Produkt kartezjański

Niech dana będzie rodzina przestrzeni topologicznych $ \{(X_s,\sT_s)\}_{s\in S} $ . Zaczniemy od przypomnienia definicji produktu (iloczynu) kartezjańskiego zbiorów.

Definicja Produktem (lub iloczynem) kartezjańskim rodziny zbiorów $ \{X_s\}_{s\in S} $ nazywamy zbiór:

$$\prod\limits_{s\in S}X_s :=\{\phi :S\to \bigcup\limits_{s\in S}X_s\, |\, \forall_{s\in S}\,\phi (s)\in X_s\} $$

wraz z rodziną rzutowań na współrzędne $ {\frak p} := \{\prod\limits_{s\in S}X_s \arr{p_t} X_t\}_{t\in S} $ gdzie $ p_t( \{x_s\}_{s\in S}) := x_t $

Formalnie, punkty produktu kartezjańskiego są funkcjami określonymi na zbiorze indeksów $ S $. Funkcję $ \phi $ można zapisać jako rodzinę jej wartości $ \{\phi (s)\}_{s\in S} $, tak więc punkty w iloczynie kartezjańskim to indeksowane rodziny $ \{x_s\}_{s\in S} $ gdzie $ x_s\in X_s $, co nawiązuje do dobrze znanego zapisu elementów iloczynu kartezjańskiego indeksowanego liczbami naturalnymi jako ciągów $ (x_1,x_2,..) $.

Definicja (#) Produktem (lub iloczynem) kartezjańskim rodziny przestrzeni topologicznych nazywamy zbiór $ \{X_s\}_{s\in S} $ wyposażony w topologię $  \sT^*({\frak p}) $ przeciągnietą przez rodzinę projekcji $ {\frak p} $

$$\prod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) := (\prod\limits_{s\in S}X_s , \sT^*({\frak p}))$$

wraz z (ciągłymi) odwzorowaniami $ (\prod\limits_{s\in S}X_s , \sT^*({\frak p}))\arr {p_t} (X,\sT_t). $

Z definicji topologii generowanej przez rodzinę przekształceń wynika natychmiast następujące:

Stwierdzenie (#)

  1. Topologia iloczynu kartezjańskiego jest generowana przez zbiory postaci
    $$p_t^{-1}(U_t)= \prod\limits_{s\in S} U_s \subset \prod\limits_{s\in S} X_s$$

    gdzie $ U_s = X_s $ dla $ s\neq t $ oraz $ U_t\in\sT_t $.

  2. Jeśli dla każdego $ s\in S $ wybrana jest baza $ \sB_s $ topologii $ \sT_s $, to bazę iloczynu kartezjańskiego tworzą zbiory postaci
    $$\langle U_{s_1},..,U_{s_n}\rangle := p_{s_1}^{-1}(U_{s_1})\cap\dots p_{s_n}^{-1}(U_{s_n}) = \prod\limits_{s\in S} U_s \subset \prod\limits_{s\in S} X_s$$

    gdzie $ U_s = X_s $ dla $ s $ poza pewnym skończonym zbiorem indeksów $ \{s_1,..,s_n\} $ oraz $ U_{s_i}\in\sB_{s_i} $. □

Stwierdzenie Rzutowania $ (\prod\limits_{s\in S}X_s , \sT^*({\frak p}))\arr {p_t} (X,\sT_t) $ są odwzorowaniami otwartymi tzn. obrazy zbiorów otwartych są otwarte.
Dowód: Wystarczy pokazać, że obrazy zbiorów z pewnej bazy topologii $  \sT^*({\frak p}) $ są otwarte, co wynika ze Stw. [link] oraz faktu, że $ p_t( \prod\limits_{s\in S} U_s) = U_t $. □
Stwierdzenie [Produkty kartezjańskie odwzorowań](#)

  1. Odwzorowanie $ f: (Y,{\cal T}_Y)\to \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy współrzędne odwzorowania $ f $, czyli zdefiniowane dla każdego $ t\in S $ złożenia $ (Y,{\cal T}_Y)\arr {f}\prod\limits_{s\in S} (X_s,\sT_s)  \arr{p_t} (X_t,{\cal T}_t) $ są ciągłe.
  2. Dla rodziny odwzorowań ciągłych $ \{(Y,\sT_Y)\arr{f_s} (X_s,\sT_s)\}_{s\in S} $ istnieje dokładnie jedno odwzorowanie ciągłe $ (Y,\sT_Y)\arr{f}\prod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s)  $ takie, że dla każdego $ s\in S $ współrzędna $  p_s\circ f = f_s $.
Dowód: Dowód wynika natychmiast z definicji topologii iloczynu kartezjańskiego i Stw. [link]. □

