Podprzestrzeń

Rozpatrujemy przestrzeń $ (X,\sT) $ i jej podzbiór $ A\subset X. $ Chcemy określić topologię $ \sT|A $ w tym zbiorze, wyznaczoną przez topologię w całej przestrzeni. Naturalnym żądaniem jest aby odwzorowanie włożenia $ \iota\colon A\subset X,\, \iota (a) := a $ było ciągłe, a z drugiej strony topologia ta była jak najbliższa topologii w $ X $. Definiujemy więc topologię $ \sT|A $ jako przeciagnięcie topologii $ \sT $ przez włożenie $ \iota $:

$$\sT|A := \sT^*(\iota) = \{\iota^{-1}(U)\, |\, U\in\sT\} =  \{U\cap A\, |\, U\in\sT\}$$

Zauważmy, że jeśli $ \sB $ jest bazą topologii $ \sT $, to rodzina $ \sB|A := \{U\cap A\colon U\in\sB\} $ jest bazą topologii $ \sT|A $ -- podobnie dla bazy w punkcie.

Podobnie jak w przypadku zbiorów otwartych w $ \sT|A $, zbiory domknięte w topolgii podprzestrzeni to przecięcia zbiorów domkniętych w całej przestrzeni z tą podprzestrzenią: $ \sF_{\sT|A} = \{B\cap A \subset A\colon B\in\sF_\sT\}. $

Stwierdzenie Dla dowolnego podzbioru $ B\subset A $ zachodzi równość $ \cl_{(A,\sT|A)} (B) = \cl_{(X,\sT)} (B)\cap A $. □

Podobna równość nie zachodzi dla wnętrza zbioru!

Stwierdzenie

  1. Odwzorowanie $ (X',{\cal T}')\to (A,{\cal T}|A) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie $ (X',{\cal T}')\arr {f}  (A,{\cal T}|A) \arr {\iota} (X,{\cal T}) $ jest ciągłe.
  2. Jeśli odwzorowanie $ f:(X,{\cal T}_X) \to (Y,{\cal T}_Y) $ jest ciągłe oraz $ A\subset X $, to obcięcie $ f|A : (A,{\cal T}_X|A)\to (Y,{\cal T}_Y) $ też jest ciągłe. □

Odnotujmy zachowanie poznanych własności topologii przy przechodzeniu do podprzestrzeni (tzw. dziedziczność własności):

Stwierdzenie (#)

  1. Podprzestrzeń przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią Hausdorffa.

  2. Jeśli przestrzeń topologiczna spełnia I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności), to dowolna jej podprzestrzeń też spełnia I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności).
  3. Dowolna podprzestrzeń przestrzeni metryzowalnej jest metryzowalna. Jeśli $ (X,d) $ jest przestrzenią metryczną oraz $ A\subset X $, to zachodzi równość topologii $ \sT (d)|A = \sT (d|A) $.
  4. Dowolna podprzestrzeń ośrodkowej przestrzeni metryzowalnej jest ośrodkowa. □
Dowód: Dowody punktów 1-3 wynikają bezpośrednio z definicji. Żeby pokazać, że podprzestrzeń ośrodkowej przestrzeni metryzowalnej jest ośrodkowa przypomnijmy, że dla przestrzeni metryzowalnej ośrodkowośc pociąga spełnianie II aksjomatu przeliczalności, a zatem na mocy punktu 2. podprzestrzeń również spełnia II aksjomat przeliczalności, czyli w szczególności jest ośrodkowa. □
Przykład Podprzestrzeń przestrzeni ośrodkowej nie musi być ośrodkowa (np. oś $ y=0 $ na płaszczyźnie Niemyckiego). Wynika stąd także, że topologia płaszczyzny Niemyckiego nie jest metryzowalna.