Składowe spójne

Definicja Składową spójną przestrzeni $ (X,\sT) $ nazywamy maksymalny (ze względu na inkluzję) podzbiór spójny w $ X $. Składową punktu $ x\in X $ nazywamy składową spójną zawierającą punkt $ x $, a więc maksymalny zbiór spójny zawierający punkt $ x $.
Stwierdzenie Niech $ (X,\sT) $ będzie dowolną przestrzenią topologiczną.

  1. Jeśli $ C_1, C_2\subset X $ są składowymi spójnymi, to $ C_1=C_2 $ lub $ C_1\cap C_2 = \emptyset $;
  2. $ X=\bigcup \{C\, |\, C\, \text{składowa przestrzeni}\, X\} $;
  3. Składowe spójne są zbiorami domkniętymi.
Dowód:

Ad 1. Jeśli $ C_1\cap C_2 \neq \emptyset $ to $ C_1\cup C_2 $ jest zbiorem spójnym, zawierającym $ C_1 $ oraz $ C_2 $, a więc $ C_1 = C_1\cup C_2 = C_2. $ Każdy punkt $ x\in X $ należy do pewnej składowej spójnej, zwanej składową tego punktu i oznaczanej $ C_x $.

Ad 2. Każdy punkt przestrzeni $ X $ należy do pewnej składowej, czyli maksymalnego zbioru spójnego zawierającego ten punkt.

Ad 3. Jeśli $ C\subset X $ jest składową, to ponieważ $ C\subset\operatorname{cl}(C) $ i na mocy Stw. [link] pkt. 2 domknięcie $ \operatorname{cl}(C) $ jest zbiorem spójnym, musi zachodzić równość $ C=\operatorname{cl}(C) $. □

Uwaga Składowe spójne nie muszą być podzbiorami otwartymi. Np. składowymi zbioru $ \{0\}\cup \{\frac{1}{n}\, |\, n\in\N\}\subset\R $ są zbiory jednopunktowe, a $ \{0\} $ nie jest zbiorem otwartym. Natomiast składowe spójne dowolnego otwartego podzbioru $ \R^n $ są otwarte, bowiem punkty w $ \R^n $ posiadają dowolnie małe otoczenia spójne. Przestrzeń topologiczna $ (X,\sT_X) $ nie zawsze jest homeomorficzna z sumą rozłączną swoich składowych $ (C,\sT_X|C) $. .
Stwierdzenie Jeśli $ (X,\sT_X)\arr {f} (Y,\sT_Y) $ jest odwzorowaniem ciągłym, a $ C\subset X $ jest składową spójną, to zbiór $ f(C) $ jest zawarty w pewnej składowej przestrzeni $ (Y,\sT_Y). $ Jeśli $ f $ jest homeomorfizmem, to dla dowolnej składowej $ C\subset X $, $ f|C:C\to f(C) $ jest homeomorfizmem na składową $ (Y,\sT_Y). $
Dowód: Teza wynika bezpośrednio z Stw. [link], bowiem obraz składowej musi być zbiorami spójnymi, a więc są zawarty w pewnym maksymalnym zbiorze spójnym. □

Zbiór składowych spójnych

Niech $ (X,\sT) $ będzie przestrzenią topologiczną. Rozbicie zbioru $ X $ na sumę składowych, które są zbiorami rozłącznymi, wyznacza w $ X $ relację równoważności. Zbiór jej klas abstrakcji (czyli zbiór składowych) oznaczmy $ \pi_0'(X) $.

Uwaga W zbiorze $ \pi_0'(X) $ można wprowadzić topologię ilorazową z przestrzeni $ (X,\sT) $ (p. BCPP Zad. 5.9 -- 5.11), ale w zastosowaniach do rozstrzygania pytania, czy dwie przestrzenie są homeomorficzne rozpatruje się na ogół jedynie zbiór $ \pi_0'(X) $, ignorując topologię.

Bardzo ważna własność przypisania przestrzeni $ X $ zbioru $ \pi_0'(X) $ polega na tym, że przekształceniom ciągłym między przestrzeniami mozna w ''naturalny'' sposób przypisać odwzorowania zbiorów. Dokładniej:

Stwierdzenie (#) Dowolne odwzorowanie ciągłe $ (X,\sT_X)\arr{f} (Y,\sT_Y) $ definiuje odwzorowanie zbiorów:

$$f_\#\colon\pi_0'(X)\to\pi_0'(Y),\, f_\#(C) := \text{składowa zawierająca}\,f(C)$$

przy czym $ (Id_X)_\#=Id $ oraz jeśli $ (X,\sT_X)\arr {f} (Y,\sT_Y) \arr {g} (Z.\sT_Z) $ to zachodzi równość $ (g\circ f)_\#=g_\#\circ f_\# $.

Dowód: Odwzorowanie $ f_\#(C) := \text{składowa zawierająca}\,f(C) $ jest dobrze zdefiniowane, bowiem $ f(C) $ jest zbiorem spójnym, a więc istnieje dokładnie jedna składowa przestrzeni $ X $, która go zawiera.

Sprawdzimy, że $ (g\circ f)_\#=g_\#\circ f_\# $. Z definicji

$$(g\circ f)_\#(C) = g( \text{składowa zawierająca}\,f(C)),$$

a więc jest maksymalnym zbiorem spójnym $ E_1 \supset g(D)\supset g(f(C)) $, gdzie $ D\supset f(C) $ jest składową przestrzeni $ (Y,\sT_Y). $ Z drugiej strony

$$(gf)_\#(C) = \{\text{składowa zawierająca}\,g(f(C))\} := E_2,$$

przy czym $ E_1\cap E_2\supset  g(f(C)) $ Suma zbiorów spójnych $ E_1\cup E_2 $ jest więc zbiorem spójnym, a z maksymalności $ E_1 $ i $ E_2 $ wynika, że $ E_1 = E_2 $. □

Stwierdzenie Jeśli $ (X,\sT_X)\arr{f} (Y,\sT_Y) $ jest homeomorfizmem, to $ \pi_0'(X)\arr {f_\#} \pi_0'(Y) $ jest bijekcją .
Dowód: Niech $ (Y,\sT_Y) \arr{g} (X,\sT_X)  $ będzie odwzorowaniem odwrotnym, czyli $ g\circ f = Id_X $ oraz $ f\circ g = Id_Y. $ Z Stw. [link] otrzymujemy, że $ g_\#\circ f_\# = (g\circ f)_\# = Id_X $ oraz $ f_\#\circ g_\# = (f\circ g)_\# = Id_Y $, a więc $ f_\# $ i $ g_\# $ są bijekcjami. □
Stwierdzenie Jeśli $ (X,\sT_X)\arr{h} (Y,\sT_Y) $ jest homeomorfizmem, to dla dowolnego podzbioru $ A\subset X, $ obcięcie $ h\colon X\setminus A \to Y\setminus h(A) $ też jest homeomorfizmem, a więc definiuje bijekcję zbiorów $ \pi_0'(X\setminus A)\arr{h_\#}\pi_0'(Y\setminus h(A)). $
Uwaga Skorzystaliśmy z tego argumentu w szczególnym przypadku w dowodzie Tw. [link], wykazując że różne przedziały standardowe na prostej nie są homeomorficzne.