Wykorzystamy Stw. [link] aby wykazać iż przestrzenie $ (X_s,\sT_s) $ są homeomorficzne z podprzestrzeniami produktu kartezjańskiego $ \prod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) $. Wybierając punkt dowolny punkt $ x^0\in \prod X_s $ dla każdego $ {t\in S} $ definiujemy odwzorowanie zbiorów $ \iota_t\colon X_t\to \prod\limits_{s\in S} X_s: $

$$\iota_t (x_t)_s = \begin{cases} x_t\,\text{jeśli}\, s=t\\ x_s^0 \,\text{jeśli}\, s\neq t \end{cases}$$
Lemat (#) Odwzorowanie $ \iota_t\colon (X_t,\sT_t)\to \prod (X_s,\sT_s) $ jest ciągłe i zadaje homeomorfzim $ \iota_t\colon (X_t,\sT_t)\arr {\simeq} (i_t(X_t), \sT|i_t(X_t)), $ gdzie $ \sT $ oznacza topologię produktową w $ \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s). $
Dowód: Żeby sprawdzić, że odwzorowanie jest ciągłe wystarczy sprawdzić, że złożenia z rzutowaniami $ \prod (X_s,\sT_s)\arr {p_s} (X_s,\sT_s) $ są ciągłe. Istotnie z definicji: $ p_t\circ \iota_t = id_{X_t} $ natomiast dla $ s\neq t,\, p_s\circ \iota_t = x_s^0 $ jest odwzorowaniem stałym. Odwzorowaniem odwrotnym do $ \iota_t $ jest obcięcie rzutowania $ p_t\colon \iota (X_t)\to X_t $.□

    

Podobnie jak poprzednio zbadamy zachowanie poznanych własności topologii ze wzgledu na produkty kartezjańskie.

Stwierdzenie (#) Produkt kartezjański $ \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) $ przestrzeni Hausdorffa spełnia I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ {s\in S} $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ spełnia I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności) oraz wszystkie zbiory $ X_s $, poza przeliczalną liczbą są jednopunktowe.
Dowód: $ \implies $ Jeśli $ \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) $ spełnia I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności) to dowolna podprzestrzeń, a zatem przestrzenie $ (X_s,\sT_s) $ spełniają I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności). Jeśli zbiór $ S $ jest nieprzeliczalny oraz $ |X_s|>2 $, to stosując Lemat [link] stwierdzamy, że z bazy w punkcie (odp. bazy) opisanej w Stw. [link] nie da się wybrać bazy przeliczalnej.

$ \impliedby $ Niech $ (X_i,\sT_i) $ będzie przeliczalną rodziną przestrzeni spełniajacych II (odp. I) aksjomat przeliczalności. Wybierając bazy przeliczalne $ \sB_i\subset\sT_i $ w przestrzeniach, wykonując konstrukcję opisaną w Stw. [link] otrzymujemy przeliczalną bazę produktu kartezjańskiego (odp. bazę w punkcie). □

Stwierdzenie Produkt kartezjański $ \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) $ przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią ośrodkową wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ {s\in S} $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ jest ośrodkowa oraz co najwyżej $ 2^{\aleph_0} $ spośród przestrzeni $ (X_s,{\cal T}_s) $ ma więcej niż jeden punkt.
Dowód: $ \implies $ Jeśli $ \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) $ jest ośrodkowa to dla każdego $ {s\in S} $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ jest ośrodkowa jako obraz ciągły przestrzeni ośrodkowej (p. Stw. [link]).

Niech teraz $ T:=\{t\in S\, |\, |X_t|\geq 2\} $ i dla każdej przestrzeni $ X_t $ niech $ U_t,\, V_t\in\sT_t $ będą rozłącznymi niepustymi podzbiorami otwartymi. Wykażemy, że $ |T|\leq 2^{\aleph_0} $. Niech $ G\subset \prod\limits_{s\in S} X_s $ będzie przeliczalnym podzbiorem gęstym; $ \forall_{t\in T}\, G^t := G\cap \langle U_t\rangle $. Wykażemy, iż $ G^t \neq G^r $ jesli $ r\neq t $. Istotnie, dla dowolnych $ r,t\in T $ wybierzmy element $ d(r,t)\in G\cap\langle U_r, V_t \rangle = D\cap\langle U_r\rangle\cap\langle V_t \rangle $. Z definicji wynika, że $ d(r,t)\in G^r $, ale $ d(r,t)\notin G^t $. Wynika stąd, że przyporzadkowanie $ T\ni t \rightsquigarrow G^t\in \sP(G) $ jest injekcją, a więc $ |T|\le |\sP(G)|\le 2^{\aleph_0} $.

