Homotopijna równoważność

Definicja Przeksztacenie $ f:X\to Y $ nazywa się homotopiją równoważnością jeśli istnieje $ g:Y\to X $ takie, że $ f\circ g \sim Id_Y $ i $ g\circ f\sim Id_X $. Mówimy, że przestrzenie $ X $, $ Y $ są homotopijnie równoważne.
Uwaga Każdy homeomorfizm jest homotopijną równoważnością. Przestrzeń jest ściągalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest homotopijnie równoważna z przestrzenią jednopunktową.
Stwierdzenie Jeśli $ f\colon X\to Y $ jest homotopijną równoważnością i $ Z $ jest dowolną przestrzenią, to przekształcenia indukowane zbiorów klas homotopii $ f^{\#}\colon [Y,Z]\to [X,Z],\, f^{\#}([\phi]) := [\phi\circ f] $ oraz $ f_{\#}\colon [Z,X]\to [Z,Y] $, $ f_{\#}([\psi]) := [f\circ \psi] $ są bijekcjami. W szczególności $ f $ definiuje bijekcję zbiorów składowych łukowych $ f_{\#}\colon \pi_0(X)\to \pi_0(Y) $.
Dowód: Wykażemy, że $ f_{\#} $ jest bijekcją. Niech $ g\colon Y\to X $ będzie homotopijną odwrotnością tzn. $ fg\sim id_Y $ i $ gf\sim id_X $. Z Wniosku [link] otrzymujemy równości $ f_{\#}g_{\#} =  (fg)_{\#} = id_{[Z,Y]} $ i $ g_{\#}f_{\#} = (gf)_{\#} = id_{[Z,X]} $, a więc $ f_{\#} $ jest bijekcją. Podobnie rozumowanie przeprowadzamy dla $ f^{\#} $. □
Przykład Podajemy przykłady ważnych homotopijnych równoważności:

  1. Homotopijną odwrotnością włożenia $ \iota\colon S^{n-1}\subset\R^n\setminus\{0\} $ jest retrakcja $ r\colon\R^n\setminus\{0\} \to S^{n-1},\, r(x):= \frac{x}{||x||} $
  2. Jeśli $ Y $ jest ściągalna, to $ p_X\colon X\times Y \to X $ jest homotopijną równoważnością.
  3. Włożenie równika $ S^1 \hookrightarrow M $ we wstęgę Möbiusa jest homotopijną równoważnością.
  4. $ S^n\setminus \{p_1,p_2\} $ jest homotopijnie równoważna $ S^{n-1} $. A co będzie jeśli wyjąć więcej punktów?
  5. Dopełnienie sfery $ k $ wymiarowej w sferze $ n $-wymiarowej $ S^n\setminus S^k $ jest homotopijnie równoważna ze sferą $ S^{n-k-1} $