Przestrzeń ilorazowa

Niech $ X $ będzie zbiorem, $ R\subset X\times X $ relacją równoważności w tym zbiorze, a $ q:X\to X/R $ odwzorowaniem przypisującym każdemu elementowi $ x $ jego klasę abstrakcji $ [x]_R := \{y\in X\,\colon (x,y)\in R\} $. Zbiór klas abstrakcji jest podzbiorem zbioru potęgowego $ \sP (X) $. Odwzorowanie $ q:X\to X/R\subset \sP (X) $ jest oczywiście surjekcją. Odwrotnie, dowolna surjekcja zbiorów $ p:X\to Y $ definiuje relację równoważności $ R_p := \{(x',x'')\in X\times X\, |\, p(x') = p(x'')\} $ i odwzorowanie $ p $ wyznacza bijekcję $ \bar p\colon X/R_p \arr {\simeq} Y $. Będziemy więc niżej rozpatrywać surjekcje zbiorów; rzutowanie na zbiór klas abstrakcji będzie szczególnym przypadkiem poniższej konstrukcji, dwoistej w pewnym sensie do poprzedniego przypadku, gdy rozważaliśmy injekcje (włożenia podzbiorów).

Definicja Niech $ (X,\sT) $ będzie przestrzenią topologiczną, a $ p\colon X\to Y $ surjekcją na zbiór $ Y. $ Definiujemy topologię $ \sT_*(p) $ w zbiorze $ Y $ jako największą topologię, w której $ p $ jest ciągłe:

$$ \sT_*(p) = \{V\subset Y\, |\, p^{-1}(V)\in {\cal T}_X\}$$
Stwierdzenie Odwzorowanie $ f\colon (Y,\sT_*(p)) \to (Z,{\cal T}_Z) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie $ (X,{\cal T}_X) \arr p  (Y,\sT_*(p)) \arr f (Z,{\cal T}_Z) $ jest ciągłe.

Spośród poznanych własności topologii jedynie ośrodkowość zachowuje się przy konstrukcji przestrzeni ilorazowej [link].

Przykład [Odcinek z rozdwojonym punktem](#) Przestrzeń ilorazowa przestrzeni Hausdorffa nie musi mieć własności Hausdorffa. Niech $ X:= \{(x_1,x_2)\in\R^2\, |\, -1\leq x_1\leq 1,\, x_2 = 0\,\text{lub}\, 1\} $ z topologią euklidesową, $ Y = [-1,1] \cup \{0'\} $ będzie zbiorem, $ p:X\to Y,\, p(x_1,x_2) := x_1 $ jeśli $ (x_1,x_2)\neq (0,1), \, p(0,1):=0' $. W przestrzeni $ (Y,\sT_*(p)) $ punkty $ 0,0' $ nie posiadają rozłącznych otoczeń (a wszystkie inne pary różnych punktów mają).

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_odc_podw.jpg}}

Przykład Przestrzeń ilorazowa przestrzeni metryzowalnej nie musi być metryzowalna, nawet jeśli jest Hausdorffa. Rozpatrzmy przestrzeń $ \R/\sim $ gdzie $ t_1\sim t_2\,\iff\, t_1=t_2 \,\text{lub}\, t_1,t_2 $ są liczbami całkowitymi. Przestrzeń $ \R/\sim $ jest przestrzenią Hausdorffa nie ma jednak bazy przeliczalnej w punkcie $ [0]\in \R/\sim $, a więc nie spełnia I aksjomatu przeliczalności. Wszystkie inne punkty mają przeliczalną bazę otoczeń, homeomorficznych z otoczeniami euklidesowymi.

     Odwzorowania ilorazowe

Mając daną ciągłą surjekcję $ f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ chcielibysmy czasem wiedzieć, czy topologia $ \sT_Y $ jest zdefiniowana przez odwzorowanie $ f $, co może ułatwić konstruowanie odwzorowań ciągłych określonych na przestrzeni $ (Y,\sT_Y) $.

Definicja Odwzorowanie ciągłe $ f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ nazywa się ilorazowe jeśli jest surjekcją oraz jeśli przeciwobraz $ f^{-1}(V) $ podzbioru $ V\subset Y $ jest otwarty w $ (X,\sT_X) $, to $ V\in\sT_Y $.

Ponieważ ciągłość przekształcenia oznacza, że przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte, więc warunek na to, aby surjekcja $ f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ była przekształceniem ilorazowym mozna wyrazić następująco: $ V\in\sT_Y\,\iff \, f^{-1}(V)\in\sT_X $ lub w terminach zbiorów domknętych: $ B\in\sF_{\sT_Y}\,\iff \, f^{-1}(B)\in\sF_{\sT_X} $.

Definicja Przekształcenie ciagłe $ f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ nazywa się otwarte (odp. domknięte) jeśli obraz dowolnego zbioru otwartego w $  (X,\sT_X) $ jest otwarty (odp. domknięty) w $  (Y,\sT_Y) $.
Stwierdzenie Jeśli $ f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest otwartą lub domkniętą surjekcją, to $ f $ jest przekształceniem ilorazowym.
Dowód: Dowód wynika natychmiast z równości $ f(f^{-1}(A)) = A $, która zachodzi dla dowolnego podzbioru $ A\subset Y $.□