Odwzorowanie wykładnicze i logarytm

This is the most important function in mathematics.

Walter Rudin Real & Complex Analysis. Second Edition.McGraw-Hill Series in Higher Mathematics 1966, Prologue.

    

Opiszemy jedno z najważniejszych odwzorowań topologii i analizy zespolonej, mające daleko idące uogólnienia w geometrii różniczkowej. Od tej pory wygodnie nam będzie traktować płaszczyznę euklidesową $ \R^2 $ jako zbiór liczb zespolonych $ \C $ i korzystać z dodawania i mnożenia liczb zespolonych. Płaszczyznę euklidesową traktowaną jako ciało liczb zespolonych nazywa się płaszczyną Gaussa ( Carl Friedrich Gauß (Braunschweig 1777 - 1855 Göttingen). Będziemy też oznaczać $ \C^* := \C\setminus\{0\} $ zbiór liczb zespolonych różnych od zera, który jest grupą abelową ze względu na mnożenie liczb zespolonych.

Definicja Jeśli $ z=x+iy $ jest liczbą zespoloną to definiujemy

$$\exp(z) := e^z =  e^{x+iy} = e^xe^{iy} = e^x(\cos y + i\sin y)\in\C^*.$$

Część rzeczywistą liczby zespolonej $ z=x+iy $ będziemy oznaczać $ \Re (z) := x $ a część urojoną $ \Im (z) := y $. Przez $ \arg (z) $ argument liczby $ z $, czyli liczbę $ 0\leq \theta <2\pi  $ taką, że $ z=|z|(\cos \theta + i \sin\theta) $, gdzie $ |z| $ jest modułem $ z $.

Stwierdzenie [Własności $ \exp $] (#) Odwzorowanie $ \exp\colon\C\to\C^* $, (oznaczane krócej $ p:=\exp $) ma następujące własności:

  1. $ p(z_1+z_2) = p(z_1)p(z_2),\, p(0)=1 $, czyli $ p $ jest homomorfizmem grupy addytywnej liczb zespolonych w grupę multyplikatywną liczb zespolonych różnych od zera;
  2. Jądro homomorfizmu $ p $ składa jest podgrupą generowaną przez elment $ 2\pi i\in\C $, a więc $ \ker p = 2\pi i\Z \simeq \Z $ oraz $ p(z)=p(z') $ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba całkowita $ k\in\Z $ taka, że $ z' = z +2k\pi i $;
  3. Dla ustalonego punktu $ z_0\in \C^* $ oznaczmy półprostą $ L_{z_0} ^*:= \{tz_0 \colon t\in\R_+ \}\subset\C^* $. Przeciwobraz pólprostej $ p^{-1}(L_{z_0} ^*) = \{z\in\C\colon \Im (z) = \arg (z) + 2\pi k,\, k\in \Z\} $, czyli jest sumą rozłączną przeliczalnie wielu prostych równoległych do osi rzeczywistej.
  4. Przeciwobraz $ p^{-1}(\C^*\setminus L_{z_0} ^*) $ jest sumą rozłączną otwartych pasów
    $$U_k(z_0) :=\{z\in\C\colon \arg(z_0) + 2k\pi  < \Im (z) < \arg(z_0)+  2(k+1)\pi\}$$

    a każdy z nich jest odwzorowywany przez $ p $ homeomorficznie na $ \C^*\setminus L_z ^* $, a więc $ p $ jest otwartą surjekcją.

  5. Przeciwobrazem okręgu o promieniu $ r>0 $, $ S^1_r := \{z\in\C^*\colon |z| =r\} $ jest prosta równoległa do osi urojonej $ x= \log r $.
Dowód: Ad 1,2. Równości wynikają z definicji funkcji wykładniczej przez szereg zespolony badź z własności rzeczywistych funkcji trygonometrycznych.

Ad 3. Z definicji funkcji $ \exp $ wynika, że

$$p^{-1}(\C^*\setminus L_{z_0} ^*) = \{z\in\C\colon \Im (z) \neq \arg (z_0) + 2k\pi i \}.$$

Żeby pokazać, że $ p\colon U_k(z_0)\to \C^*\setminus L_{z_0} ^* $ jest homeomorfizmem skonstruujemy odwzorowanie odwrotne $ \log_k\colon \C^*\setminus L_{z_0}^* \to U_k(z_0) $ dane wzorem

$$\log_k(w) := \log |w| + (\arg (z_0) + \theta (w)+ 2k\pi)i$$

gdzie $ \theta (w) $ jest kątem między półprostą $ L_{z_0}^* $ a wektorem $ w\in\C^* $. Ciągłość tego odwzorowania wynika z ciągłości logarytmu rzeczywistego oraz funkcji $ \theta\colon \C^*\setminus L_{z_0} ^*\to (0,2\pi) $. Ponieważ pasy $ U_k(z_0) $ i dopełnienia półprostych $ \C^*\setminus L_{z_0} ^* $ są podzbiorami otwartymi, a więc $ p $ jest odwzorowaniem otwartym. □

