Produkt kartezjański | Portal Dydaktyczny dla Matematyków

Niech dana będzie rodzina przestrzeni topologicznych $\{(X_s,\sT_s)\}_{s\in S}$ . Zaczniemy od przypomnienia definicji produktu (iloczynu) kartezjańskiego zbiorów.

Definicja Produktem (lub iloczynem) kartezjańskim rodziny zbiorów $\{X_s\}_{s\in S}$ nazywamy zbiór:

$\prod\limits_{s\in S}X_s :=\{\phi :S\to \bigcup\limits_{s\in S}X_s\, |\, \forall_{s\in S}\,\phi (s)\in X_s\}$

wraz z rodziną rzutowań na współrzędne ${\frak p} := \{\prod\limits_{s\in S}X_s \arr{p_t} X_t\}_{t\in S}$ gdzie $p_t( \{x_s\}_{s\in S}) := x_t$

Formalnie, punkty produktu kartezjańskiego są funkcjami określonymi na zbiorze indeksów $S$ . Funkcję $\phi$ można zapisać jako rodzinę jej wartości $\{\phi (s)\}_{s\in S}$ , tak więc punkty w iloczynie kartezjańskim to indeksowane rodziny $\{x_s\}_{s\in S}$ gdzie $x_s\in X_s$ , co nawiązuje do dobrze znanego zapisu elementów iloczynu kartezjańskiego indeksowanego liczbami naturalnymi jako ciągów $(x_1,x_2,..)$ .

Definicja (#) Produktem (lub iloczynem) kartezjańskim rodziny przestrzeni topologicznych nazywamy zbiór $\{X_s\}_{s\in S}$ wyposażony w topologię $\sT^*({\frak p})$ przeciągnietą przez rodzinę projekcji ${\frak p}$

$\prod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) := (\prod\limits_{s\in S}X_s , \sT^*({\frak p}))$

wraz z (ciągłymi) odwzorowaniami $(\prod\limits_{s\in S}X_s , \sT^*({\frak p}))\arr {p_t} (X,\sT_t).$

Z definicji topologii generowanej przez rodzinę przekształceń wynika natychmiast następujące:

Stwierdzenie (#)

Topologia iloczynu kartezjańskiego jest generowana przez zbiory postaci

$p_t^{-1}(U_t)= \prod\limits_{s\in S} U_s \subset \prod\limits_{s\in S} X_s$

gdzie $U_s = X_s$ dla $s\neq t$ oraz $U_t\in\sT_t$ .
Jeśli dla każdego $s\in S$ wybrana jest baza $\sB_s$ topologii $\sT_s$ , to bazę iloczynu kartezjańskiego tworzą zbiory postaci

$\langle U_{s_1},..,U_{s_n}\rangle := p_{s_1}^{-1}(U_{s_1})\cap\dots p_{s_n}^{-1}(U_{s_n}) = \prod\limits_{s\in S} U_s \subset \prod\limits_{s\in S} X_s$

gdzie $U_s = X_s$ dla $s$ poza pewnym skończonym zbiorem indeksów $\{s_1,..,s_n\}$ oraz $U_{s_i}\in\sB_{s_i}$ . □

Stwierdzenie Rzutowania $(\prod\limits_{s\in S}X_s , \sT^*({\frak p}))\arr {p_t} (X,\sT_t)$ są odwzorowaniami otwartymi tzn. obrazy zbiorów otwartych są otwarte.

Dowód: Wystarczy pokazać, że obrazy zbiorów z pewnej bazy topologii $\sT^*({\frak p})$ są otwarte, co wynika ze Stw. [link] oraz faktu, że $p_t( \prod\limits_{s\in S} U_s) = U_t$ . □

Stwierdzenie [Produkty kartezjańskie odwzorowań](#)

Odwzorowanie $f: (Y,{\cal T}_Y)\to \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s)$ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy współrzędne odwzorowania $f$ , czyli zdefiniowane dla każdego $t\in S$ złożenia $(Y,{\cal T}_Y)\arr {f}\prod\limits_{s\in S} (X_s,\sT_s) \arr{p_t} (X_t,{\cal T}_t)$ są ciągłe.
Dla rodziny odwzorowań ciągłych $\{(Y,\sT_Y)\arr{f_s} (X_s,\sT_s)\}_{s\in S}$ istnieje dokładnie jedno odwzorowanie ciągłe $(Y,\sT_Y)\arr{f}\prod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s)$ takie, że dla każdego $s\in S$ współrzędna $p_s\circ f = f_s$ .

