Definicja Niech
oraz
będą przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie zbiorów
nazywa się ciągłym jeśli dla każdego zbioru
jego przeciwobraz
.





Powyższa definicja jest równoważna następującemu warunkowi, nawiązującemu do definicji ciągłości wg. Cauchy:
Stwierdzenie Odwzorowanie
jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu
i zbioru
takiego, że
istnieje zbiór
taki, że
oraz







Zauważmy, że każde przekształcenie określone na przestrzeni dyskretnej o wartościach w dowolnej przestrzeni topologicznej oraz każde przekształcenie określone na dowolnej przestrzeni topologicznej o wartościach w przestrzeni antydyskretnej jest ciągłe.
Stwierdzenie Jeśli odwzorowania
są ciągłe, to ich złożenie
też jest ciągłe. Dla dowolnej przestrzeni topologicznej
odwzorowanie identycznościoweid_X\colon
} jest ciągłe.




Definicja Przekształcenie ciągłe
nazywa się homeomorfizmem jeśli istnieje przekształcenie ciągłe
takie, że
oraz
.




Odnotujmy kilka własności homeomorifzmów:
- Homeomorfizm
jest bijekcją zbiorów
, ale nie każda ciągła bijekcja jest homeomorfizmem; np. jeśli zbiór
ma co najmniej dwa punkty, to identyczność
jest ciągła, ale nie jest homeomorfizmem!
- Jeśli
jest homeomorfizmem, to obraz dowolnego zbioru otwartego jest zbiorem otwartym, bowiem jeśli
jest ciagłym przekształceniem odwrotnym, to
a ten zbiór na mocy ciągłości
jest otwarty.
- Jeśli
jest ciągłą bijekcją taką, to dla dowolnego zbioru
jego obraz
, to
jest homeomorfizmem; uzasadnienie jak wyżej.