Sfera

Chociaż w tym rozdziale interesujemy się przede wszystkim wybranymi powierzchniami, to własności sfer przedyskutujemy dla dowolnego wymiaru. Przypomnijmy, że $ n $-wymiarową sferą nazywamy podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej $ S^n :=\{x\in\R^{n+1} \, |\, ||x||=1\} $, a $ n $--wymiarowym dyskiem podprzestrzeń $ D^n := \{\vv\in\R^n\colon ||\vv||\leq 1\} $, czyli domknięcie kuli euklidesowej o środku w $ 0 $ i promieniu $ 1 $. Zauważmy, że brzeg dysku jest sferą: $ \partial D^n = S^{n-1} $.

Stwierdzenie (#) Dla $ n>0 $ następujące przestrzenie są homeomorficzne są homeomorficzne ze sferą $ S^n $:

  1. Zbiór $ (\R^n)^+ := \R^n\cup \{\infty\} $ z topologią generowaną przez kule euklidesowe zawarte w $ \R^n $ oraz zbiory $ \{x\in\R^n\, |\, ||x||>r\}\cup \{\infty\} $;
  2. Zbiór $ \R^n \cup \{\infty\} $ z topologią generowaną przez podzbiory otwarte $ U\subset \R^n $ oraz zbiory postaci $ \{\infty\}\cup (\R^n\setminus K) $ gdzie $ K\subset\R^n $ jest zbiorem zwartym;
  3. Przestrzeń ilorazowa $ D^n/\sim $ gdzie $ x\sim y\iff x=y\, \text{lub} \, x,y\in S^{n-1} $.

Sfera jest przestrzenią zwartą, w której każdy punkt posiada otoczenie homeomorficzne z $ \R^2 $.

Dowód: Zaczniemy od zauważenia, że sfera jest przestrzenią zwartą, jako ograniczony i domknięty podzbiór $ \R^{n+1} $. Także łatwo jest zauważyć, że każdy punkt posiada otocznie homeomorficzne z otwartą kulą $ B(0,1)\in\R^n $ pokrywając sferę $ 2(n+1) $ półsferami. Homeomorfizmy półsfer z otwartą kulą $ B(0,1) $ są dane przez rzutowania na odpowiednie $ n $-wymiarowe podprzestrzenie. Dalej wykażemy, że sferę można pokryć dwoma zbiorami, z których każdy jest homeomorficzny z $ \R^n $, a mianowicie wybrawszy dowolny punkt $ p\in S^n $, $ S^n = (S^n\setminus\{p\})\cup (S^n\setminus\{-p\}) $.

Zauważmy teraz , że topologie w zbiorze $ (\R^n)^+ := \R^n\cup \{\infty\} $ opisane w pkt. 1 i 2 są identyczne. Oznaczmy je odpowiednio $ \sT_1 $ i $ \sT_2 $. Ponieważ domknięcia kul euklidesowych są zbiorami zwartymi, więc $ \sT_1\subset \sT_2 $. Odwrotnie, dowolny zbiór zwarty jest podzbiorem pewnej kuli domkniętej, a więc zachodzi inkluzja $ \sT_1\supset \sT_2 $, skąd topologie są równe.

