Przestrzenie unormowane

Definicja Przestrzenią unormowaną nazywamy przestrzeń wektorową $ \bV $ nad $ \R $ wyposażoną w normę $ ||\cdot|| :\bV\to \R^+ $ spełniającą warunki:

  1. $ \Vert\vv\Vert = 0\,\iff\, \vv=0 $
  2. $ \Vert\lambda\vv\Vert =|\lambda| \Vert\vv\Vert $
  3. $ \Vert\vv + \ww \Vert\leq \Vert\vv\Vert+ \Vert\ww\Vert $

Norma definiuje metrykę w zbiorze $ \bV $: $ d(\vv,\ww) := \Vert\vv - \ww \Vert $. Jeśli ta metryka jest zupełna, to przestrzeń unormowana nazywa się przestrzenią Banacha ( Stefan Banach (Kraków 1892 -- 1945 Lwów)

Skończenie wymiarowe przestrzenie unormowane

Twierdzenie [Równoważność norm](#) Jeśli $ \bV $ jest skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad $ \R $ to dowolne dwie normy definiują zupełne, równoważne metryki (tzn. wyznaczające tę samą topologię.)

Wybierzmy bazę $ \vv_1,..,\vv_n\in\bV $ i zdefiniujmy normę $ \Vert\vv\Vert_{\sup}:= \sup\{|\lambda_i|\, |\, \vv=  \sum\limits_{j=1}^n\lambda_j\vv_j\}. $ Wykażemy, że dowolna norma $ \Vert\cdot\Vert $ jest równoważna z normą $ \Vert\cdot\Vert_{\infty} $ tzn. istnieją stałe $ B,C >0  $ takie, że $ \forall_{\vv\in\bV}\,\Vert\cdot\Vert\leq B\Vert\vv\Vert_{\sup} $ oraz $ \Vert\vv\Vert_{\sup}\leq C\Vert\vv\Vert $.

Lemat Istnieje $ B>0 $ takie, że $ \forall_{\vv\in\bV}\,\Vert\vv\Vert\leq B\Vert\vv\Vert_{\sup} $, w szczególności odwzorowanie $ \Vert\cdot\Vert\colon \bV\to \R $ jest ciągłe w normie $ \Vert\vv\Vert_{\sup} $.
Dowód: Niech $ \mu:= \max\{\Vert\vv_1\Vert,...,\Vert\vv_n\Vert\}. $

$$  \Vert\vv\Vert = \Vert\sum\limits_{j=1}^n\lambda_j\vv_j\Vert \leq \sum\limits_{j=1}^n|\lambda_j\Vert| \vv_j\Vert \leq \mu\sum\limits_{j=1}^n|\lambda_i|\leq B\Vert\vv\Vert_{\sup},\,\text{gdzie}\quad B:=n\mu$$

Lemat Dowolna kula domknięta w normie $ \Vert\cdot\Vert_{\sup} $, czyli zbiór $ D(\vv,r) := \{\ww\in\bV\, |\, \Vert\ww - \vv\Vert_{\sup}\leq r\} $ jest zbiorem zwartym w topologii $ \sT(d_{\Vert\cdot\Vert_{\sup}}) $.
Dowód: Wystarczy rozważyć kule o środku w punkcie $ \vv=0 $. Odwzorowanie liniowe   $ f:(\R^n,\sT_e) \to (\bV,\sT(d_{\Vert\cdot \Vert}) $ takie, że $ f(\lambda_1,..,\lambda_n)=\sum\limits_{j=1}^n\lambda_i\vv_j $ jest ciągłe na mocy poprzedniego lematu, a więc kula $ D(\vv,r) = f([-r,r]\times ...\times [-r,r]) $ jest zwarta jako obraz zbioru zwartego. □
Lemat Istnieje $ C>0 $ takie, że dla każdego wektora $ {\vv\in\bV} $ zachodzi nierówność $ \Vert\vv\Vert_{\sup}\leq C\Vert\vv\Vert $
Dowód: Niech $ c:=\inf\{\Vert\vv\Vert\, |\, \Vert\vv\Vert_{\sup} = 1\}. $ Ciągłość normy $ \Vert\cdot\Vert $ w normie $ \Vert\cdot\Vert_{\infty} $ oraz zwartość kuli w normie $ \Vert\vv\Vert_{\sup} $ implikują, że $ C>0. $ $ \forall_{\vv\neq 0}\quad \Vert\vv\Vert = \frac{\Vert\vv\Vert}{\Vert\vv\Vert_{\sup}}\Vert\vv\Vert_{\sup}\geq c \Vert\vv\Vert_{\sup} $, a więc $ \Vert\vv\Vert_{\sup}\leq C\Vert\vv\Vert  $, gdzie $ C:=\frac{1}{c} $.□
Dowód:[Dowód twierdzenia o normach] Twierdzenie wynika z lematów 1,3 bowiem jeśli dwie normy $ \Vert\cdot\Vert_1, \Vert\cdot\Vert_2 $ są równoważne, to ciąg jest Cauchy ze względu na normę $ \Vert\cdot\Vert_1 $ wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągiem Cauchy ze względu na normę $ \Vert\cdot\Vert_2, $ a ciąg $ \ww_i\arr {\Vert\cdot\Vert_1} \ww $ jest zbieżny ze względu na normę $ \Vert\cdot\Vert_1 $ do wektora $ \ww $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \ww_i\arr {\Vert\cdot\Vert_2} \ww $

Zauważmy, że zbieżność w sensie normy $ \Vert\cdot\Vert_{\infty} $ oznacza zbieżność współrzędnych wektorów ciągu w wybranej bazie, a na mocy twierdzenia w dowolnej bazie. □

