Płaszczyzna rzutowa i wstęga Moebiusa

Bardzo ważną i interesującą powierzchnią jest płaszczyzna rzutowa. Jak pokazaliśmy sferę można sobie wyobrażać jako płaszczyznę z dodanym jednym punktem w nieskończoności. Płaszczyzna rzutowa to płaszczyzna do której dodano po jednym punkcie w nieskończoności dla każdej prostej przechodzącej przez $ 0 $, lub równoważnie dla każdej klasy prostych równoległych (jedna przechodzi przez 0). Ponieważ o dysku $ D(0,1)\subset\R^2 $ można mysleć jako o przestrzeni $ \R^2 $ (wnętrze dysku) do której dodano po jednym punkcie w nieskończoności dla każdej półprostej, a więc naturalne jest zdefiniowanie płaszczyzny rzutowej jako przestrzeni iloraowej dysku, w której antypodyczne punkty na jego brzegu są utożsamione:

$$P := D^2/\sim \quad \text{gdzie}\quad  p_1\sim p_2\, \iff\, p_1=p_2 \quad\text{lub}\quad p_1,p_2\in S^1\quad \text{oraz}\quad p_1=-p_2$$

Definicja ta i intuiucja bez trudu uogólnia się na wyższe wymiary prowadząc do definicji $ n $-wymiarowej przestrzeni rzutowej $ \R P(n) $.

Stwierdzenie (#) Następujące przestrzenie są homeomorficzne z płaszczyzną rzutową $ P $:

  1. Przestrzeń ilorazowa $ P':= [-1,1]\times [-1,1]/\sim $ gdzie $ (t_1,t_2)\sim(s_1,s_2)\,\iff\, (t_1,t_2)=(s_1,s_2) $ lub $ (t_1,t_2)= - (s_1,s_2) $ gdzie $ t_1\in\{-1,1\} $ lub $ t_2\in\{-1,1\} $;
  2. Przestrzeń ilorazowa $ P'':= S^2/\sim $ gdzie $ p_1\sim p_2\, \iff\, p_1=p_2 \,\text{lub}\,  p_1=-p_2 $;
  3. Przestrzeń ilorazowa $ P''':=(\R^3\setminus\{0\})/\sim $ gdzie $ p_1\sim p_2\, \iff\, p_1=p_2 \,\text{lub}\,  p_1= \lambda p_2 $ dla pewnej liczby $ \lambda\in\R $ .

Płaszczyzna rzutowa jest przestrzenią zwartą, a każdy jej punkt posiada otoczenie homeomorficzne z $ \R^2 $.

Dowód: Żeby sprawdzić zwartość płaszczyzny rzutowej wystarczy wykazać, że jest przestrzenią Hausdorffa, co jest łatwo sprawdzić bezpośrednio z definicji $ P,\, P',\, P'',\, P''' $. To, ze każdy punkt ma otoczenie homeomorficzne z $ \R^2 $ najłatwiej jest zauważyć w modelu $ P'' $: odwzorowanie ilorazowe $ q\colon S^2\to P'' $ odwzorowuje homeomorficznie otwarte półsfery na podzbiory otwarte płaszczyzny rzutowej.

Kanoniczny homeomorfizm dysku i kwadratu (''po promieniach'') zachowuje antypodyczność punktów, a więc definiuje homeomorfizm $ P\to P' $. Z kolei włożenie $ S^2\subset \R^3\setminus\{0\} $ definiuje ciągłą bijekcję $ P''\to P''' $, a ponieważ $ P'' $ jest przestrzenią zwartą, jest więc ona homeomorfizmem. Pozostaje wskazać homeomorfizm $ P''\to P $. Niech $ p\colon S^2 \to D^2 $ będzie projekcją na pierwsze dwie współrzędne: $ p(x_0,x_1,x_2) := (x_0,x_1) $. Łatwo zauważyć, że zadaje ona bijekcję na klasach równoważności, a więc ciągłą bijekcję $ P''\to P $, która wobec zwartości $ P'' $ jest homeomorfizmem. □

