Spójność

Definicja [Spójność] Przestrzeń $ (X,\sT) $ jest spójna jeśli nie istnieją niepuste zbiory $ U,V\in\sT $ takie, że $  X=U\cup V, \, U\cap V = \emptyset. $

Podzbiór $ A\subset X $ nazywa się spójny jeśli podprzestrzeń $ (A,\sT|A) $ jest spójna.

Przykład Przestrzeń dyskretna zawierająca więcej niż jeden element jest niespójna. Przestrzeń antydyskretna jest zawsze spójna.

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_spoj_przyklady.jpg}}

Stwierdzenie Przestrzeń jest niespójna wtedy i tylko wtedy, gdy jest homeomorficzna z sumą prostą dwóch niepustych przestrzeni.
Dowód: $ \implies $ Jeśli przestrzeń jest niespójna, to $  X=U\cup V, \, U\cap V = \emptyset $ gdzie $ U,V\in\sT $ . Oczywiste odwzorowanie $ U\coprod V \to X $ jest homeomorfizmem, bowiem jest ciagłą bijekcją i przeprowadza zbiory otwarte na otwarte.

$ \impliedby $ Jeśli $ h\colon (X_1\coprod X_2,\sT_*) \to (X,\sT) $ jest homeomorfizmem, to   $ X = h(X_1)\cup h(X_2) $ jest rozkładem $ X $ na sumę dwóch niepustych rozłącznych podzbiorów otwartych, a więc $ (X,\sT) $ nie jest spójna. □

Stwierdzenie [Kryteria spójności](#) Następujące warunki dla przestrzeni $  (X,\sT) $są równoważne:

  1. $ (X,\sT) $ jest spójna.
  2. Jedynymi zbiorami otwartymi i domkniętymi są $ \emptyset, X. $
  3. Każde odwzorowanie ciągłe $ f:(X,\sT)\to (\{0,1\},\sT_\delta) $ jest stałe.
Dowód: (1) $ \implies $ (2) Jeśli $ U\subset X $ jest niepustym otwarto - domkniętym podzbiorem różnym od $ X $, to $ X=U\cup (X\setminus U) $ jest rozkładem na sumę rozłącznych, niepustych podzbiorów otwartych, a więc $ (X,\sT) $ nie jest spójna.

(2) $ \implies $ (1) Przestrzeń nie jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją niepuste zbiory $ U,V\in\sT $ takie, że $  X=U\cup V, \, U\cap V = \emptyset $ a zatem $ U,V $ są zbiorami otwartymi i domkniętymi różnymi od $ \emptyset, X. $

(2) $ \implies $ (3) Jeśli $ f:(X,\sT)\to (\{0,1\},\sT_\delta) $ jest ciągłe, to przeciwobrazy $ f^{-1}(0),\, f^{-1}(1) $ są rozłącznymi zbiorami otwarto -- domkniętymi, a zatem jeden z nich musi być zbiorem $ X $ a drugi zbiorem pustym. A to oznacza, że $ f $ jest stałe.

(2) $ \impliedby $ (3) Jeśli $ U\subset X $ jest podzbiorem otwarto-domkniętym różnym od $ \emptyset, X $ to definujemy funkcję ciagłą $ f(x) := \begin{cases} 1\, \text{dla}\, x\in U \\ 0\, \text{dla}\, x\notin U\end{cases} $, która nie jest stała. □

Stwierdzenie (#)

  1. Jeśli $ f:(X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest ciągłą surjekcją określoną na spójnej przestrzeni $ (X,\sT_X) $ to $  (Y,\sT_Y) $ też jest spójna.
  2. Jeśli $ C\subset X $ jest zbiorem spójnym to dowolny podzbiór $ A $ taki, że   $ C\subset A \subset \op{cl}(C) $ jest też spójny.
  3. Jeśli $ X= \bigcup\limits_{i\in I} C_i $ jest suma spójnych podzbiorów $ C_i $ oraz istnieje zbiór $ C_{i_0} $ taki, że dla każdego $ i\in I $, $ C_{i_0}\cap C_i\neq\emptyset $, to $ X $ jest przestrzenią spójną.

