Łukowa spójność

Często łatwiejsze niż bezpośrednie wykazanie spójności jest sprawdzenie silniejszej, lecz bardziej geometrycznej własności przestrzeni, zwanej łukową spójnością.

Definicja Przestrzeń topologiczna $ (X,\sT) $ jest łukowo spójna jeśli dla dowolnych punktów $ x_0,x_1\in X $ istnieje odwzorowanie ciągłe (zwane drogą) $ \omega : [0,1]\to X $: $ \omega (0)=x_0,\, \omega (1) = x_1. $
Stwierdzenie Jeśli przestrzeń $ (X,\sT) $ jest łukowo spójna to jest spójna.
Dowód: Wybierzmy punkt $ x_0\in X $ oraz dla każdego innego punktu $ x\in X $ drogę $ \omega_x : [0,1]\to X $: $ \omega_x (0)=x_0,\, \omega_x (1) = x. $ Wtedy $ X = \bigcup\limits_{x\in X}\omega_x ([0,1]) $, czyli jest sumą zbiorów spójnych o niepustym przecięciu: $ x_0\in\bigcap\limits_{x\in X}\omega_x ([0,1]) $, a więc na podstawie Stw. [link] $ X $ jest przestrzenią spójną. □

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_spoj_luk_drogi.jpg}}

Stwierdzenie (#) Niech $ (X,\sT) $ będzie przestrzenią topologiczną. Relacja $ R $ w zbiorze $ X $:

$$R := \{(x_0,x_1)\in X\times X \, |\, \exists_ {\omega : [0,1]\to X} \,\omega (0)=x_0,\, \omega (1) = x_1\}.$$

(czyli dwa punkty są w relacji $ R $ jeśli istnieje droga je łącząca) jest relacją równoważności.

Dowód: Relacja $ R $ jest zwrotna, droga stała $ c_x(t) = x $ łączy $ x $ z $ x $. $ R $ jest także symetryczna: jeśli $ \omega : [0,1]\to X $ łączy $ x_0 $ z $ x_1 $ to droga $ \bar\omega (t) := \omega (1-t) $ łączy $ x_1 $ z $ x_0. $ Pozostaje wykazać przechodniość. Niech $ \omega_1 : [0,1]\to X $ łączy $ x_0 $ z $ x_1 $ a $ \omega_2 : [0,1]\to X $ łączy $ x_1 $ z $ x_2. $ Zdefiniujemy drogę $ \omega $ jako złożenie dróg

$$\omega (t) := (\omega_1\star\omega_2)(t) = \begin{cases} \omega_1(2t)\,\text{dla}\, 0\leq t\leq\frac{1}{2} \\ \omega_2(2t-1)\,\text{dla}\,\frac{1}{2}\leq t\leq 1 \end{cases}.$$

Droga $ \omega $ łączy $ x_0 $ z $ x_2. $

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_spoj_luk_drogi_sklad.jpg}}

Przykład (#) Podzbiór $ G\subset\R^n $ nazywamy gwiaździstym jeśli istnieje punkt $ p_0\in G $ taki, że dla dowolnego $ p\in G $ odcinek $ [p_0,p]\subset G $. Oczywiście każdy zbiór wypukły jest gwiaździsty. Dowolny zbiór gwiaździsty jest łukowo spójny. Dowolny punkt $ x\in G $ można połączyć z $ x_0 $ drogą afiniczną $ \omega (t) := (1-t)x + tx_0 $.

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_spoj_luk_gwiazda.jpg}}

Przykład (#) Podzbiór płaszczyzny euklidesowej

$$S=\{\,(x,\sin\frac1x)\in \R^2:  -\frac{1}{\pi}\le x\le \frac{1}{2\pi},\, x\neq 0\}\cup \{\,(0,y):|y|\le 1\,\} $$

     jest spójny, lecz nie jest łukowo spójny ( BCPP 4.2.3). Wskaż składowe spójne zbioru $ S $.

