dla $ n=1 $ jest to niemożliwe, bo odwzorowanie $ S^0\to \R\setminus  \{0\} $ jest homotopije ze stałym wtedy i tylko wtedy, gdy przyjmuje wartości stałego znaku, co warunek $ g(-z) = - g(z) $ wyklucza.

Niech teraz $ n=2 $. Pokażemy, że odwzorowanie $ g\colon S^{1}\to \R^2\setminus \{0\} = \C^* $ spełniające warunek $ g(-z) = - g(z) $ nie może być ściągalne, bowiem musi mieć nieparzysty stopień. Rozważmy drogę zamkniętą $ [0,1] \arr {p}  S^{1}\arr {g} \C^* $, którą będziemy oznaczać $ g_p $ i obliczymy jej stopień. Jeśli $ g_p(0) = g(1) = z_0 = |z_0|\exp (i\theta_0 ) $ to

$$g_p(\frac 12) = g(-1)  = - z_0 =  |z_0|\exp (i(\theta_0 + (2k+1)\pi) )$$

Niech $ \tilde g'_p\colon [0,\frac 12]\to \C^* $ będzie logarytmem $ g_p|[0,\frac 12] $. Z powyższego wzoru wynika, że dla pewnego $ k\in Z $ zachodzi równość: $ \tilde g'_p (\frac 12) = \tilde g'_p(0) + (2k+1)\pi i $. Warunek $ g(-z) = - g(z) $ oznacza, że odwzorowanie $ g $, a więc logarytm $ g_p $ jest wyznaczony przez wartości $ g $ na górnym półokręgu. Zdefiniujmy więc logarytm $ \tilde g_p\colon [0,1]\to \C^* $ wzorem:

$$\tilde g_p (t) := \begin{cases} \tilde g'_p(t)\quad \text{dla}\quad 0\leq t\leq \frac 12 \\ \tilde g'_p(t - \frac 12) + (2k+1)\pi i \quad \text{dla}\quad \frac 12\leq t\leq 1 \end{cases}$$

Stąd

$$(2\pi i) \deg (g) = \tilde g_p (1) - \tilde g_p (0) =   \tilde g'_p (\frac 12) + (2k+1)\pi i - \tilde g'_p (0) =\\ \tilde g'_p (0) + (2k+1)\pi i + (2k+1)\pi i - \tilde g'_p (0) = 2(2k+1)\pi i,$$

a więc $ \deg (g) = 2k+1 $ jest liczbą nieparzystą, czyli $ g $ nie jest ściągalne. □

Uwaga Podobnie jak twierdzenie Brouwera, twierdzenie Borsuka-Ulama zachodzi dla dowolnrgo wymiaru $ n $ i także stanowi konsekwencję klasyfikacji homotopijnej odwzorowań $ S^n\to \R^n\setminus \{0\} $ przez wspomniany wyżej stopień odwzorowania.