Składowe łukowo spójne

Analogicznie do pojęcia składowej spójnej przestrzeni topologicznej definiujemy składowe łukowo spójne.

Definicja Składową łukowo spójną przestrzeni $ (X,\sT) $ nazywamy maksymalny (ze względu na inkluzję) podzbiór łukowo spójny w $ X $.

Zauważmy, że składowe łukowo spójne są dokładnie klasami równoważności relacji ''istnienia drogi łączącej punkty'', zdefiniowanej w Stw. [link]. Wynika stąd natychmiast:

Stwierdzenie Jeśli $ C_1, C_2\subset X $ są składowymi łukowo spójnymi przestrzeni $ (X,\sT_X) $, to $ C_1=C_2 $ lub $ C_1\cap C_2 = \emptyset $, a zbiór $ X=\bigcup C $ jest sumą składowych łukowo spójnych. □
Stwierdzenie Jęśli $ f\colon (X,\sT_X)\to  (Y,\sT_Y) $ jest odwzorowaniem ciągłym, a $ C\subset X $ składową łukowo spójna, to $ f(C) $ jest zawarty w pewnej składowej łukowo spójnej $ (Y,\sT_Y). $
Dowód: Teza wynika natychmiast z Stw. [link] pkt.1. □

Zbiór składowych łukowych przestrzeni $ (X,\sT) $, a więc klas abstrakcji relacji opisanej w Stw. [link], oznaczamy $ \pi_0(X) $.

Uwaga W zbiorze $ \pi_0(X) $ można wprowadzić topologię ilorazową z przestrzeni $ (X,\sT) $, ale w zastosowaniach do rozstrzygania pytania, czy dwie przestrzenie są homeomorficzne rozpatruje się jedynie zbiór $ \pi_0(X) $, ignorując topologię.

Bardzo ważny aspekt przypisania przestrzeni $ X $ zbioru $ \pi_0(X) $ polega na tym, że przekształceniom ciągłym między przestrzeniami mozna w ''naturalny'' sposób przypisać odwzorowania zbiorów. Dokładniej:

Stwierdzenie (#) Dowolne odwzorowanie ciągłe $ (X,\sT_X)\arr{f} (Y,\sT_Y) $ definiuje odwzorowanie zbiorów:

$$f_\#\colon\pi_0(X)\to\pi_0(Y),\, f_\#(C) := \text{składowa łukowa zawierająca}\,f(C)$$

przy czym $ (Id_X)_\#=Id $ oraz dla dwóch odwzorowań $ (X,\sT_X)\arr {f} (Y,\sT_Y) \arr {g} (Z.\sT_Z) $ zachodzi równość $ (g\circ f)_\#=g_\#\circ f_\# $.

Dowód: Odwzorowanie $ f_\#(C) := \text{składowa zawierająca}\,f(C) $ jest dobrze zdefiniowane, bowiem $ f(C) $ jest zbiorem sp/ójnym, a więc istnieje dokładnie jedna składowa przestrzeni $ X $, która go zawiera. $ (g\circ f)_\#(C) = g( \text{składowa zawierająca}\,f(C)) $, a więc jest maksymalnym zbiorem spójnym $ E_1 \supset g(D)\supset g(f(C)) $, gdzie $ D\supset f(C) $ jest składową przestrzeni $ (Y,\sT_Y). $ Z drugiej strony $ (gf)_\#(C) = \{\text{składowa zawierająca}\,g(f(C))\} := E_2 $, przy czym $ E_1\cap E_2\supset  g(f(C)) $ Suma zbiorów spójnych $ E_1\cup E_2 $ jest więc zbiorem spójnym, a z maksymalności $ E_1 $ i $ E_2 $ wynika, że $ E_1 = E_2 $. □
Stwierdzenie Jeśli $ f\colon (X,\sT_X)\to(Y,\sT_Y) $ jest homeomorfizmem, to $ f_\#\colon\pi_0(X)\to \pi_0(Y) $ jest bijekcją .
Dowód: Niech $ (Y,\sT_Y) \arr{g} (X,\sT_X)  $ będzie odwzorowaniem odwrotnym, czyli $ g\circ f = Id_X $ oraz $ f\circ g = Id_Y. $ Z Stw. [link] otrzymujemy, że $ g_\#\circ f_\# = (g\circ f)_\# = Id_X $ oraz $ f_\#\circ g_\# = (f\circ g)_\# = Id_Y $, a więc $ f_\# $ i $ g_\# $ są bijekcjami. □
Stwierdzenie Jeśli $ (X,\sT_X)\arr{h} (Y,\sT_Y) $ jest homeomorfizmem, to dla dowolnego podzbioru $ A\subset X, $ obcięcie $ h\colon X\setminus A \to Y\setminus h(A) $ też jest homeomorfizmem, a więc definiuje bijekcję zbiorów $ \pi_0(X\setminus A)\arr{h_\#}\pi_0(Y\setminus h(A)). $