Dowód: Dowód wynika natychmiast z definicji topologii iloczynu kartezjańskiego i Stw. [link]. □

Wykorzystamy Stw. [link] aby wykazać iż przestrzenie $(X_s,\sT_s)$ są homeomorficzne z podprzestrzeniami produktu kartezjańskiego $\prod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s)$ . Wybierając punkt dowolny punkt $x^0\in \prod X_s$ dla każdego ${t\in S}$ definiujemy odwzorowanie zbiorów $\iota_t\colon X_t\to \prod\limits_{s\in S} X_s:$

$\iota_t (x_t)_s = \begin{cases} x_t\,\text{jeśli}\, s=t\\ x_s^0 \,\text{jeśli}\, s\neq t \end{cases}$

Lemat (#) Odwzorowanie $\iota_t\colon (X_t,\sT_t)\to \prod (X_s,\sT_s)$ jest ciągłe i zadaje homeomorfzim $\iota_t\colon (X_t,\sT_t)\arr {\simeq} (i_t(X_t), \sT|i_t(X_t)),$ gdzie $\sT$ oznacza topologię produktową w $\prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s).$

Dowód: Żeby sprawdzić, że odwzorowanie jest ciągłe wystarczy sprawdzić, że złożenia z rzutowaniami $\prod (X_s,\sT_s)\arr {p_s} (X_s,\sT_s)$ są ciągłe. Istotnie z definicji: $p_t\circ \iota_t = id_{X_t}$ natomiast dla $s\neq t,\, p_s\circ \iota_t = x_s^0$ jest odwzorowaniem stałym. Odwzorowaniem odwrotnym do $\iota_t$ jest obcięcie rzutowania $p_t\colon \iota (X_t)\to X_t$ .□

Podobnie jak poprzednio zbadamy zachowanie poznanych własności topologii ze wzgledu na produkty kartezjańskie.

Stwierdzenie (#) Produkt kartezjański $\prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s)$ przestrzeni Hausdorffa spełnia I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ${s\in S}$ przestrzeń $(X_s,{\cal T}_s)$ spełnia I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności) oraz wszystkie zbiory $X_s$ , poza przeliczalną liczbą są jednopunktowe.

Dowód: $\implies$ Jeśli $\prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s)$ spełnia I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności) to dowolna podprzestrzeń, a zatem przestrzenie $(X_s,\sT_s)$ spełniają I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności). Jeśli zbiór $S$ jest nieprzeliczalny oraz $|X_s|>2$ , to stosując Lemat [link] stwierdzamy, że z bazy w punkcie (odp. bazy) opisanej w Stw. [link] nie da się wybrać bazy przeliczalnej.

$\impliedby$ Niech $(X_i,\sT_i)$ będzie przeliczalną rodziną przestrzeni spełniajacych II (odp. I) aksjomat przeliczalności. Wybierając bazy przeliczalne $\sB_i\subset\sT_i$ w przestrzeniach, wykonując konstrukcję opisaną w Stw. [link] otrzymujemy przeliczalną bazę produktu kartezjańskiego (odp. bazę w punkcie). □

Stwierdzenie Produkt kartezjański $\prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s)$ przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią ośrodkową wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ${s\in S}$ przestrzeń $(X_s,{\cal T}_s)$ jest ośrodkowa oraz co najwyżej $2^{\aleph_0}$ spośród przestrzeni $(X_s,{\cal T}_s)$ ma więcej niż jeden punkt.

Dowód: $\implies$ Jeśli $\prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s)$ jest ośrodkowa to dla każdego ${s\in S}$ przestrzeń $(X_s,{\cal T}_s)$ jest ośrodkowa jako obraz ciągły przestrzeni ośrodkowej (p. Stw. [link]).

Niech teraz $T:=\{t\in S\, |\, |X_t|\geq 2\}$ i dla każdej przestrzeni $X_t$ niech $U_t,\, V_t\in\sT_t$ będą rozłącznymi niepustymi podzbiorami otwartymi. Wykażemy, że $|T|\leq 2^{\aleph_0}$ . Niech $G\subset \prod\limits_{s\in S} X_s$ będzie przeliczalnym podzbiorem gęstym; $\forall_{t\in T}\, G^t := G\cap \langle U_t\rangle$ . Wykażemy, iż $G^t \neq G^r$ jesli $r\neq t$ . Istotnie, dla dowolnych $r,t\in T$ wybierzmy element $d(r,t)\in G\cap\langle U_r, V_t \rangle = D\cap\langle U_r\rangle\cap\langle V_t \rangle$ . Z definicji wynika, że $d(r,t)\in G^r$ , ale $d(r,t)\notin G^t$ . Wynika stąd, że przyporzadkowanie $T\ni t \rightsquigarrow G^t\in \sP(G)$ jest injekcją, a więc $|T|\le |\sP(G)|\le 2^{\aleph_0}$ .

