Jednospójność

Definicja Łukowo spójną przestrzeń $ X $ nazywamy jednospójną jeśli dowolne odwzorowanie $ S^1\to X $ jest ściągalne.
Przykład Dowolna przestrzeń ściągalna jest jednospójna.

W dalszym ciągu będziemy często rozważać w przestrzeni euklidesowej kulę domkniętą o promieniu 1.Wprowadzimy więc oznaczenie $ D^{n+1} := \bar B(0,1)\subset\R^{n+1} $ (litera ''D'' od słowa dysk). Brzegiem dysku $ D^{n+1}\subset\R^{n+1} $ jest oczywiście sfera $ n $--wymiarowa $ S^n = \{x\in\R^{n+1}\, |\, ||x||=1\} $.

Stwierdzenie (#) Dla $ n \geq 0 $ odwzorowanie $ f\colon S^n\to X $ jest ściągalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwzorowanie $ \bar f\colon D^{n+1}\to X $ takie, że $ \bar f|S^n = f $.
Dowód: $ \implies $ Jeśli $ f $ jest ściągalne, to istnieje homotopia $ F\colon S^n\times [0,1]\to X $ taka, że $ F(x,0)=x_0 $ i $ F(x,1)=f(x) $. Rozpatrzmy odwzorowanie $ q\colon S^n\times [0,1] \to D^{n+1},\, q(\vv,t):=t\vv $. Ponieważ $ q $ jest domknięte (a więc ilorazowe) odwzorowanie $ \bar f ([\vv,t]) := F(\vv,t) $ jest dobrze zdefiniowanym i ciągłym rozszerzeniem $ f $.

$ \impliedby $ Jeśli $ f $ rozszerza się na $ D^{n+1} $ to jest ściągalne, bowiem dysk jest ściągalny jako podzbiór wypukły. Ściągnięcie $ f $ można zadać wzorem: $ F(\vv,t) := (1-t)f(\vv)+ t{\bf e_1} $, gdzie $ {\bf e_1} $ jest wektorem bazy kanonicznej. □

Zamiast odzwzorowań zdefiniowanych na okręgu $ S^1\subset\R^2 $ wygodnie jest rozważać zamknięte drogi (pętle) czyli odzwzorowania określone na odcinku $ \omega\colon [0,1]\to X $ takie, że $ \omega (0) = \omega (1) $. Nawet jesli interesują nas pętle, to pożyteczne jest też rozpatrywanie dróg o różnych początku i końcu.

Stwierdzenie (#) Niech $ (X,\sT_X) $ będzie dowolną przestrzenią topologiczną. Odwzorowanie $ p\colon [0,1] \to S^1 $ dane wzorem $ p(t):=(\cos 2\pi t, \sin 2\pi t) $ ustanawia bijekcję między zbiorem dróg zamkniętych (pętli) w $ X $ tzn. odwzorowań $ \omega\colon [0,1]\to X $ takich, że $ \omega (0) = \omega (1) $ a zbiorem odwzorowań $ S^1\to X $.
Dowód: Dowolnemu odwzorowaniu $ \alpha\colon S^1\to X $ przypisujemy drogę zamkniętą $ \alpha_p := p\circ\alpha\colon I\to X $. Odwrotnie, jeśli $ \omega\colon [0,1]\to X $ jest drogą zamkniętą, to odwzorowanie   $ \omega^p\colon S^1\to X,\,  \omega^p(z) := \omega (t) $ gdzie $ p(t)=z $ jest dobrze zdefiniowane i jest ciągłe, ponieważ $ p $ jest odwzorowaniem ilorazowym (a nawet domkniętym). □

Przypomnijmy z GAL, że odwzorowanie $ f\colon [a,b] \to \R^n $ nazywa się afiniczne jeśli zachowuje kombinacje wypukłe tzn. dla każdego $ t\in [0,1] $ zachodzi równość

$$f((1-t)a+tb) = (1-t)f(a)+tf(b).$$

Obrazem przekształcenia afinicznego jest odcinek euklidesowy łączący punkty $ f(a) $ i $ f(b) $.

