Punktowana homotopia

Jak zobaczymy w dalszych rozdziałach bywa pożyteczne rozpatrywanie przestrzeni topologicznych z wyróżninym punktem i odwzorowań zachowujacych te punkty. Takie sytuacje spotykamy jeśli w przestrzeni występuje struktura algebraiczna (np. przestrzenie wektorowe lub grupy macierzy). Punktem wyróżnionym jest wtedy element neutralny i jest on zachowywany przez homomorfizmy. Dokładniej, punktowaną przestrzenią (lub przestrzenią z wyróżnionym punktem) nazywamy parę $ (X,x_0) $ gdzie $ X $ jest przestrzenią topologiczną (oznaczenie topologii pomijamy), a $ x_0\in X $. Przekształceniem punktowanym nazywamy odwzorowanie punktowanych przestrzeni $ f\colon (X,x_0)\to (Y,y_0) $ takie, że $ f(x_0)=y_0 $.

Definicja (#) Niech $ (X,x_0),\, (Y,y_0) $ będą przestrzeniami z wyróżnionymi punktami. Homotopią punktowaną nazywamy przekształcenie ciągłe $ F\colon X\times [0,1] \to Y $, takie, że dla każdego $ {t\in I} $, $ F(x_0,t)=y_0 $.

Przekształcenia punktowane $ f_0,f_1\colon (X,x_0)\to (Y,y_0) $homotopijne jeśli istnieje punktowana homotopia $ F\colon X\times [0,1] \to Y $ taka, że $ F(-,0)=f_0,\, F(-,1) = f_1 $.

Definicja punktowanej homotopii prowadzi w oczywisty sposób do definicji punktowanej homotopijnej równoważności. Np. włożenie $ j\colon (S^{n-1},e_1)\subset (\R^n\setminus\{0\},e_1) $ jest punktowaną homotopijną równoważnością, gdyż retrakcja $ r\colon (\R^n\setminus\{0\},e_1)\to (S^{n-1},e_1) $ jest przekształceniem punktowanym, $ rj = id_{S^{n-1}} $ oraz $ jr $ i $ id_{\R^n\setminus\{0\}} $ wiąże punktowana homotopia: $ H\colon (\R^n\setminus\{0\})\times [0,1]\to\R^n\setminus\{0\} $ zadana wzorem: $ H(p,t) := (1-t)\frac {p}{||p||} + tp $.

Podobnie jak zwykła homotopia, punktowana homotopia $ \sim  $ jest relacją równoważności w zbiorze przekształceń punktowanych $ \Map_* (X,Y)\subset \Map (X,Y) $. Zbiór klas punktowanej homotopii oznaczamy $ [X,Y]_* := \Map_* (X,Y)/\sim $. Konstrukcje w dowodzie Stw. [link] zachowują homotopie punktowane. Istnieje odwzorowanie zapominania $ \Phi\colon [X,Y]_*\to [X,Y] $ przypisujące klasie homotopii punktowanej odwzorowania jego zwykłą klasę homotopii: $ \Phi [f]_* = [f] $. Odwzorowanie to w ogólności nie musi być ani surjekcją, ani injekcją. Dla odwzorowań w okrąg $ S^1 $ mamy jednak następujące:

Stwierdzenie (#) Dla dowolnej przestrzeni punktowanej $ (X,x_0) $ i punktowanego okręgu $ (S^1,1) $, odwzorowanie $ \Phi\colon [X,S^1]_*\arr {\simeq} [X,S^1] $ jest bijekcją.
Lemat Niech $ z_0\in S^1 $. Odwzorowanie $ f_{z_0}\colon S^1\to S^1,\, f_{z_0}(w) = wz_0 $ jest homotopijne z identycznością.
Dowód: Zdefiniujemy drogę na okręgu łączącą punkty $ 1 $ i $ z_0 $. Zapiszmy punkt $ z_0 $ w postaci trygonometrycznej $ z_0=\cos\alpha + i \sin\alpha $ i zdefiniujmy drogę $ z_0(t) :=\cos t\alpha + i \sin t\alpha $ dla $ t\in [0,1] $ i przy jej pomocy homotopię $ F(w,t) := wz_0(t) $. Homotopią $ F $ łączy przekształcenie $ F(w,0)=w $ z $ F(w,1)= wz_0 $. □
Dowód:[Dowód [link]] Zastosujemy dwukrotnie powyższy lemat.

$ \Phi $ jest surjekcją, bo dowolne $ f\colon X\to S^1 $ jest homotopijne z odwzorowaniem $ g\colon X\to S^1 $ $ g(x) := f(x)f(x_0)^{-1} $ dla którego $ g(x_0)=1 $.