$\impliedby$ Załóżmy, że mamy rodzinę przestrzeni ośrodkowych indeksowanych liczbami rzeczywistymi $\{(X_r,\sT_r)\}_{r\in\R}$ i niech $\forall_{r\in\R}\, \iota_r\colon (\N,\sT_\delta)\to (X_r,\sT_r)$ będzie przekształceniem przeliczalnej przestrzeni dyskretnej (liczb naturalnych) na przeliczalny podzbiór gęsty w $X_r.$ Obraz produktu kartezjańskiego tych odwzorowań $\prod\limits_{r\in\R}\iota_r\colon\prod\limits_{r\in\R} \N \to \prod\limits_{r\in\R} X_r$ jest podzbiorem gęstym. Wystarczy zatem wskazć przeliczalny podzbiór gęsty w przestrzeni $\prod\limits_{r\in\R} (\N,\sT_\delta)$ . Przypomnijmy, że elementy iloczynu kartezjańskiego to odwzorowania $\phi\colon\R\to\N$ . Wybierając dowolną rodzinę rozłącznych odcinków domkniętych o końcach wymiernych $[p_{\cdot},q_{\cdot}]:=\{ [p_1,q_1],..,[p_k,q_k] \}$ i ciąg liczb naturalnych $n_{\cdot} := \{ n_1,...,n_k\}$ definiujemy funkcję:

$\phi_{([p_{\cdot},q_{\cdot}],n_{\cdot}) }(r) = \begin{cases} n_i\,\text{jeśli}\, r\in [p_i,q_i]\\ 0 \,\,\text{jeśli}\, r\notin \bigcup [p_i,q_i]\end{cases}$

Zbiór funkcji postaci $\phi_{([p_{\cdot},q_{\cdot}],n_{\cdot}) }$ jest przeliczalny oraz jest gęsty w $\prod\limits_{r\in\R} (\N,\sT_\delta)$ . Wystarczy wykazać, że dowolny zbiór bazowy zawiera taką funkcję. Zbiory bazowe opisane w Stw. [link] są postaci $U(r_1,..,r_k; n_1,...,n_k) :=\{\psi\colon \R\to\N\,|\, \psi (r_i) = n_i\}$ gdzie $r_i\in\R$ są różnymi liczbami rzeczywistymi oraz $n_i\in\N$ . Wybierając odcinki rozłączne o końcach wymiernych $[p_i,q_i]\ni r_i$ otrzymujemy funkcję $\phi_{([p_{\cdot},q_{\cdot}],n_{\cdot}) }\in U(r_1,..,r_k; n_1,...,n_k)$ . □

Stwierdzenie (#) Produkt kartezjański $\prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s)$ jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ${s\in S}$ przestrzeń $(X_s,{\cal T}_s)$ ma wlasność Hausdorffa.

Dowód: $\implies$ Jeśli dwa punkty $x=\{x_s\}_{s\in S},\, y=\{y_s\}_{s\in S}$ są różne to istnieje $t\in S$ takie, że $x_t\neq y_t$ . Wybierzmy w przestrzeni $X_t$ otoczenia rozłączne $U_{x_t}\ni x_t$ oraz $U_{y_t}\ni y_t.$ Zbiory $\langle U_{x_t}\rangle\ni x$ oraz $\langle U_{y_t}\rangle\ni y$ są rozłącznymi otoczeniami $x,y$ (oznaczenia p. [link]).

$\impliedby$ Odwrotnie, jeśli produkt kartezjański jest przestrzenią Hausdorffa, to dowolna podprzestrzeń jest przestrzenią Hausdorffa, a zatem dla każdego ${s\in S}$ przestrzeń $(X_s,\sT_s)$ jest przestrzenią Hausdorffa. □

Twierdzenie Produkt kartezjański niepustych przestrzeni $\prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s)$ jest przestrzenią metryzowalną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ${s\in S}$ przestrzeń $(X_s,{\cal T}_s)$ jest metryzowalna i wszystkie one, poza przeliczalną liczbą są jednopunktowe.

Dowód: $\implies$ Jeśli $\prod (X_s, {\cal T}_s)$ jest przestrzenią metryzowalna, to dowolna jej podprzestrzeń, a zatem każda przestrzeń $(X_s,\sT_s)$ jest metryzowalna.

Jeśli nieprzeliczalnie wiele przestrzeni występujących w rodzinie $\{(X_s,\sT_s)\}_{s\in S}$ ma więcej niż jeden punkt, to na mocy Stw. [link] $\prod\limits_{s\in S} (X_s,\sT_s)$ nie ma bazy przeliczalnej w żadnym punkcie, a więc nie jest metryzowalna, bowiem dowolna przestrzeń metryzowalna spełnia I aksjomat przeliczalności (p. Przykład [link]).

$\impliedby$ Niech $\{(X_i,d_i)\}_{i=1}^{\infty}$ będzie przeliczalną rodziną przestrzeni metrycznych. W zbiorze $\prod\limits_{i=1}^\infty X_i$ definiujemy metrykę:

$d'(x,y) := \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}d'(x_i,y_i)$

gdzie $d'_i(x_i,y_i) := \min (d_i(x_i,y_i),1).$ Zauważmy, że ''obcięcie'' metryk $d_i$ jest konieczne, aby zapewnić zbieżność szeregu. W przypadku skończonego produktu $(X_1,d_1)\times\dots\times (X_k,d_k),$ można metrykę zdefiniować prościej:

$d(x,y) := \sum\limits_{i=1}^k d(x_i,y_i)$

Trzeba wykazać, że topologia zdefiniowana w $\prod\limits_{i=1}^\infty X_i$ przez metrykę $d'$ jest identyczna z topologią produktową. Patrz BCPP Tw. 1.5.2. □