Definicja

  1. Drogę $ \omega\colon I\to A\subset \R^n $ nazywamy kawałkami afiniczną (lub kawałkami liniową) jeśli istnieje podział odcinka $ 0=t_0<\dots <t_{n-1}<t_n=1 $ taki, że obcięcia $ \omega | [t_i,t_{i+1}] $ są przekształceniami afinicznymi.
  2. Drogę $ \omega\colon [0,1]\to \R^n $ nazywamy łamaną jeśli jest afiniczna i jest przekształceniem różnowartościowym (a więc homeomorfizmem $ \omega\colon [0,1]\arr {\simeq} \omega ([0,1]) $).
Lemat (#) Dla dowolnej drogi $ \alpha\colon [0,1]\to\R^n $ i liczby $ \epsilon>0 $ istnieje droga kawałkami afiniczna $ \beta\colon [0,1]\to\R^n $ taka, że $ \alpha(0)=\beta(0) $, $ \alpha(1)=\beta(1) $ oraz $ d_{\sup}(\alpha,\beta)<\epsilon $.
Dowód: Pokryjmy obraz $ \alpha ([0,1]) $ kulami euklidesowymi o środkach $ x\in \alpha ([0,1]) $ i promieniach $ \epsilon $: $ \{B(x,\epsilon)\}_{x\in\alpha ([0,1])} $ i rozpatrzmy pokrycie odcinka przeciwobrazami $ \{\alpha^{-1}(B(x,\epsilon))\}_{x\in\alpha ([0,1])}. $ Niech $ \lambda >0 $ będzie liczbą Lebesgue'a tego pokrycia a $ 0=t_0<t_1<\dots < t_{n-1}<t_n=1 $ podziałem odcinka takim, że $ |t_i - t_{i+1}|<\lambda $. Niech $ \beta_i\colon [t_i,t_{i+1}] \to \R^n $ będzie drogą afiniczną łączącą punkt $ \alpha (t_i) $ z $ \alpha (t_{i+1}) $. Definiujemy kawałkami afiniczną drogę $ \beta (s) := \beta_i(s) $ jesli $ t_i\leq s\leq t_{i+1} $. Oczywiście $ d_{\sup}(\alpha,\beta)<\epsilon $. □
Twierdzenie Dla $ n>1 $ sfera $ S^n $ jest jednospójna.
Dowód: Niech $ \alpha\colon I\to S^n $ będzie dowolną pętlą (tzn. $ \alpha (0)=\alpha (1) = p_0 $). Pokażemy, że jest ona homotopijna z pętlą, której obraz nie jest całą sferą, a więc zawartą w zbiorze ściągalnym $ S^n\setminus \{p\} \simeq \R^n $. Rozważmy naszą pętlę jako odwzorowanie w całą przestrzeń euklidesową $ \alpha\colon I\to S^n\subset\R^{n+1} $ i korzystając z Lematu [link] wybierzmy kawałkami afiniczną petlę zaczepioną w $ p_0 $ $ \beta\colon I\to \R^{n+1} $ taką, że $ d_{\sup}(\alpha,\beta)< 1 $. Wynika stąd, że $ \beta\colon I\to \R^{n+1}\setminus\{0\} $ a także obraz homotopii afinicznej $ F(s,t) : (1-t)\alpha (s) + t \beta (s) $ leży w $ \R^{n+1}\setminus\{0\} $. Składając tę homotopię z retrakcją $ r\colon\R^{n+1}\setminus\{0\}\to S^n,\, r(x):= \frac{x}{||x||} $ otrzymujemy homotopię $ H := r\circ F\colon I\times I \to S^n $ łączącą pętlę $ \alpha\colon I\to S^n $ z pętlą $ r\circ\beta\colon I\to S^n $. Zauważmy, że $ r(\beta (I)) $ jest suma mnogościową skończonej liczby łuków, a więc nie wypełnia sfery, skąd wynika, że $ \alpha\sim\beta $ jest ściagalna. □
Uwaga W pdoobny sposób można wykazać, że dla $ k<n $ dowolne odwzorowanie $ S^k\to S^n $ jest ściągalne.

Jak zobaczymy sfera jednowymiarowa, czyli okrąg $ S^1 $ nie jest jednospójna -- gdyby była, to każda przestrzeń byłaby jednospójna! W dalszych rozdziałach zajmiemy się zbadaniem zbioru klas homotopii odzworowań $ [S^1,S^1] $ i wykazaniem szeregu wniosków dotyczących topologii powierzchni.