Przestrzenie odwzorowań

Definicja Niech $ (X,\sT) $ będzie przestrzenią topologiczną. Przez $ C(X) $ oznaczamy zbiór h funkcji ciagłych $ f\colon (X,\sT)\to (\R,\sT_e) $, a przez $ C_b(X) $ podzbiór składający się z funkcji ograniczonych. Dla dowolnej funkcji $ f\in C_b(X) $ definiujemy

$$\Vert f\Vert_{\sup} := \sup\{|f(x)|\, |\, x\in X\}.$$
Uwaga Jeśli $ (X,\sT) $ jest zwarta, to $ C_b(X) = C(X) $. Jeśli $ X:=\{1,..,n\} $ to   $ C_b(X) = \R\times..\times\R $, a norma $ \Vert\cdot\Vert_{\sup} $ jest identyczna z normą $ \sup $ wyznaczoną przez bazę kanoniczną $ \R^n $.
Stwierdzenie Dla dowolnej przestrzeni topologicznej $ (X,\sT) $ przestrzeń funkcji $ C_b(X) $ wyposażona w odwzorowanie $ \Vert\cdot\Vert_{\sup}\colon C_b(X)\to\R $ jest przestrzenią Banacha.
Dowód: Przestrzeń funkcji $ C(X) $ jest oczywiście przestrzenią wektorową jeśli położymy: $ (f_1+f_2)(x) := f_1(x)+f_2(x) $ oraz $ (\lambda f)(x) := \lambda f(x) $. To, że odwzorowanie $ \Vert\cdot\Vert_{\sup}\colon C_b(X)\to\R $ jest normą wynika natychmiast z własności wartości bezwzględnej. Pozostaje wykazać, że $ C_b(X) $ z metryką wyznaczoną przez normę $ \Vert\cdot\Vert_{\sup} $ jest zupełna. Niech $ \{f_n\}_{n=1}^{\infty} $ będzie ciągiem Cauchy w $ C_b(X) $. Wynika stąd, że dla każdego $ x\in X $ ciąg wartości $ f_n(x) $ jest ciągiem Cauchy liczb rzeczywistych, a więc ma granicę, którą oznaczymy $ f(x) $. Otrzymujemy w ten sposób funkcję $ f:X\to\R $, która oczywiście jest ograniczona; pozostaje sprawdzić jej ciągłość. Wynika to z następnego, nieco ogólniejszego lematu. □
Lemat Niech $ \{f_n:X\to\R\} $ będzie ciągiem funkcji ciągłych na przestrzeni $ (X,\sT) $, a $ f\colon X\to\R $ taką funkcją, że ciąg $ \sup_{x\in X}|f_n(x) - f(x)| $ jest zbieżny do zera -- (tzn. ciąg $ \{f_n\} $ jest jednostajnie zbieżny do funkcji $ f:X\to\R $). Wtedy $ f $ jest funkcją ciągłą.
Dowód:Niech $ x_0\in X $ i $ \epsilon>0 $. Trzeba wskazać otoczenie $ U\ni x_0 $ takie, że $ \forall_{x\in U} |f(x) - f(x_0)| < \epsilon $. Dla dowolnego $ x\in U $ zachodzi nierówność:

$$|f(x) - f(x_0)| \leq |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)|.$$

Dobierając dostatczenie duże $ n $ zapewnimy, że pierwszy i trzeci składnik bedą dowolnie małe, w szczególności $ \frac 13\epsilon $, dla wszystkich $ x\in X $. Z kolei dzięki ciągłości funkcji $ f_n $ możemy znaleźć otoczenie $ U\ni x_0 $ takie, że $ |f_n(x) - f_n(x_0)|<\frac 13\epsilon $ dla $ x\in U $, co kończy dowód ciągłości $ f $. □

Uwaga Przestrzenie $ C_b(X) $ są na ogół nieskończenie wymiarowe i istnieje w nich wiele norm definiujących nierównoważne i niezupełne metryki. Np. wzór $ \Vert f\Vert_{\int} := \int\limits_{0}^{1} |f(t)|dt $ zadanie normę w przestrzeni $ C([0,1]) $, jednak przestrzeń metryczna $ (C([0,1]),d_{\int}) $ nie jest zupełna a metryki $ d_{\sup}, d_{\int} $ nie są równoważne.

Przestrzenie metryczne w arytmetyce - norma $ p $-adyczna

Stwierdzenie Niech $ p $ będzie liczbą liczba pierwszą. Odwzorowanie $ |\cdot |_p:\Z\to \R, $ $ |m|_p := p^{-\alpha} $ gdzie $ m=p^{\alpha}k,\, (p,k)=1,\, |0|_p=0 $, które nazywa się normą $ p $-adyczną ma nastepujące własności:

  1. $ |n|_p=0\,\iff\, n=0 $
  2. $ |n\cdot m|_p = |n|_p \cdot |m|_p $
  3. $  |n+m|_p\leq |n|_p + |m|_p $ -- nierówność trójkąta
  4. $ |x+y|_p \leq \max (|x|_p,|y|_p) $ -- silna nierówność trójkąta

i wyznacza w $ \Z $ metrykę $ p $-adyczną: $ d_p(n,m) := |n-m|_p. $

Uwaga Zauważmy, że metryka $ d_p $ jest przesuwalna tzn. dla ustalonej liczby $ n_0 $ odwzorowanie $ \tau_{n_0}(m) := n_0 +m $ jest izometrią. Dowolne dwie kule są albo rozłączne, albo jedna jest zawarta w drugiej. Przestrzenie metryczne $ (\Z,d_p) $ nie są zupełne.