$ \impliedby $ Załóżmy, że mamy rodzinę przestrzeni ośrodkowych indeksowanych liczbami rzeczywistymi $ \{(X_r,\sT_r)\}_{r\in\R} $ i niech $ \forall_{r\in\R}\, \iota_r\colon (\N,\sT_\delta)\to (X_r,\sT_r) $ będzie przekształceniem przeliczalnej przestrzeni dyskretnej (liczb naturalnych) na przeliczalny podzbiór gęsty w $ X_r. $ Obraz produktu kartezjańskiego tych odwzorowań $ \prod\limits_{r\in\R}\iota_r\colon\prod\limits_{r\in\R} \N \to \prod\limits_{r\in\R} X_r $ jest podzbiorem gęstym. Wystarczy zatem wskazć przeliczalny podzbiór gęsty w przestrzeni $ \prod\limits_{r\in\R} (\N,\sT_\delta) $. Przypomnijmy, że elementy iloczynu kartezjańskiego to odwzorowania $ \phi\colon\R\to\N $. Wybierając dowolną rodzinę rozłącznych odcinków domkniętych o końcach wymiernych $ [p_{\cdot},q_{\cdot}]:=\{ [p_1,q_1],..,[p_k,q_k] \} $ i ciąg liczb naturalnych $ n_{\cdot} := \{ n_1,...,n_k\} $ definiujemy funkcję:

$$\phi_{([p_{\cdot},q_{\cdot}],n_{\cdot}) }(r) = \begin{cases} n_i\,\text{jeśli}\, r\in [p_i,q_i]\\ 0 \,\,\text{jeśli}\,  r\notin \bigcup [p_i,q_i]\end{cases}$$

Zbiór funkcji postaci $ \phi_{([p_{\cdot},q_{\cdot}],n_{\cdot}) } $ jest przeliczalny oraz jest gęsty w $ \prod\limits_{r\in\R} (\N,\sT_\delta) $. Wystarczy wykazać, że dowolny zbiór bazowy zawiera taką funkcję. Zbiory bazowe opisane w Stw. [link] są postaci $ U(r_1,..,r_k; n_1,...,n_k) :=\{\psi\colon \R\to\N\,|\, \psi (r_i) = n_i\} $ gdzie $ r_i\in\R $ są różnymi liczbami rzeczywistymi oraz $ n_i\in\N $. Wybierając odcinki rozłączne o końcach wymiernych $ [p_i,q_i]\ni r_i $ otrzymujemy funkcję $ \phi_{([p_{\cdot},q_{\cdot}],n_{\cdot}) }\in U(r_1,..,r_k; n_1,...,n_k) $. □

Stwierdzenie (#) Produkt kartezjański $ \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) $ jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego $ {s\in S} $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ ma wlasność Hausdorffa.
Dowód: $ \implies $ Jeśli dwa punkty $ x=\{x_s\}_{s\in S},\, y=\{y_s\}_{s\in S} $ są różne to istnieje $ t\in S $ takie, że $ x_t\neq y_t $. Wybierzmy w przestrzeni $ X_t $ otoczenia rozłączne $ U_{x_t}\ni x_t $ oraz $ U_{y_t}\ni y_t. $ Zbiory $ \langle U_{x_t}\rangle\ni x $ oraz $ \langle U_{y_t}\rangle\ni y $ są rozłącznymi otoczeniami $ x,y $ (oznaczenia p. [link]).

$ \impliedby $ Odwrotnie, jeśli produkt kartezjański jest przestrzenią Hausdorffa, to dowolna podprzestrzeń jest przestrzenią Hausdorffa, a zatem dla każdego $ {s\in S} $ przestrzeń $ (X_s,\sT_s) $ jest przestrzenią Hausdorffa. □

Twierdzenie Produkt kartezjański niepustych przestrzeni $ \prod\limits_{s\in S}  (X_s, {\cal T}_s) $ jest przestrzenią metryzowalną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ {s\in S} $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ jest metryzowalna i wszystkie one, poza przeliczalną liczbą są jednopunktowe.
Dowód: $ \implies $ Jeśli $ \prod (X_s, {\cal T}_s) $ jest przestrzenią metryzowalna, to dowolna jej podprzestrzeń, a zatem każda przestrzeń $ (X_s,\sT_s) $ jest metryzowalna.

Jeśli nieprzeliczalnie wiele przestrzeni występujących w rodzinie $ \{(X_s,\sT_s)\}_{s\in S} $ ma więcej niż jeden punkt, to na mocy Stw. [link] $ \prod\limits_{s\in S} (X_s,\sT_s) $ nie ma bazy przeliczalnej w żadnym punkcie, a więc nie jest metryzowalna, bowiem dowolna przestrzeń metryzowalna spełnia I aksjomat przeliczalności (p. Przykład [link]).

$ \impliedby $ Niech $ \{(X_i,d_i)\}_{i=1}^{\infty} $ będzie przeliczalną rodziną przestrzeni metrycznych. W zbiorze $ \prod\limits_{i=1}^\infty X_i $ definiujemy metrykę:

$$d'(x,y) := \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}d'(x_i,y_i)$$

gdzie $ d'_i(x_i,y_i) := \min (d_i(x_i,y_i),1). $ Zauważmy, że ''obcięcie'' metryk $ d_i $ jest konieczne, aby zapewnić zbieżność szeregu. W przypadku skończonego produktu $ (X_1,d_1)\times\dots\times (X_k,d_k), $ można metrykę zdefiniować prościej:

$$d(x,y) := \sum\limits_{i=1}^k d(x_i,y_i)$$

Trzeba wykazać, że topologia zdefiniowana w $ \prod\limits_{i=1}^\infty X_i $ przez metrykę $ d' $ jest identyczna z topologią produktową. Patrz BCPP Tw. 1.5.2. □