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_spoj_suma_spojnych.jpg}}

Dowód:

Ad 1. Jeśli $ (Y,\sT_Y) $ nie jest spójna, to istnieje rozkład się na sumę niepustych, otwartych rozłącznych podzbiorów $ Y = V_1\cup V_2 $. Wtedy   $ X = f^{-1}(V_1)\cup f^{-1}(V_2) $ jest rozkładem przestrzeni $ X $ na sumę niepustych, otwartych rozłącznych podzbiorów, a więc $ (X,\sT) $ nie byłaby spójna.

Ad 2. Niech $ f\colon A\to \{0,1\} $ będzie odwzorowaniem ciągłym. Skoro $ C $ jest zbiorem spójnym, to $ f|A $ jest stała. Ponieważ $ \op{cl}_A(C) = \op{cl}_X(C)\cap A = A $, więc funkcja $ f $ jest stała na zbiorze $ A $.

Ad 3. Niech $ f\colon X\to \{0,1\} $ będzie funkcją ciągłą. Z założenia $ f\colon C_i \to \{0,1\} $ jest stała, wystarczy więc zauważyć, że jej wartość nie zależy od $ i $. Wynika to stąd, że $ \forall_{i\in I} C_{i_0}\cap C_i\neq\emptyset $ a więc na każdym zbiorze $ C_i $ funkcja $ f_i $ przybiera tę sama wartość co na $ C_{i_0} $. □

Przy pewnych dodatkowych założeniach zachodzi twierdzenie odwrotne do [link] pkt.1:

Stwierdzenie (#) Niech $ p:(X,\sT_X) \to (Y,\sT_Y) $ będzie odwzorowaniem ilorazowym (Odwzorowanie nazywa się ilorazowe jeśli jest surjekcją oraz $ \sT_Y = p_*\sT_X $) na przestrzeń spójną $ (Y,\sT_Y) $. Jeśli przeciwobraz $ f^{-1}(y) $ dowolnego punktu $ y\in Y $ jest zbiorem spójnym, to $ (X,\sT_X) $ jest przestrzenią spójną.
Dowód: Niech $ \phi :(X,\sT_X)\to (\{0,1\},\sT_\delta) $ będzie odwzorowaniem ciagłym. Dla dowolnego $ y\in Y $ obcięcie $ \phi\colon f^{-1}(y) \to \{0,1\} $ jest stałe, a więc odwzorowanie $ \bar\phi\colon Y\to \{0,1\},\, \bar\phi (y) := \phi (x) $ gdzie $ p(x)=y $ jest dobrze zdefiniowane. Jest także ciągłe, bo złożenie $ p\circ\bar\phi = \phi $ jest ciągłe, a $ p $ jest ilorazowe. Ponieważ $ (Y,\sT_Y) $ jest spójna, więc odwzorowanie $ \bar\phi $ jest stałe, a zatem $ \phi $ jest stałe, co dowodzi spójności $ (X,\sT_X) $. □

    

     Łańcuchy zbiorów otwartych

Stwierdzenie (#) Niech dane będzie pokrycie przestrzeni spójnej $ (X,\sT) $ zbiorami otwartymi $ {\mathcal U} := \{U_t\}_{t\in T} $. Każde dwa punkty $ a, b\in X $ dają się połączyć skończonym łańcuchem złożonym ze zbiorów z rodziny $ {\mathcal U} $, tzn. istnieją wskaźniki $ t_0,\dots ,t_n\in T $ takie, że $ a\in U_{t_0}, \, b\in U_{t_n} $ oraz $ U_{t_i} \cap U_{t_{i+1}}\neq\emptyset $ dla $ i=0,\dots n-1 $.
Dowód: Jesli dla punktów $ a $ i $ b $ spełniona jest teza twierdzenia, to będziemy mówili w skrócie, że dają się połączyć łańcuchem w pokryciu $ {\mathcal U} $. Ustalmy punkt $ a\in X $ i rozpatrzmy zbiór

$$C(a):= \{x\in X\, |\,  \exists\,\text{łańcuch w pokryciu}\,\, {\mathcal U}\,\text{łączący}\,\, a\, \text{z}\,\, x\}.$$

Zauważmy, że ten zbiór jest otwarty: jeśli $ x\in C(a) $ i $ x\in U_t $, to $ U_t\subset C(a) $. Jest takze domknięty, bo jego dopełnienie jest zbiorem otwartym:   jeśli $ x\notin C(a) $ oraz $ x\in U_t $ to $ U_t\subset X\setminus C(a) $. Ponieważ $ a\in C(a) $ więc ze spójności przestrzeni $ (X,\sT) $ wnioskujemy, ze $ C(a) = X $. □