Uwaga Przestrzeń $ P'' $ jest przestrzenią orbit działania grupy $ \Z_2 = \{-1,1\} $ na sferze $ S^2 $, a przestrzeń $ P''' $ jest przestrzenią orbit działania grupy multyplikatywnej liczb rzeczywistych $ \R^* $ na $ \R^3\setminus\{0\} $.
Uwaga Zanurzenie płaszczyzny rzutowej w przestrzeń euklidesową $ \R^4 $ opisane jest w BCPP Przykład 5.1.3. oraz w w skrypcie Michał Krych, Analiza Matematyczna 2, Funkcje wielu zmiennych - ciągłość a wizualizacja obrazu z samoprzecięciami w $ \R^3 $ w Neil Strickland web page.
Stwierdzenie Dla dowolnych dwóch punktów $ p_1,p_2\in P $ istnieje homeomorfizm $ h\colon P\to P $ taki, że $ h(p_1)=p_2 $.
Dowód: Skorzystamy z interpertacji płaszczyzny rzutowej jako przestrzeni ilorazowej sfery $ S^2 $ oraz homeomorfizmu sfery skonstruowanego w dowodzie Wniosku [link] . Niech $ p_1=[\vv_1],\, p_2=[\vv_2] $ liniowa izometria $ h\colon \R^3\to\R^3 $ taka, że $ h(\vv_1)=\vv_2 $ zadaje homeomorfizm płaszczyny rzutowej $ \bar h\colon P''\to P'' $ taki, że $ \bar h(p_1)=p_2) $. □

Udowodnimy teraz, że przekłuta płaszczyzna rzutowa, czyli po usunięciu jednego punktu, jest homeomorficzna ze wstęgą Möbiusa. wizualizację wstęgi Möbiusa można znaleźć w Neil Strickland web page.

Stwierdzenie (#) Niech $ p_0\in P $. Przekłuta płaszczyzna rzutowa $ P\setminus\{p_0\} $ jest homeomorficzna z otwartą wstęgą Möbiusa. Istnieje rozkład płaszczyzny rzutowej na sumę dwóch podzbiorów domkniętych $ P = M\cup K $ gdzie $ M $ jest domkniętą wstęgą Möbiusa, $ K $ -- zbiorem homeomorficznym z dyskiem a $ M\cap K $ ich wpólnym brzegiem, czyli podzbiorem homeomorficznym z okręgiem.
Dowód: Rozpatrzmy odwzorowanie ilorazowe $ q\colon S^2\to P'' $ i jego obcięcie do przeciwobrazu przekłutej płaszczyzny rzutowej $ q\colon S^2\setminus \{\vv_0, -\vv_0\}\to P''\setminus \{p_0\} $ gdzie $ p_0=[\vv_0] = [-\vv_0] $. Sfera z wykłutymi punktami antypodycznymi jest homeomorficzna z otwartym walcem $ W:=S^1\times (-1,1) $, przy czym punkty antypodyczne na sferze przechodzą na punkty antypodyczne na walcu, skąd otrzymujemy homeomorfizm $ W/\sim\,\, \simeq P''\setminus \{p_0\} $, a jak wiemy (otwarty) walec z utożsamieniem antypodycznych punktów jest homeomorficzny z (otwartą) wstęgą Moebiusa.

Rozkład przestrzeni rzutowej na sumę dwóch podzbiorów domkniętych $ P = M\cup D $ gdzie $ M $ jest domkniętą wstęgą Möbiusa , $ D $ -- dyskiem a $ M\cap D $ ich wpólnym brzegiem otrzymujemy rozkładając ''duży'' dysk $ D^2 = \bar B(0,\frac 12) \cup (D^2\setminus  B(0,\frac 12)) $. □

Twierdzenie (#) $ H^1(P) := [P,S^1] = 0 $.

Dowód twierdzenia poprzedzimy lematem traktującym o homotopijnych własnościach wstęgi Möbiusa. Domkniętą wstęgę będziemy utożsamiać z przestrzenią ilorazową domkniętego walca $ S^1\times [-1,1] $ otrzymaną przez utożsamienie punktów antypodycznych: $ (z,t)\sim (-z,-t) $.