Skonstruujemy ciągłą bijekcję $ D^n/\sim\, \to (\R^n)^+ $. Dla $ n=1 $ wybierzmy homeomorfizm $ h_1\colon (-1,1)\to\R $ np. $ h_1(t) :=\frac{t}{t^2-1} $ i rozszerzmy do odwzorowania $ \bar h_1\colon D^1\to (\R^1)^+ $ kładąc $ h_1(1)=h_1(-1)=\infty $ Odwzorowanie to jest ciagłe i definiuje odwzorowanie przestrzeni ilorazowej $ \bar h_1\colon D^1/\sim\, \to  (\R^1)^+ $ które jest ciagłą bijekcją. Ponieważ $ D^1/\sim $ jest przestrzenią zwartą, więc jest homemorfizmem. W przypadku sfery dowolnego wymiaru przeprowadzamy dokładnie takie samo rozumowanie, uciekając do nieskończoności po prostych przechodzących przez środek układu współrzędnych. Definiujemy homeomorfizm $ h_n\colon B(0;1) \to \R^n $ wzorem $ h_n(t\vv) := h_1(t)\vv $, gdzie $ \vv\in S^{n-1} $ i $ 0\leq t<1 $. Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym rozszerzamy to przekształcenie do $ h_n\colon D^n \to (\R^n)^+ $ kładąc $ h_n(\vv) = \infty $ dla $ \vv\in S^{n-1} $. Przekształcenie to definiuje ciagła bijekcję $ \bar h_n\colon D^n/\sim \, \to (\R^n)^+ $, która jest homeomorfizmem bo $ (\R^n)^+ $ jest oczywiście przestrzenią Hausdorffa.

Homeomorfizm $ S^n\to (\R^n)^+ $ można określić wykorzystując rzut stereograficzny, czyli homeomorfizm $ h\colon S^n\setminus {p} \to \R^n $. Wybierzmy punkt $ p:=(0,\ldots,0,1)\in S^n $ i zdefiniujmy:

$$h(x_1,\ldots,x_{n+1}) := \frac{1}{1-x_{n+1}}(x_1,\ldots,x_n).$$

Łatwo się przekonać, że kładąc $ h(p) = \infty $ otrzymujemy ciągłą bijekcję $ \bar h\colon S^n \to (\R^n)^+ $, a więc homeomorfizm.□

Uwaga Zauważmy, że model sfery opisany w punkcie 2) nie wymaga wyboru metryki w przestrzeni $ \R^n $, a jest wyznaczony jedynie przez topologię tej przestrzeni!
Stwierdzenie (#) Dla dowolnego punktu $ p\in S^n $ przekłuta sfera $ S^n\setminus\{p\} $ jest homeomorficzna z przestrzenią euklidesową $ \R^n $.
Dowód: Zauważmy, że dla dowolnych dwóch punktów $ p_1,p_2\in S^n $ sfery w tych punktach przekłute są homeomorficzne, bowiem istnieje homeomorfizm sfery $ h\colon S^n\to S^n $ taki, że $ h(p_1)=p_2 $. Homeomorfizm $ p $ jest łatwo skonstruować metodami znanymi z algebry liniowej. Niech $ P\in\R^2 $ bedzie dwuwymiarową podprzestrzenią zawierającą punkty $ p_1,p_2 $. W tej płaszczyźnie można przeprowadzić punkt $ p_1 $ na $ p_2 $ przy pomocy obrotu, który jest izometrią liniową. Kładąc identyczność na podprzestrzeni prostopadłej $ P^\perp $ otrzymujemy izometrię liniową $ h\colon \R^{n+1}\to\R^{n+1} $, która oczywiście zachowuje sferę i przeprowadza $ p_1 $ na $ p_2 $. Korzystając [link] pkt. 2 i wyjmując punkt $ \infty $ otrzymujemy tezę. □
Twierdzenie (#) Jeśli $ n>1 $, to $ H^1(S^n) := [S^n,S^1] = 0 $.
Dowód: Skorzystamy z Twierdzenia Eilenberga [link], pokazując , że dowolne odwzorowanie $ f\colon S^n\to \C^* $ posiada logarytm. Zauważmy, że rozkłada się na sumę dwóch podzbiorów domkniętych $ S^n = S^n_+\cup S^n_- $, z których każdy jest homeomorficzny z dyskiem $ D^n $ a ich przecięcie $ S:=S^n_+\cap S^n_- $ jest homeomorficzne ze sferą $ S^{n-1} $, a więc jest spójne. Ponieważ dyski są ściągalne, więc odwzorowanie $ f $ posiada na nich logarytmy. Z Wniosku [link] wynika istnienie logarytmu $ \tilde f\colon X\to\C $, a więc odwzorowanie $ f $ jest ściągalne. □