Przestrzeń ilorazowa | Portal Dydaktyczny dla Matematyków

Niech $X$ będzie zbiorem, $R\subset X\times X$ relacją równoważności w tym zbiorze, a $q:X\to X/R$ odwzorowaniem przypisującym każdemu elementowi $x$ jego klasę abstrakcji $[x]_R := \{y\in X\,\colon (x,y)\in R\}$ . Zbiór klas abstrakcji jest podzbiorem zbioru potęgowego $\sP (X)$ . Odwzorowanie $q:X\to X/R\subset \sP (X)$ jest oczywiście surjekcją. Odwrotnie, dowolna surjekcja zbiorów $p:X\to Y$ definiuje relację równoważności $R_p := \{(x',x'')\in X\times X\, |\, p(x') = p(x'')\}$ i odwzorowanie $p$ wyznacza bijekcję $\bar p\colon X/R_p \arr {\simeq} Y$ . Będziemy więc niżej rozpatrywać surjekcje zbiorów; rzutowanie na zbiór klas abstrakcji będzie szczególnym przypadkiem poniższej konstrukcji, dwoistej w pewnym sensie do poprzedniego przypadku, gdy rozważaliśmy injekcje (włożenia podzbiorów).

Definicja Niech $(X,\sT)$ będzie przestrzenią topologiczną, a $p\colon X\to Y$ surjekcją na zbiór $Y.$ Definiujemy topologię $\sT_*(p)$ w zbiorze $Y$ jako największą topologię, w której $p$ jest ciągłe:

$\sT_*(p) = \{V\subset Y\, |\, p^{-1}(V)\in {\cal T}_X\}$

Stwierdzenie Odwzorowanie $f\colon (Y,\sT_*(p)) \to (Z,{\cal T}_Z)$ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie $(X,{\cal T}_X) \arr p (Y,\sT_*(p)) \arr f (Z,{\cal T}_Z)$ jest ciągłe.

Spośród poznanych własności topologii jedynie ośrodkowość zachowuje się przy konstrukcji przestrzeni ilorazowej [link].

Przykład [Odcinek z rozdwojonym punktem](#) Przestrzeń ilorazowa przestrzeni Hausdorffa nie musi mieć własności Hausdorffa. Niech $X:= \{(x_1,x_2)\in\R^2\, |\, -1\leq x_1\leq 1,\, x_2 = 0\,\text{lub}\, 1\}$ z topologią euklidesową, $Y = [-1,1] \cup \{0'\}$ będzie zbiorem, $p:X\to Y,\, p(x_1,x_2) := x_1$ jeśli $(x_1,x_2)\neq (0,1), \, p(0,1):=0'$ . W przestrzeni $(Y,\sT_*(p))$ punkty $0,0'$ nie posiadają rozłącznych otoczeń (a wszystkie inne pary różnych punktów mają).

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_odc_podw.jpg}}

Przykład Przestrzeń ilorazowa przestrzeni metryzowalnej nie musi być metryzowalna, nawet jeśli jest Hausdorffa. Rozpatrzmy przestrzeń $\R/\sim$ gdzie $t_1\sim t_2\,\iff\, t_1=t_2 \,\text{lub}\, t_1,t_2$ są liczbami całkowitymi. Przestrzeń $\R/\sim$ jest przestrzenią Hausdorffa nie ma jednak bazy przeliczalnej w punkcie $[0]\in \R/\sim$ , a więc nie spełnia I aksjomatu przeliczalności. Wszystkie inne punkty mają przeliczalną bazę otoczeń, homeomorficznych z otoczeniami euklidesowymi.

Odwzorowania ilorazowe

Mając daną ciągłą surjekcję $f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y)$ chcielibysmy czasem wiedzieć, czy topologia $\sT_Y$ jest zdefiniowana przez odwzorowanie $f$ , co może ułatwić konstruowanie odwzorowań ciągłych określonych na przestrzeni $(Y,\sT_Y)$ .

Definicja Odwzorowanie ciągłe $f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y)$ nazywa się ilorazowe jeśli jest surjekcją oraz jeśli przeciwobraz $f^{-1}(V)$ podzbioru $V\subset Y$ jest otwarty w $(X,\sT_X)$ , to $V\in\sT_Y$ .

Ponieważ ciągłość przekształcenia oznacza, że przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte, więc warunek na to, aby surjekcja $f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y)$ była przekształceniem ilorazowym mozna wyrazić następująco: $V\in\sT_Y\,\iff \, f^{-1}(V)\in\sT_X$ lub w terminach zbiorów domknętych: $B\in\sF_{\sT_Y}\,\iff \, f^{-1}(B)\in\sF_{\sT_X}$ .

Definicja Przekształcenie ciagłe $f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y)$ nazywa się otwarte (odp. domknięte) jeśli obraz dowolnego zbioru otwartego w $(X,\sT_X)$ jest otwarty (odp. domknięty) w $(Y,\sT_Y)$ .

Stwierdzenie Jeśli $f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y)$ jest otwartą lub domkniętą surjekcją, to $f$ jest przekształceniem ilorazowym.

Dowód: Dowód wynika natychmiast z równości $f(f^{-1}(A)) = A$ , która zachodzi dla dowolnego podzbioru $A\subset Y$ .□