W tym rozdziale zajmiemy się topologią zamkniętych powierzchni, a więc przestrzeni zwartych, lokalnie homeomorficznych z płaszczyzną 
. Dokładniej:
Definicja Powierzchnią (lub rozmaitością 2-wymiarową) nazywamy przestrzeń Hausdorffa posiadającą przeliczalną bazę taka, że każdy jej punkt posiada otoczenie otwarte homeomorficzne z podzbiorem otwartym płaszczyzny (równoważnie z płaszczyzną ). Powierzchnią zamkniętą nazywamy powierzchnię, która jest przestrzenią zwartą.
(równoważnie z płaszczyzną ). Powierzchnią zamkniętą nazywamy powierzchnię, która jest przestrzenią zwartą. Nasze dalsze rozważania ograniczymy do poznanych przykładów powierzchni zwartych, czyli: sfery, torusa , płaszczyzny rzutowej , butelki Kleina i wykażemy, że żadne dwie z nich nie są homeomorficzne.