Odwzorowania ciągłe i homeomorfizmy | Portal Dydaktyczny dla Matematyków

Definicja Niech $(X,{\cal T}_X)$ oraz $(Y,{\cal T}_Y)$ będą przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie zbiorów $f:X\to Y$ nazywa się ciągłym jeśli dla każdego zbioru $V\in{\cal T}_Y$ jego przeciwobraz $f^{-1}(V)\in {\cal T}_X$ .

Powyższa definicja jest równoważna następującemu warunkowi, nawiązującemu do definicji ciągłości wg. Cauchy:

Stwierdzenie Odwzorowanie $f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y)$ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $x\in X$ i zbioru $V\in\sT_Y$ takiego, że $f(x)\in V$ istnieje zbiór $U\in \sT_X$ taki, że $x\in U$ oraz $f(U)\subset V.$

Zauważmy, że każde przekształcenie określone na przestrzeni dyskretnej o wartościach w dowolnej przestrzeni topologicznej oraz każde przekształcenie określone na dowolnej przestrzeni topologicznej o wartościach w przestrzeni antydyskretnej jest ciągłe.

Stwierdzenie Jeśli odwzorowania $(X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y) \arr g (Z,\sT_Z)$ są ciągłe, to ich złożenie $(X,\sT_X)\arr {g\circ f} (Z,\sT_Z)$ też jest ciągłe. Dla dowolnej przestrzeni topologicznej $(X,\sT_X)$ odwzorowanie identycznościoweid_X\colon $(X,\sT_X) \to{id_X} (X,\sT_X)$ } jest ciągłe.

Definicja Przekształcenie ciągłe $f: (X,{\cal T}_X) \to (Y,{\cal T}_Y)$ nazywa się homeomorfizmem jeśli istnieje przekształcenie ciągłe $g: (Y,{\cal T}_Y)\to (X,{\cal T}_X)$ takie, że $f\circ g = Id_Y$ oraz $g\circ f = Id_X$ .

Odnotujmy kilka własności homeomorifzmów:

Homeomorfizm $(X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y)$ jest bijekcją zbiorów $X\arr f Y$ , ale nie każda ciągła bijekcja jest homeomorfizmem; np. jeśli zbiór $X$ ma co najmniej dwa punkty, to identyczność $Id:(X,\sT_\delta)\to (X,\sT_{a\delta})$ jest ciągła, ale nie jest homeomorfizmem!
Jeśli $(X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y)$ jest homeomorfizmem, to obraz dowolnego zbioru otwartego jest zbiorem otwartym, bowiem jeśli $g$ jest ciagłym przekształceniem odwrotnym, to $f(U) = g^{-1}(U)$ a ten zbiór na mocy ciągłości $g$ jest otwarty.
Jeśli $(X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y)$ jest ciągłą bijekcją taką, to dla dowolnego zbioru $U\in\sT_X$ jego obraz $f(U)\in\sT_Y$ , to $f$ jest homeomorfizmem; uzasadnienie jak wyżej.