Niech dana będzie rodzina przestrzeni topologicznych . Zaczniemy od przypomnienia definicji produktu (iloczynu) kartezjańskiego zbiorów.

![]() |
wraz z rodziną rzutowań na współrzędne gdzie
Formalnie, punkty produktu kartezjańskiego są funkcjami określonymi na zbiorze indeksów . Funkcję
można zapisać jako rodzinę jej wartości
, tak więc punkty w iloczynie kartezjańskim to indeksowane rodziny
gdzie
, co nawiązuje do dobrze znanego zapisu elementów iloczynu kartezjańskiego indeksowanego liczbami naturalnymi jako ciągów
.



![]() |
wraz z (ciągłymi) odwzorowaniami
Z definicji topologii generowanej przez rodzinę przekształceń wynika natychmiast następujące:
- Topologia iloczynu kartezjańskiego jest generowana przez zbiory postaci
gdzie
dla
oraz
.
- Jeśli dla każdego
wybrana jest baza
topologii
, to bazę iloczynu kartezjańskiego tworzą zbiory postaci
gdzie
dla
poza pewnym skończonym zbiorem indeksów
oraz
. □



- Odwzorowanie
jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy współrzędne odwzorowania
, czyli zdefiniowane dla każdego
złożenia
są ciągłe.
- Dla rodziny odwzorowań ciągłych
istnieje dokładnie jedno odwzorowanie ciągłe
takie, że dla każdego
współrzędna
.
Wykorzystamy Stw. [link] aby wykazać iż przestrzenie są homeomorficzne z podprzestrzeniami produktu kartezjańskiego
. Wybierając punkt dowolny punkt
dla każdego
definiujemy odwzorowanie zbiorów
![]() |





Podobnie jak poprzednio zbadamy zachowanie poznanych własności topologii ze wzgledu na produkty kartezjańskie.









Niech
będzie przeliczalną rodziną przestrzeni spełniajacych II (odp. I) aksjomat przeliczalności. Wybierając bazy przeliczalne
w przestrzeniach, wykonując konstrukcję opisaną w Stw. [link] otrzymujemy przeliczalną bazę produktu kartezjańskiego (odp. bazę w punkcie). □









Niech teraz i dla każdej przestrzeni
niech
będą rozłącznymi niepustymi podzbiorami otwartymi. Wykażemy, że
. Niech
będzie przeliczalnym podzbiorem gęstym;
. Wykażemy, iż
jesli
. Istotnie, dla dowolnych
wybierzmy element
. Z definicji wynika, że
, ale
. Wynika stąd, że przyporzadkowanie
jest injekcją, a więc
.
Załóżmy, że mamy rodzinę przestrzeni ośrodkowych indeksowanych liczbami rzeczywistymi
i niech
będzie przekształceniem przeliczalnej przestrzeni dyskretnej (liczb naturalnych) na przeliczalny podzbiór gęsty w
Obraz produktu kartezjańskiego tych odwzorowań
jest podzbiorem gęstym. Wystarczy zatem wskazć przeliczalny podzbiór gęsty w przestrzeni
. Przypomnijmy, że elementy iloczynu kartezjańskiego to odwzorowania
. Wybierając dowolną rodzinę rozłącznych odcinków domkniętych o końcach wymiernych
i ciąg liczb naturalnych
definiujemy funkcję:
![]() |
Zbiór funkcji postaci jest przeliczalny oraz jest gęsty w
. Wystarczy wykazać, że dowolny zbiór bazowy zawiera taką funkcję. Zbiory bazowe opisane w Stw. [link] są postaci
gdzie
są różnymi liczbami rzeczywistymi oraz
. Wybierając odcinki rozłączne o końcach wymiernych
otrzymujemy funkcję
. □













Odwrotnie, jeśli produkt kartezjański jest przestrzenią Hausdorffa, to dowolna podprzestrzeń jest przestrzenią Hausdorffa, a zatem dla każdego
przestrzeń
jest przestrzenią Hausdorffa. □






Jeśli nieprzeliczalnie wiele przestrzeni występujących w rodzinie ma więcej niż jeden punkt, to na mocy Stw. [link]
nie ma bazy przeliczalnej w żadnym punkcie, a więc nie jest metryzowalna, bowiem dowolna przestrzeń metryzowalna spełnia I aksjomat przeliczalności (p. Przykład [link]).
Niech
będzie przeliczalną rodziną przestrzeni metrycznych. W zbiorze
definiujemy metrykę:
![]() |
gdzie Zauważmy, że ''obcięcie'' metryk
jest konieczne, aby zapewnić zbieżność szeregu. W przypadku skończonego produktu
można metrykę zdefiniować prościej:
![]() |
Trzeba wykazać, że topologia zdefiniowana w przez metrykę
jest identyczna z topologią produktową. Patrz BCPP Tw. 1.5.2. □