Przestrzenie zwarte

Przypomnijmy, że pokryciem zbioru $ X $ nazywamy rodzinę jego podzbiorów $ \{W_s\}_{s\in S} $ której suma mnogościowa jest zbiorem $ X $ tzn. $ \bigcup\limits_{s\in S}W_s = X $. Jeśli $ (X,\sT) $ jest przestrzenią topologiczną, to pokrycie $ \{W_s\}_{s\in S} $ nazywamy otwartym (odp. domkniętym) jeśli wszystkie zbiory $ W_s $ są otwarte (odp. domknięte).

Definicja Przestrzeń topologiczna $ (X,\sT) $ nazywa się zwarta jeśli jest przestrzenią Hausdorffa oraz z dowolnego pokrycia przestrzeni $ X $ zbiorami otwartymi można wybrać pokrycie skończone. Podzbiór $ A\subset X $ nazywa się zwarty jeśli przestrzeń $ (A,\sT|A) $ jest zwarta.

Korzystając z wzorów de Morgana zwartość można także określić w terminach zbiorów domkniętych.

Stwierdzenie (#) Przestrzeń Hausdorffa jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy dowolna rodzina zbiorów domkniętych $ \{F_s\}_{s\in S} $ taka, że dla dowolnego skończonego zbioru wskaźników $ {s_1,\dots ,s_k\in S} $ przecięcie zbiorów $ F_{s_1}\cap\dots\cap F_{s_k} \neq\emptyset $ (zwana wtedy rodziną scentrowaną) cała ma niepuste przecięcie $ \bigcap\limits_{s\in S}F_s\neq\emptyset. $
Dowód: Będziemy dowodzić, że przestrzeń jest niezwarta wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje rodzina scentrowana o pustym przecięciu. Rzeczywiście, przestrzeń jest niezwarta wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje jej pokrycie otwarte $ \rodz{U} $ z którego nie można wybrać podpokrycia skończonego tzn. rodzina zbiorów domkniętych $ \{X\setminus U\, |\, U\in\rodz{U}\} $ ma puste przecięcie i jest scentrowana. Odwrotnie, mając rodzinę scentrowaną zbiorów domkniętych o pustym przecięciu $ \{F_s\}_{s\in S} $ otrzymujemy pokrycie otwarte $ \{X\setminus F_s\}_{s\in S} $ którego nie można wybrać pokrycia skończonego. □

Pożyteczne bywa następujące kryterium zwartości.

Stwierdzenie Jeśli przestrzeń Hausdorffa $ (X,\sT) $ mozna przedstawić jako skończoną sumę jej podzbiorów zwartych, to przestrzeń ta jest zwarta. □

Zwartość, podobnie jak spójność jest zachowywana przez przekształcenia ciągłe.

Stwierdzenie (#) Jeśli $ f:(X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest ciągłą surjekcją z przestrzeni zwartej na przestrzeń Hausdorffa, to $ (Y,\sT_Y) $ jest przestrzenią zwartą. □
Uwaga Założenie o tym, że $ (Y,\sT_Y) $ jest przestrzenią Hausdorffa jest konieczne, bowiem obraz ciągły (a nawet iloraz) przestrzeni zwartej nie musi być przestrzenią Hausdorffa (p. Przykład[link]).