Ośrodkowość

Definicja Przestrzeń $ (X,{\cal T}) $ nazywa się ośrodkowa jeśli posiada gęsty podzbiór przeliczalny.
Przykład Prosta euklidesowa jest przestrzenią ośrodkową. Liczby wymierne są zbiorem przeliczalnym, gęstym.
Stwierdzenie Niech $ (X,{\cal T}) $ będzie przestrzenią topologiczną.

  1. Podzbiór $ A\subset X $ jest gęsty wtedy i tylko wtedy, gdy ma niepuste przecięcie z dowolnym niepustym zbiorem otwartym (równoważnie: zbiorem z pewnej bazy).
  2. Jeśli przestrzeń topologiczna spełnia II aksjomat przeliczalności (tzn. ma bazę przeliczalną), to jest ośrodkowa.
  3. Jeśli metryzowalna przestrzeń topologiczna $ (X,\sT) $ jest ośrodkowa, to spełnia II aksjomat przeliczalności.
Dowód:

     Ad 1. Wynika natychmiast ze Stw. 4.4

    Ad 2. Wybierając z każdego zbioru bazy przeliczalnej po jednym punkcie otrzymujemy zbiór przeliczalny mający niepuste przecięcie z każdym zbiorem otwartym (bo każdy zbiór otwarty jest sumą zbiorów z bazy.)

    Ad 3. Niech dla pewnej metryki $ d $ w $ X $, $ \sT = \sT(d). $ Jeśli $ G\subset X $ jest zbiorem przeliczalnym gęstym, to pokażemy, że przeliczalna rodzina zbiorów $ \sB := \{B(y,\frac{1}{n})\, |\, y\in G,\, n\in\N\} $ jest bazą topologii $ \sT(d) $. W tym celu wystarczy pokazać, że dla dowolnej kuli $ B(x_0,r) $ i punktu $ x\in B(x_0,r) $ istnieje punkt $ y_i\in G $ oraz $ \epsilon>0 $ takie, że $ x\in B(y_i,\epsilon)\subset B(x_0,r) $. Ponieważ $ G $ jest gęsty a więc w $ G $ istnieje ciąg punktów $ \{y_n\}_{n=1}^\infty $ zbieżny do $ y $. Dobierzemy teraz punkt $ y_i $ z tego ciagu i promień $ \epsilon $ dla których$ x\in B(y_i,\epsilon)\subset B(x_0,r) $ w następujący sposób: niech $ y_i\in G $ będzie punktem takim, że $ d(y_i,x)\leq \frac13 (r-d(x,x_0)) $ natomiast $ \epsilon := \frac12 (r-d(x,x_0)) $. Wykorzystując warunek trójkąta sprawdzamy, że zachodzą wymagane inkluzje. [Wykonaj rysunek]

    

Zauważmy, że obraz ciągły przestrzeni ośrodkowej jest przestrzenią ośrodkową. Wynika to natychmiast ze Stw. [link].

Uwaga Założenie o metryzowalności przestrzeni topologicznej w ostatniej implikacji jest istotne, wystarczy rozpatrzeć prostą z topologią strzałki, która jest ośrodkowa, lecz nie spełnia II aksjomatu przeliczalności.