Przeciąganie i popychanie topologii

Przeciąganie topologii

Niech $ X $ będzie ustalonym zbiorem a $ {\mathfrak{f}} = \{f_i:X \rightarrow Y_i\}_{i\in I} $ rodziną przekształceń określonych na $ X $ o wartościach w przestrzeniach topologicznych $ (Y_i,{\sT}_i) $.

Definicja $ \sT^*({\frak f}) $ najmniejsza topologia w $ X $, w której ciągłe są wszystkie odwzorowania

$$\{f_i\colon (X,\sT^*({\frak f})) \to (Y_i,\sT_i)\}_{i\in I}.$$
Stwierdzenie Topologia $ \sT^*({\frak f}) $ jest generowana przez rodzinę zbiorów

$$\{f_{i}^{-1} (U_{i})\,|\, U_{i}\in{\cal T}_{i},\, i\in I\}.$$

Bazą topologii $ \sT^*({\frak f}) $ są zbiory $ \{f_{i_1}^{-1} (U_{i_1})\cap ...\cap f_{i_k}^{-1}(U_{i_k})\} $, gdzie $ U_{i_k}\in{\cal T}_{i_k} $, $ k\in \N $.

Stwierdzenie (#) Odwzorowanie $ g:(Z,\sT_Z) \to (X,\sT^*({\frak f})) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ {i\in I} $ złożenie przekształceń  $ (Z,\sT_Z)  \arr g (X,\sT^*({\frak f})) \arr {f_i} (Y_i,\sT_i) $ jest ciągłe.
Dowód: $ \implies $ Z definicji topologii $ \sT^*({\frak f}) $ dowolne odwzorowanie $ f_i $ jest ciągłe, a więc jego złożenie z odwzorowaniem ciągłym $ g $ jest ciągłe.

     $ \impliedby $ Załóżmy, że wszystkie złożenia $ f_ig $ są przekształceniami ciągłymi. W takim razie dla dowolnego zbioru otwartego $ U_i\in\sT_i $ przeciwobraz $ (f_ig)^{-1}(U_i) = g^{-1}(f_i^{-1} (U_i)) $ jest zbiorem otwartym w $ (Z,\sT_Z) $. Z definicji zbiory postaci $ f_i^{-1} (U_i) $ generują topologię $ \sT^*({\frak f} $, a więc przeciwobraz dowolnego zbioru z tej topologii jest otwarty w $ (Z,\sT_Z) $. □

Popychanie topologii

Niech teraz $ Y $ będzie ustalonym zbiorem a $ {\frak g} := \{g_j:X_j \to Y\}_{j\in J} $ rodziną przekształceń określonych na przestrzeniach topologicznych $ (X_j,{\sT}_j) $ o wartościach w zbiorze $ Y $.

Definicja $ \sT_*({\frak g}) $ największa topologia w $ Y $, w której wszystkie odwzorowania $ \{g_j:X_j \to Y\}_{j\in J} $ są ciągłe.
Stwierdzenie $ \sT_*({\frak g}) =\{U\subseteq Y\,\colon\, \forall_{j\in J}\, g_j^{-1}(U)\in{\cal T}_j\} $
Stwierdzenie (#) Odwzorowanie $ (Y,\sT_*({\frak g})) \arr {f} (Z,\sT_Z) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ {j\in J} $ złożenie $ (X_j,\sT_j) \arr {g_j} (Y,\sT_*({\frak g}))\arr f (Z,\sT_Z) $ jest ciągłe.
Dowód: $ \implies $ Odwzorowania $ g_j $ są ciągle na mocy definicji topologii $ \sT_*({\frak g} $, a więc jeśli $ f $ jest ciągłe to złożenie $ fg_j $ jest ciągłe.

    $ \impliedby $ Żeby pokazać, że $ f $ jest ciągłe trzeba pokazać, żę przeciwobraz $ f^{-1}(V) $ gdzie $ V\in\sT_Z $ jest zbiorem otwartym. W myśl definicji topologii $ \sT_*({\frak g} $ ma to miejsce wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego $ j\in J $ przeciwobraz $ g_j^{-1}(f^{-1}(V)) = (fg_j)^{-1}(V) $ jest zbiorem otwartym w $ (X_j,\sT_j) $, co jest równoważne z ciągłością złożenia $ fg_j $. □