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_spoj_lancuch.jpg}}

Stwierdzenie Jeśli (X; d) jest przestrzenią metryczną spójną, to dla dowolnych $ a, b \in X $ i dla każdego $ \epsilon > 0 $ istnieją punkty $ x_1,\dots , x_n \in X $ takie, że $  x_1 = a ,\, x_n = b $ oraz $ d(x_i; x_{i+1}) < \epsilon $ dla $ i = 1, \dots , n-1. $
Dowód: Wystarczy zastosować Stw. [link] do pokrycia przestrzeni $ X $ kulami o promieniu $ \epsilon/2 $ i z kul wystepujących w łańcuchu wybrać po jednym punkcie. □

Spójne podzbiory prostej euklidesowej

Definicja Podzbiór $ A\subset\R $ nazywa się przedziałem jeśli stąd, że $ a \leq c \leq b $ i $ a, b \in A $ wynika $ c\in A $, czyli dowolna liczba leżąca między dwoma liczbami należącymi do $ A $ też należy do $ A $.
Twierdzenie [Klasyfikacja spójnych podzbiorów prostej](#)

  1. Dowolny przedział na prostej euklidesowej jest homeomorficzny z jednym ze standardowych przedziałów: zbiorem jednopunktowym $ \{0\} $ lub odcinkiem $ [0,1],\, [0,1),\, (0,1), $ przy czym żadne dwa z nich nie są homeomorficzne.
  2. Podzbiór prostej euklidesowej $ (A,\sT_e|A)\subset(\R,\sT_e) $ jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy jest przedziałem.
Dowód:

Ad 1. Dowolny niepusty przedział jest zbiorem jednopunktowym lub zbiorem postaci $ (a,b),\, [a,b) $, $ (a,b],\, [a,b] $ gdzie $ a<b $, a otwarty koniec odcinka może być $ \pm\infty $ i łatwo znaleźć wśród funkcji znanych z Analizy Matematycznej I homeomorfizmy z odpowiednimi przedziałami standardowymi. Dowód, że żadne dwa rózne przedziały standardowe nie są homeomorficzne wykażemy po udowodnieniu punktu 2).

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_spoj_wykresy.jpg}}

Ad 2. Wykażemy, że przedziały standardowe są spójne. Ponieważ każdy przedział jest suma wstępujacej rodziny odcinków domkniętych, wystarczy wykazać spójność odcinka $ [0,1] $. Niech $ f\colon [0,1]\to \{0,1\} $ jest funkcją ciągłą i załóżmy, że $ f(0)=0 $. Jeśli funkcja nie jest stała, zdefiniujmy   $ t_1 := \inf\{t\in [0,1]\, |\, f(t) = 1\}> 0 $ . W punkcie $ t_1 $ funkcja nie byłaby ciągła, bowiem $ f(t_1)=1 $, natomiast $ f(t)=0 $ dla $ t<t_1 $.

Jeśli podzbiór $ A\subset\R $ nie jest przedziałem, to istnieje liczba $ r\notin A $ taka, że $ \{a\in A\, |\, a<r\}\cup \{a\in A\, |\, a> r\} = A $ jest rozkładem zbioru $ A $ na sumę dwóch niepustych, rozłącznych podzbiorów otwartych.

Wróćmy do pkt. 1. Pokażemy teraz, że odcinki $ [0,1],\, [0,1),\, (0,1), $ nie są parami homeomorficzne. Załóżmy, że istniałby homeomorfizm $ h\colon [0,1) \to (0,1) $. Wtedy po usunieciu początku odcinka $ [0,1) $ mielibysmy homeomorfizm $ h\colon (0,1) \to (0,1)\setminus h(0) $. Jest to jednak niemożliwe, bo odcinek $  (0,1) $ jest spójny, a po usunęciu dowolnego punktu staje się niespójny. Podobnie rozumujemy w przypadku pozostałych par odcinków, korzystając z tego, że końce odcinka mogą być scharakteryzowane jako jedyne punkty, których usunięcie nie narusza spójności. □

Stwierdzenie [Uogólniona własność Darboux] Jeśli $ f:(X,\sT_X)\to (\R,\sT_e) $ jest odzworowaniem ciągłym i przestrzeń $ (X,\sT) $ jest spójna, to podzbiór $ f(X)\subset\R $ jest przedziałem.□