PRZESTRZENIE ODWZOROWAŃ CIĄGŁYCH

W obecnym rozdziale, nawiązującym do Rozdziału 4, omawiamy jeszcze jedną konstrukcję przestrzeni topologicznych. Dla ustalonych przestrzeni topologicznych $ (X,\sT_X) $ i $ (Y,\sT_Y) $ rozważamy topologie w zbiorze przekształceń ciągłych $ X\to Y $, oznaczanym $ \Map\, (X,Y) $. Topologie te pozwalają przenieść do kontekstu topologicznego znane z Analizy Matematycznej rodzaje zbieżności ciągów funkcyjnych: punktową, niemal jednostajną i jednostajną. Żeby wyjaśnić pochodzenie tych nazw, zauważmy że pojęcie zbieżności ciągu znane z przestrzeni metrycznych, przenosi się na dowolne przestrzenie topologiczne.

Definicja Niech $ (X,\sT_X) $ będzie dowolną przestrzenią topologiczną, a $ \{x_n\}_{n=1}^\infty $ ciągiem jej elementów. Ciąg $ \{x_n\}_{n=1}^\infty $ zbiega to punktu $ x_0 $ jeśli dla dowolnego otoczenia $ U\ni x_0 $ istnieje liczba $ n_0 $ taka, że dla każdego $ n>n_0,\, x_n\in U $.

Pokażemy, że rodzaje zbieżności ciągów funkcyjnych występujące w Analizie Matematycznej mogą być interpretowane jako zbieżności w sensie topologii zdefiniowanych w przestrzeniach odwzorowań. Przestrzenie odwzorowań odgrywają ogromną rolę w Analizie Matematycznej, Analizie Funkcjonalnej i Matematyce Obliczeniowej, dlatego poświęcamy im osobny rozdział, wykraczający poza program przedmiotu Topologia I na Wydziale MIM UW.