Odwzorowania ciągłe i homeomorfizmy

Definicja Niech $ (X,{\cal T}_X) $ oraz $ (Y,{\cal T}_Y) $ będą przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie zbiorów $ f:X\to Y $ nazywa się ciągłym jeśli dla każdego zbioru $ V\in{\cal T}_Y $ jego przeciwobraz $ f^{-1}(V)\in {\cal T}_X $ .

Powyższa definicja jest równoważna następującemu warunkowi, nawiązującemu do definicji ciągłości wg. Cauchy:

Stwierdzenie Odwzorowanie $ f\colon (X,\sT_X)\to  (Y,\sT_Y) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $ x\in X $ i zbioru $ V\in\sT_Y  $ takiego, że $  f(x)\in V $ istnieje zbiór $ U\in \sT_X $ taki, że $ x\in U $ oraz $ f(U)\subset V. $

Zauważmy, że każde przekształcenie określone na przestrzeni dyskretnej o wartościach w dowolnej przestrzeni topologicznej oraz każde przekształcenie określone na dowolnej przestrzeni topologicznej o wartościach w przestrzeni antydyskretnej jest ciągłe.

Stwierdzenie Jeśli odwzorowania $ (X,\sT_X)\arr f  (Y,\sT_Y) \arr g (Z,\sT_Z) $ są ciągłe, to ich złożenie $ (X,\sT_X)\arr {g\circ f} (Z,\sT_Z) $ też jest ciągłe. Dla dowolnej przestrzeni topologicznej $ (X,\sT_X) $ odwzorowanie identycznościoweid_X\colon $ (X,\sT_X) \to{id_X} (X,\sT_X) $} jest ciągłe.
Definicja Przekształcenie ciągłe $ f: (X,{\cal T}_X) \to (Y,{\cal T}_Y) $ nazywa się homeomorfizmem jeśli istnieje przekształcenie ciągłe $ g: (Y,{\cal T}_Y)\to (X,{\cal T}_X)  $ takie, że $ f\circ g = Id_Y $ oraz $ g\circ f = Id_X $.

     Odnotujmy kilka własności homeomorifzmów:

  • Homeomorfizm $ (X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y) $ jest bijekcją zbiorów $ X\arr f Y $, ale nie każda ciągła bijekcja jest homeomorfizmem; np. jeśli zbiór $ X $ ma co najmniej dwa punkty, to identyczność $ Id:(X,\sT_\delta)\to (X,\sT_{a\delta}) $ jest ciągła, ale nie jest homeomorfizmem!
  • Jeśli $ (X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y) $ jest homeomorfizmem, to obraz dowolnego zbioru otwartego jest zbiorem otwartym, bowiem jeśli $ g $ jest ciagłym przekształceniem odwrotnym, to $ f(U) = g^{-1}(U) $ a ten zbiór na mocy ciągłości $ g $ jest otwarty.
  • Jeśli $ (X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y) $ jest ciągłą bijekcją taką, to dla dowolnego zbioru $ U\in\sT_X $ jego obraz $ f(U)\in\sT_Y $, to $ f $ jest homeomorfizmem; uzasadnienie jak wyżej.