Wlasność łukowej spójności zachowuje się podobnie jak spójność (por. Stw. [link] ), z tym że domknięcie zbiorów łukowo spójnych nie musi być zbiorem łukowo spójnym. Domknięcie podzbioru łukowo spójnego $ S':=\{\,(x,\sin\frac1x)\in \R^2:  -\frac{1}{\pi}\le x\le \frac{1}{2\pi},\, x>0\} \subset S $ nie jest zbiorem łukowo spójnym.

Stwierdzenie (#)

  1. Jeśli $ f:(X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest ciągłą surjekcją określoną na łukowo spójnej przestrzeni $ (X,\sT_X) $ to $  (Y,\sT_Y) $ też jest spójna.
  2. Jeśli $ X= \bigcup\limits_{i\in I} C_i $ gdzie dla każdego $ {i\in I} $ zbiór $ C_i $ jest łukowo spójny oraz istnieje $ {i_0\in I} $ taki, że dla każdego $ {i\in I}\, C_{i_0}\cap C_i\neq\emptyset $, to $ X $ jest przestrzenią łukowo spójną.
Dowód:

Ad 1. Aby znaleźć drogę łączącą $ y_0,y_1\in Y $ wybierzmy punkty $ x_0\in f^{-1}(y_0),\, x_1\in f^{-1}(y_1) $. Ponieważ $ X $ jest łukowo spójna, istnieje droga $ \omega : [0,1]\to X \,\omega (0)=x_0,\, \omega (1) = x_1 $. Drogę łączącą $ y_0,y_1\in Y $ definiujemy jako złożenie odwzorowań $ \eta (t) := f(\omega (t)) $.

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_spoj_obraz_drogi.jpg}}

Ad 2. Każdy punkt $ x\in X $ można połączyć drogą z pewnym (zależnym a priori od $ x\in X $ ! ) punktem $ x_0\in C_0 $, a dowolne dwa punkty w $ C_0 $ można też połączyć drogą. Stąd wynika, że dowolne dwa punkty w $ X $ można połączyć drogą. □

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_spoj_luk_suma_zbiorow.jpg}}

Łukowa spójność a operacje na przestrzeniach

Zauważmy jak zachowuje się łukowa spójność przy poznanych operacjach na przestrzeniach topologicznych. Nastepujące własności są oczywiste:

  1. Podprzestrzeń przestrzeni łukowo spójnej może nie być łukowo spójna.
  2. Przestrzeń ilorazowa przestrzeni spójnej jest spójna na mocy Stw. \ref {s:spoj_luk_podzb} pkt. 1.
  3. Suma prosta niepustych przestrzeni topologicznych nie jest łukowo spójna (bo nie jest spójna).

Dla iloczynu kartezjańskiego dowód twierdzenia analogicznego do Twierdzenia [link] jest znacznie prostszy.

Twierdzenie (#) Iloczyn kartezjański rodziny przestrzeni topologicznych jest przestrzenią łukowo spójny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie czynniki iloczynu są spójne.
Dowód:

     $ \implies $ Jeśli $ \prod\limits_{s\in S}  (X_s, {\cal T}_s) $ jest przestrzenia łukowo spójną, to wszystkie czynniki $ (X_s,\sT_s) $ też są przestrzeniami łukowo spójnymi na mocy Stw. [link] pkt.1, ponieważ rzutowania $ p_t\colon \prod\limits_{s\in S}  (X_s, {\cal T}_s)\to (X_t,\sT_t) $ są ciagłymi surjekcjami.

     $ \impliedby $ Jeśli $ x^0:=\{x_s^0\}_{s\in S} $ i $ x^1:=\{x_s^1\}_{s\in S} $ są dwoma punktami w iloczynie kartezjańskim, to wybierzmy dla każdego $ s\in S $ drogę $ \omega_s : [0,1]\to X_s $ łączącą $ x_s^0 $ z $ x_s^1. $ Droga $ \omega\colon [0,1]\to \prod\limits_{s\in S}  X_s $, $ \omega (t) := \{\omega_s(t)\}_{s\in S} $ jest ciagła na mocy Stw. [link] i łączy $ x^0 $ z $ x^1 $. □