Działanie przekształcenia $ \exp $ na prostych siatki współrzędnych kartezjańskich pokazano na poniższej wizualizacji (u góry płaszczyzna $ \C $, u dołu $ \C^* $):

Definicja Logarytmem odwzorowania ciagłego $ f\colon X\to \C^* $ będziemy nazywać dowolne odwzorowanie ciagłe $ \tilde f \colon  X\to \C $ takie, że $ \exp\circ\tilde f = f $, czyli dla każdego $ x\in X $ zachodzi równość $ \exp (\tilde f(x)) = f(x) $ tzn. diagram przekształceń:

\[ \begin{align*} \xymatrix{   &  \C \ar[d]^{\exp}\\  		X\ar[r]^f \ar[ru]^{\tilde f} & {\C^*}} \end{align*}  \]

jest przemienny.

Zauważmy, że identyczność $ Id\colon\C^* \to \C^* $ nie posiada logarytmu, nawet na podzbiorze $ A\subset\C^* $, o ile zawiera on okrąg okrążający zero.

Stwierdzenie [Jednoznaczność logarytmu] (#)

  1. Niech $ f\colon X\to \C^* $. Jeśli $ \tilde f  \colon  X\to \C $ jest logarytmem $ f $, to dla każdej liczby całkowitej $ k\in\Z $, $ \tilde f_k(x) := \tilde f (x) + 2k\pi i $ jest także logarytmem $ f $.
  2. Jeśli $ X $ jest spójna i $ \tilde f_k  \colon  X\to \C,\, k=1,2 $ są logarytmami odwzorowania $ f\colon X\to \C^* $, takimi, że dla pewnego punktu $ x_0\in X $ $ \tilde f_1 (x_0)=\tilde f_2 (x_0) $ to $ \tilde f_1 =\tilde f_2 $
  3. Jeśli $ X $ jest spójna i $ \tilde f_k  \colon  X\to \C,\, k=1,2 $ są logarytmami odwzorowania $ f\colon X\to \C^* $ to istnieje liczba całkowita $ k\in\Z $ taka, że dla każdego $ x\in X $ $ \tilde f_1(x) - \tilde f_2(x) = 2k\pi i  $.
Dowód:

Ad 1. Wynika bezpośrednio z Tw. [link] pkt. 2.

Ad 2. Załóżmy, że $ X $ jest przestrzenią spójną. Wykażemy, że zbiór

$$\{x\in X\colon \tilde f_1(x) = \tilde f_2(x) \}$$

jest otwarto -- domknięty. Domkniętość wynika stąd, że $ \C $ jest przestrzenią Hausdorffa. Wykażemy, że jest także otwarty. Jeśli dla pewnego punktu $ \tilde f_1(x) = \tilde f_2(x) = z_0 $ to możemy wybrać pewien pas $ U_k(z)\ni z_0 $ oraz otoczenie $ V\ni x $ takie, że $ \tilde f_i(V) \subset U_k(z) $ dla $ i=1,2 $. Z definicji logarytmu zachodzą równości $ p\tilde f_1 = p\tilde f_2 = f $. Ponieważ $ p\colon U_k(z)\to \C^* $ jest różnowartościowe, więc stąd wynika, że $ \tilde f_1(x') = \tilde f_2(x') $ dla $ x'\in U $. Jedynym niepustym podzbiorem otwarto--domknietym przestrzeni spójnej jest cała przestrzeń, a więc $ \tilde f_1 =\tilde f_2 $ na $ X $.

Ad 3. Niech $ x_0\in X $; z własności funkcji wykładniczej (Tw. [link]) wynika istnienie liczby całkowitej $ k\in\Z $ takiej, że $ \tilde f_1(x_0) = \tilde f_2(x_0) + 2k\pi i  $. Z punktów 1,2 wynika, że $ \tilde f_1(x) = \tilde f_2(x) + 2k\pi i  $ dla wszystkich $ x\in X $. □

Stwierdzenie (#) Niech $ f\colon X\to\C^* $ będzie odwzorowaniem ciągłym. Załóżmy, że istnieje pokrycie $ X = A_1\cup A_2 $ gdzie oba zbiory są otwarte, albo oba sa domknięte, ich przecięcie $ A_1\cap A_2 $ jest spójne, oraz obcięcie przekształcenia $ f|A_i $ posiada logarytm dla $ i=1,2 $. Wtedy przekształcenie $ f $ posiada logarytm.
Dowód: Niech $ \tilde f_i\colon A_i\to \C $ dla $ i=1,2 $ będą logarytmami. Oznaczmy $ A_{12}:=A_1\cap A_2 $. Ze Stw. [link] wnioskujemy, że istnieje $ k\in\Z $ takie, że $ \tilde f_1|A_{12} + 2k\pi i = \tilde f_2|A_{12} $. Stąd formuła

$$\tilde f (p) := \begin{cases} \tilde f_1|A_{12}(p) + 2k\pi i\quad\text{dla}\quad p\in A_1 \\  \tilde f_2|A_{12}(p) \quad\text{dla}\quad p\in A_2\end{cases}$$

określa logarytm $ f $ na $ X $.□

Twierdzenie [Samuel Eilenberg (Warszawa 1913 - 1998 New York)] (#)Niech $ X $ będzie przestrzenią zwartą.

