Niech
będzie zbiorem,
relacją równoważności w tym zbiorze, a
odwzorowaniem przypisującym każdemu elementowi
jego klasę abstrakcji
. Zbiór klas abstrakcji jest podzbiorem zbioru potęgowego
. Odwzorowanie
jest oczywiście surjekcją. Odwrotnie, dowolna surjekcja zbiorów
definiuje relację równoważności
i odwzorowanie
wyznacza bijekcję
. Będziemy więc niżej rozpatrywać surjekcje zbiorów; rzutowanie na zbiór klas abstrakcji będzie szczególnym przypadkiem poniższej konstrukcji, dwoistej w pewnym sensie do poprzedniego przypadku, gdy rozważaliśmy injekcje (włożenia podzbiorów).
Definicja Niech

będzie przestrzenią topologiczną, a

surjekcją na zbiór

Definiujemy topologię

w zbiorze

jako największą topologię, w której

jest ciągłe:
Stwierdzenie Odwzorowanie

jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie

jest ciągłe.
Spośród poznanych własności topologii jedynie ośrodkowość zachowuje się przy konstrukcji przestrzeni ilorazowej [link].
Przykład [Odcinek z rozdwojonym punktem]
(#) Przestrzeń ilorazowa przestrzeni Hausdorffa nie musi mieć własności Hausdorffa. Niech

z topologią euklidesową,
![$ Y = [-1,1] \cup \{0'\} $](/sites/default/files/tex/cd3899a397ff40e2e13cd133617c0d8ca4f2360b.png)
będzie
zbiorem,

jeśli

. W przestrzeni

punkty

nie posiadają rozłącznych otoczeń (a wszystkie inne pary różnych punktów mają).
%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_odc_podw.jpg}}
Przykład Przestrzeń ilorazowa przestrzeni metryzowalnej nie musi być metryzowalna, nawet jeśli jest Hausdorffa. Rozpatrzmy przestrzeń

gdzie

są liczbami całkowitymi. Przestrzeń

jest przestrzenią Hausdorffa nie ma jednak bazy przeliczalnej w punkcie
![$ [0]\in \R/\sim $](/sites/default/files/tex/d60c02e1f8b019ccfd851d7a62c10b69042a0af4.png)
, a więc nie spełnia I aksjomatu przeliczalności. Wszystkie inne punkty mają przeliczalną bazę otoczeń, homeomorficznych z otoczeniami euklidesowymi.
Odwzorowania ilorazowe
Mając daną ciągłą surjekcję
chcielibysmy czasem wiedzieć, czy topologia
jest zdefiniowana przez odwzorowanie
, co może ułatwić konstruowanie odwzorowań ciągłych określonych na przestrzeni
.
Definicja Odwzorowanie ciągłe

nazywa się
ilorazowe jeśli jest surjekcją oraz jeśli przeciwobraz

podzbioru

jest otwarty w

, to

.
Ponieważ ciągłość przekształcenia oznacza, że przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte, więc warunek na to, aby surjekcja
była przekształceniem ilorazowym mozna wyrazić następująco:
lub w terminach zbiorów domknętych:
.
Definicja Przekształcenie ciagłe

nazywa się
otwarte (odp.
domknięte) jeśli obraz dowolnego zbioru otwartego w

jest otwarty (odp. domknięty) w

.
Stwierdzenie Jeśli

jest otwartą lub domkniętą surjekcją, to

jest przekształceniem ilorazowym.
Dowód: Dowód wynika natychmiast z równości

, która zachodzi dla dowolnego podzbioru

.□