Twierdzenie (#) Rzutowanie wstegi Möbiusa na jej równik $ p\colon M\to S^1 $ zdefiniowane $ p([z,t]) := z^2 $ jest homotopijną równoważnością. Jeśli $ \iota_1\colon  S^1\to M,\, \iota_1(z) :=[z,1] $ (włożenie okręgu na brzeg wstęgi) to złożenie $ S^1\arr {\iota_1} M \arr {p} S^1 $ jest odwzorowaniem stopnia 2. Włożenie $ \iota_1\colon  S^1\to M $ definiuje monomorfizm $ \iota_1^*\colon [M,S^1] \to [S^1,S^1] $, którego obrazem jest podgrupa generowana przez odwzorowanie stopnia 2.
Dowód: Zauważmy najpierw, że punkty $ M_0 :=\{[z,0]\in M\colon z\in S^1\} $ tworzą równik wstęgi, a odwzorowanie $ p|M_0\colon M_0\to S^1 $ jest homeomorfizmem. Oznaczmy odwzorowanie odwrotne $ \iota_0\colon S^1 \to M_0\subset M $. Złożenie $ p\iota_0 = id_{S^1} $. Złożenie $ \iota_0\circ p\colon M\to M $ jest homotopijne z $ id\colon M\to M $ poprzez homotopię $ H([z,t],s) := [z,st] $. Z definicji wynika, że $ (p\circ\iota_1)(z) = p([z,1]) = z^2 $ jest więc odwzorowaniem stopnia 2, a więc złożenie $  \Z\simeq [S^1,S^1]\arr {p^*}  [M,S^1] \arr {\iota_1^*}  [S^1,S^1]\simeq Z $ przeprowadza $ id\colon S^1\to S^1 $ na $ \phi_2\colon S^1\to S^1 $, a więc jest monomorfizmem. Ponieważ $ p $ jest homotopijną równoważnością, $ p^* $ jest izomorfizmem, a stąd wynika, że $ \iota_1^* $ jest różnowartościowe a jego obraz jest generowany przez odwzorowanie stopnia 2. □
Dowód:[Dowód Tw. [link]] Tak jak w przypadku sfery i torusa skorzystamy z Tw. [link], konstruujac logarytm dla dowolnego odwzorowania $ g\colon P\to \C^* $. Skorzystamy z rozkładu przestrzeni rzutowej skonstruowanego w Stw. [link] $ P = M\cup K $ i pokażemy, że $ g $ posiada logarytm na obu skladnikach, a stąd wobec spójności przecięcia $ M\cap K $, na całej płaszczyźnie rzutowej, a więc $ g $ jest ściągalne (p.Wniosek [link]). Ponieważ $ K $ jest zbiorem ściągalnym, więc $ g|K $ posiada logarytm, skad wynika, że $ g|\partial K $ jest odwzorowaniem ściągalnym. Żeby pokazać, że $ g|M $ posiada logarytm, wykażemy że jest ściągalne. Ponieważ brzeg dysku $ \partial K = \partial M $, a więc $ g $ obcięte do brzegu wstęgi Möbiusa jest ściągalne. Z Tw. [link] wynika, że $ g|M $ jest ściągalne. □
Stwierdzenie Płaszczyzna rzutowa nie jest homeomorficzna ani ze sferą, ani z torusem.
Dowód: Nie istnienie homeomorfizmu płaszczyzny rzutowej z torusem jest natychmiastowe, bowiem $ H^1(P)=0 $, a $ H^1(T)\neq 0 $. Jesli istniałby homeomorfizm $ h\colon P\to S^2 $, to dawałby homeomorfizm przekłutych przestrzeni. To jest jednak niemozliwe, bo przekłuta sfera jest ściagalna, a przekłuta płaszczyzna rzutowa jest homotopijnie równoważna z okręgiem, a więc ściągalna nie jest. □