  1. Odwzorowanie $ f\colon X\to\C^* $ jest ściągalne wtedy i tylko wtedy, gdy posiada logarytm.
  2. Dwa odwzorowania $ f,g\colon X\to\C^* $ są homotopijne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloraz $ f/g $ posiada logarytm.
Dowód: Ad 1. $ \impliedby $ Niech $ \tilde f\colon X\to\C $ będzie logarytmem tzn. $ p\circ\tilde f = f $. Ponieważ przestrzeń $ \C $ jest ściągalna, a więc przekształcenie $ \tilde f $ jest ściagalne, a zatem złożenie z dowolnym innym przekształceniem jest ściągalna. Nb. homotopia może być łatwo zapisana wzorem $ H\colon X\times I\to\C^*,\, H(x,t):= p(t\tilde f(x)) $.

Ad 2. Jeśli $ f\sim g $ i $ F\colon X\times I\to \C^* $ jest homotopią między nimi, to   $ H(x,t) := F(x,t)/g(x) $ jest homotopią między odwzorowanien stałym w $ 1\in\C^* $ a $ f/g $. Odwrotnie, jeśli $ H(x,t) $ jest homotopia między $ f/g $ a odwzorowaniem stałym w $ 1\in\C^* $, to iloczyn $ H(x,t)g(x) $ jest homotopią między $ f $ i $ g $. □

Dowód punktu 1 twierdzenia w przeciwną stronę, a więc że przekształcenie ściągalne posiada logarytm, poprzedzimy ciekawym lematem, w którym wykorzystuje się mnożenie liczb zespolonych.

Lemat (#) Niech $ X $ będzie przestrzenią zwarta a $ F\colon X\times I\to \C^* $ homotopią taką, że $ F(x,0) = z_0 $ dla wszystkich $ x\in X $. Dla dowolnego otoczenia otwartego $ 1\in U\subset\C^* $ istnieją funkcje $ G_1,\dots G_n\colon X\times I \to U\subset \C^* $ takie, że dla każdego $ x\in X $ zachodzi równość: $ F(x,t) =z_0 G_1(x,t)\dots G_n(x,t). $
Dowód:[Dowód lematu.] Zbiory $ \{zU\}_{z\in\C^*} $ tworzą otwarte pokrycie $ \C^* $. Zatem dzięki zwartości $ X\times I $ możemy wybrać liczbę $ \epsilon >0 $ taką, że jeśli $ |t-t'|<\epsilon $, to dla każdego $ x\in X $, $ F(x,t), F(x,t')\in zU $ dla pewnego $ z\in \C^* $. Niech $ 0=t_0<t_1<\dots < t_{n-1}< t_n=1 $ będzie podziałem odcinka takim, że $ |t_i-t_{i+1}|<\epsilon $. Dla $ j=0,..,n-1 $ zdefiniujemy funkcje

$$G_j(x,t) := \frac{F(x,\frac{j+1}{n}t)}{F(x,\frac{j}{n}t)}$$

Dowód:[Dowódu pkt. 1 Twierdzenia [link]] $ \implies $ Niech $ f\colon X\to\C^* $ będzie ściągalne a   $ F\colon X\times I\to \C^* $ będzie jego ściagnięciem, a więc homotopią taką, że $ F(x,0) = z_0 $ oraz $ F(x,1) = f(x). $ Korzystając z Lematu [link] rozłóżmy $ F $ na iloczyn: $ F(x,t) =z_0 G_1(x,t)\dots G_n(x,t). $ w którym $ G_j(x,t)\in \{z\in\C\colon \arg (z)\neq \pi\} $. Ze Stw. [link] pkt.4 wiemy, że obcięcie odwzorowania wykładniczego

$$p\colon \{z\in\C\colon -\pi<\Im(z)<\pi\}\arr {\simeq}    \{z\in\C\colon \arg (z)\neq \pi\}$$

jest homeomorfizmem i oznaczmy jego odwrotność

$$\log_0\colon \{z\in\C\colon \arg (z)\neq \pi\}\arr {\simeq}  \{z\in\C\colon -\pi<\Im(z)<\pi\}.$$

Niech $ w_0 $ będzie dowolnym punktem takim, że $ p(w_0)=z_0 $. Definiujemy logarytm $ F $ wzorem:

$$\tilde F (x,t) := w_0 + \log_0(G_1(x,t))+\dots + \log_0(G_n(x,t)).$$

Z tej definicji natychmiast widać, że $ \tilde F $ jest odwzorowaniem ciągłym, a z własności przekształcenia wykładniczego, że $ p\tilde F = F $. □