Dla dowolnej przestrzeni zbiór odwzorowań
posiada strukturę grupy abelowej, wyznaczoną przez mnożenie liczb zespolonych -- funkcje mnożymy mnożąc je w każdym punkcie. W dalszym ciągu będziemy rozpatrywać zbiór klas homotopii odwzorowań
, który tę strukturę grupową dziedziczy, bowiem jeśli
to ich iloczyny też są homotopijne:
.
![$ H^1(X) :=[X,\C^*] = [X, S^1] $](/sites/default/files/tex/4bccea43eed1095077339e741f1390e414a70614.png)

Ponieważ mnożenie liczb zespolonych jest przemienne, więc dla dowolnej przestrzeni grupa jest abelowa.


- Dla dowolnego przekształcenia
przekształcenie
dane wzorem
jest homomorfizmem grup.
- Jeśli przekształcenia
są homotopijne, to
- Dla dowolnych dwóch punktowanych przestrzeni
włożenia zadają izomorfizm grup
Ad 1. .
Ad 2. To jest szczególny przypadek Wniosku [link].
Ad 3. Włożenia i
zadają homorfizm grup
![]() |
który na mocy Stw. [link] jest bijekcją, a więc izomorfizmem.□
Dla dowolnej przestrzeni ściągalnej . Zajmiemy się więc obliczeniem grupy
, czyli zbadaniem zbioru klas homotopii
Rozpoczniemy od zdefiniowania stopnia przekształcenia
(zwanego też indeksem pętli względem punktu 0). Korzystając z Stw. [link] bedziemy utożsamiać odwzorowania
z drogami zamkniętymi, czyli pętlami
i oznaczać je tą samą literą.
Niech będzie drogą zamkniętą. Ponieważ odcinek jest przestrzenią ściągalną, na mocy Twierdzenia [link] odwzorowanie
posiada logarytm
. Zdefiniujemy stopień
:
![]() |
![$ \alpha\colon [0,1] \to \C^* $](/sites/default/files/tex/a63ec5944a5997148e5c9cecbf335fc182873be2.png)

- Wartość
nie zależy od wyboru logarytmu
i jest liczbą całkowitą.
- Jeśli
są homotopijne, to
.
- Dla dowolnych
zachodzi:
.
- Dla dowolnej liczby całkowitej
odwzorowanie
ma stopień
.
Ad 1. Ponieważ odcinek jest przestrzenią spójną, więc na mocy Stw. [link] logarytm jest wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do składnika
, a więc
nie zależy od wyboru logarytmu. Ponieważ
więc
, dla pewnej liczby całkowitej
skąd wynika, że
jest liczbą całkowitą.
Ad 2. Skoro to istnieje homotopia
taka, że
. Ponieważ kwadrat jest zwartą przestrzenią ściągalną więc na mocy Tw. [link] przekształcenie
posiada logarytm
. Rozważmy funkcję
. Funkcja ta jest ciągła i na mocy pkt. 1 przybiera wartości całkowite, a więc jest stała. Wynika stąd, że
Ad 3. Jesli i
są odpowiednio logarytmami
i
, to
jest logarytmem iloczynu
.
Ad 4. Logarytmem funkcji potęgowej traktowanej jako odwzorowanie odcinka
jest przekształcenie
a więc
. □
![$ \deg\colon [S^1,\C^*] \arr {\simeq} \Z $](/sites/default/files/tex/167d79d1e466f8fe5b77ad6f46abb42764e98ab9.png)
![$ \deg\colon [S^1,\C^*] \arr {} \Z $](/sites/default/files/tex/ce5d6b50960249f0f71c2afcc3310fcda3f0a2eb.png)






Ostatnie twierdzenie powiada, że dowolne odwzorowanie jest homotopijne z jednym z odwzorowań potęgowych
i żadne dwa różne takie odwzorowania nie są homotopijne.
![$ [S^1\vee\dots\vee S^1,S^1] \simeq \Z\times\dots\times\Z $](/sites/default/files/tex/5b84ecab4d006a1a35a22137e9ee666395df7d52.png)
Sformułujemy kilka ważnych wniosków wypływających ze znajomości homotopijnej klasyfikacji odwzorowań .
























Piekną ilustracją jedności matematyki jest to, że kurs topologii kończy się dowodem podstawowego twierdzenia algebry, powiadającego, że ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte.







![]() |
zadaje homotopię między
i
, a więc
, co oznacza, że otrzymaliśmy sprzeczność. □















Dla jest to niemożliwe, bo odwzorowanie
jest homotopije ze stałym wtedy i tylko wtedy, gdy przyjmuje wartości stałego znaku, co warunek
wyklucza.
Niech teraz . Pokażemy, że odwzorowanie
spełniające warunek
nie może być ściągalne, bowiem musi mieć nieparzysty stopień. Rozważmy drogę zamkniętą
, którą będziemy oznaczać
i obliczymy jej stopień. Jeśli
to
![]() |
Niech będzie logarytmem
. Z powyższego wzoru wynika, że dla pewnego
zachodzi równość:
. Warunek
oznacza, że odwzorowanie
, a więc logarytm
jest wyznaczony przez wartości
na górnym półokręgu. Zdefiniujmy więc logarytm
wzorem:
![]() |
Stąd
![]() |
a więc jest liczbą nieparzystą, czyli
nie jest ściągalne. □