$ \Phi $ jest injekcją. Jeśli $ F\colon X\times I\to Y $ jest homotopią między punktowanymi przekształceniami, to $ G(x,t) := F(x,t)F(x_0,t)^{-1} $ jest punktowaną homotopią. □

Na przestrzeniach punktowanych można wykonywać konstrukcje opisane w Rozdziale 3. Podprzestrzeń przestrzeni punktowanej zawierająca wyróżniony punkt jest oczywiście przestrzenią punktowaną a włożenie przekształceniem punktowanym, przestrzeń ilorazowa jest przestrzenią punktowana - wyróżnionym punktem jest w niej klasa równoważności punktu wyróżnionego. Podobnie produkt kartezjański rodziny przestrzeni z wyróżnionym punktem $ {(X_s,x_s^0)}_{s\in S} $ posiada naturalny punkt wyróżniony $ x^0:=\{x_s^0\}_{s\in S} $, a rzutowania na czynniki są odwzorowaniami punktowanymi. Inaczej jest z konstrukcją sumy prostej; w sumie rozłącznej mamy dwa punkty wyróżnione, które następnie utożsamiamy. Odpowiednik sumy prostej dla przestrzeni punktowanych nazywa się bukietem, co uzasadnia następująca:

Definicja Niech $ (X,x_0)\, (Y,y_0) $ będą przestrzeniami z wyróżnionymi punktami. Bukietem tych przestrzeni nazywamy przestrzeń punktowaną $ X\vee Y := X\sqcup Y /\sim $ gdzie $ (x_0,1)\sim (y_0,2) $ i punktem wyróżnionym jest klasa $ [(x_0,1)]=[ (y_0,2)] $, wyposażoną w włożenia $ j_X\colon X\to X\vee Y $ oraz $ j_Y\colon Y\to X\vee Y $ (por. Definicja [link]}).

Zauważmy, że bukiet $ X\vee Y $ jest homeomorficzny z podzbiorem produktu kartezjańskiego:

$$X\vee Y = \{(x,y)\in X\times Y\colon x=x_0\,\text{lub}\, y=y_0\}.$$

i ten podzbiór bywa przyjmowany za definicję bukietu.

Stwierdzenie (#) Niech $ (Z,z_0) $ będzie przestrzenią z wyróżnionym punktem. Dla dowolnych dwóch przestrzeni Hausdorffa z wyróżnionymi punktami włożenia $ j_X\colon X\subset X\vee Y,\, j_Y\colon Y\subset X\vee Y  $ definiują bijekcję

$$ (j_1^*,j_2^*)\colon [X\vee Y,Z]_*\to [X,Z]_*\times [Y,Z]_*$$
Dowód: Odwzorowanie $  (j_1^*,j_2^*)\colon \Map_* (X\vee Y,Z)\to \Map_*(X,Z)\times \Map_*(Y,Z) $ jest bijekcją, bo przekształcenia $ X\vee Y\to Z $ są wyznaczone przez pary przekształceń $ X\to Z $, $ Y\to Z $ zgodnych w punktach wyróżnionych. Trzeba pokazać, że odwzorowanie to pozostaje bijekcją po przejściu do klas homotopii. Oczywiście pozostaje surjekcją. Niech $ f,g\colon X\vee Y\to Z $ będą dwoma odwzorowaniami takimi, że $ f|X\sim g|X $ oraz $ f|Y\sim g|Y $ i niech $ H_X\colon X\times I\to Z $ oraz $ H_Y\colon Y\times I\to Z $ będą odpowiednimi punktowanymi homotopiami.Definiujemy homotopię $ H\colon (X\vee Y)\times I\to Z $ następująco (traktujemy $ X\vee Y $ jako podzbiór $ X\times Y $):

$$H(x,y,t)=\begin{cases} H_X(x,t)\quad\text{jeśli}\quad y=y_0 \\ H_Y(y,t)\quad\text{jesli}\quad x=x_0\end{cases}$$

Ponieważ homotopie $ H_X $ i $ H_Y $ są punktowane, więc $ H $ jest dobrze określone, a ponieważ podzbiory $ X\times I\subset  (X\vee Y)\times I $ oraz $ Y\times I\subset  (X\vee Y)\times I $ są domknięte (tu korzystamy z własności Hausdorffa!), więc $ H $ jest ciągłe. □

Stwierdzenie (#) Niech $ (S^1,1) $ będzie punktowanym okręgiem. Dla dowolnych dwóch przestrzeni Hausdorffa z wyróżnionymi punktami włożenia $ j_X\colon X\subset X\vee Y,\, j_Y\colon Y\subset X\vee Y  $ definiują bijekcję

$$ (j_1^*,j_2^*)\colon [X\vee Y,S^1]\to [X,S^1]\times [Y,S^1].$$
Dowód: Ze Stw. (#) otrzymujemy bijekcję zbiorów punktowanych klas homotopii $  (j_1^*,j_2^*)\colon [X\vee Y,S^1]_*\to [X,S^1]_*\times [Y,S^1]_*. $ Dzięki Stw. [link] możemy zastapić zbiory klas punktowanych przez klasy zwykłej homotopii. □

    

Uwaga Ponieważ jak zauważyliśmy włożenie okręgu jednostkowego w płaszczyznę zespoloną bez zera $ (S^1,1)\subset (\C^*,1) $ jest punktowaną homotopijną równoważnością, więc we Wn. [link] mozna zastąpić okrąg przez $ \C^* $.