Spójność i łukowa spójność w przestrzeniach euklidesowych

Zauważyliśmy, że zbiory gwiaździste w przestrzeniach euklidesowych [link] , są łukowo spójne, a więc także spójne. Poniżej dyskutujemy związki pojęć łukowej spójności i spójności dla otwartych podzbiorów przestrzeni euklidesowych.

Stwierdzenie [Składowe spójne podzbiorów otwartych] Składowe spójne dowolnego otwartego podzbioru $ \R^n $ są zbiorami otwartymi.
Dowód: Niech $ C\subset U $ będzie składową spójną oraz $ x\in C\subset U $. Ponieważ zbiór $ U $ jest otwarty możemy wybrać promień $ r>0 $ taki,że $ B(x,r)\subset U $. Zbiór $ C\cup B(x,r) $ jest spójny, a więc z maksymalności $ U $ wynika, że $ B(x,r)\subset C $, czyli $ C $ jest zbiorem otwartym. □
Stwierdzenie [Spójność i łukowa podzbiorów otwartych](#) Otwarty, spójny podzbiór przestrzeni euklidesowej $ (\R^n,\sT_e) $ jest łukowo spójny. Składowe spójne takiego zbioru są identyczne ze składowymi łukowo spójnymi.
Dowód: Niech $ U\subset\R^n $ będzie spójnym podzbiorem otwartym. Wybierzmy punk $ x_0\in U $ i rozważmy zbiór:

$$U_{x_0} := \{x\in U\, |\, \exists_ {\omega : [0,1]\to X} \,\omega (0)=x_0,\, \omega (1) = x\},$$

który oczywiście jest łukowo spójny. Pokażemy, że $ U_{x_0} $ jest zbiorem otwarto-domkniętym w $ U $. Niech $ x\in U_{x_0} $, wówczas istnieje $ r>0 $ takie, że $ B(x,r) \subset U_{x_0}. $ Ponieważ kula euklidesowa jest łukowo spójna, więc dowolny punkt $ x'\in B(x,r) $ można połączyć drogą z $ x $, a zatem na mocy Stw. [link] także z punktem $ x_0 $. Taki sam argument pokazuje, że dopełnienie zbioru $ U_{x_0} $ jest zbiorem otwartym, a więc $ U_{x_0} = U. $

Składowe spójne grupy liniowej

Zajmiemy się teraz zbadaniem spójności ważnego podzbioru otwartego w przestrzeni macierzy kwadratowych $ n\times n $ o wspólczynnikach rzeczywistych, a mianowicie grupy liniowej

$$GL(n,\R) :=  \{ A\in M(n,n;\R)\, |\, \det A \neq 0\}\subset  M(n,n;\R) = \prod_{i,j=1}^n\R \simeq \R^{n^2}$$
  • $ \det\colon M(n,n;\R)  \to \R $ jest odwzorowaniem ciągłym, a więc $ GL(n,\R) $ jest podzbiorem otwartym przestrzeni macierzy $ M(n,n;\R). $
  • Mnożenie macierzy $ GL(n,\R)\times GL(n,\R) \to GL(n,\R) $ jest odwzorowaniem ciągłym.
  • $ \det\colon GL(n,\R) \to \R\setminus\{0\} $ jest ciąglą surjekcją, a więc   $ GL(n;\R) = GL^+(n,\R) \cup GL^-(n,\R) $ jest sumą dwóch rozłącznych podzbiorów otwartych składających sie odpowiednio z macierzy o wyznaczniku dodatnim i ujemnym.
  • mnożenie przez dowolna macierz $ A\in GL^-(n,\R) $ zadaje homeomorfizm $ h_A\colon GL^+(n,\R) \to GL^-(n,\R). $
Twierdzenie Zbiór macierzy $ GL^+(n,\R) $ jest łukowo spójny.
Dowód: Na mocy Stw. [link] wystarczy pokazać, że $ GL^+(n,\R) $ jest zbiorem spójnym. Będziemy postepować indukcyjnie ze wzgledu na wymiar macierzy: $ GL^+(1,\R) = \R^* = \{t\in\R\, |\, t>0\} $ a więc jest to zbiór spójny. Załóżmy, że $ GL^+(k,\R) $ jest spójna dla $ k<n $ i rozważmy rzutowanie $ p\colon  GL^+(n,\R) \to \R^n\setminus\{0\} $ przypisujące każdej macierzy jej ostatnia kolumnę. Jako obcięcie rzutowania w produkcie kartezjańskim do otwartego podzbioru jest to odwzorowanie otwarte, a więc ilorazowe. Zauważmy, że odwzorowanie $ p $ polega na mnożeniu macierzy z prawej strony przez pionowo zapisany wektor bazy kanonicznej $ {\bf e}_n :=(0,..,0,1) $

Do odwzorowania $ p $ chcemy zastosować Stw.[lin]. Dla $ n>1 $ przestrzeń $ \R^n\setminus\{0\} $ jest łukowo spójna, a więc spójna. Należy więc zbadać przeciwobrazy $ p^{-1}(\vv) $ gdzie $ \vv\in \R^n\setminus\{0\}. $ Zauważmy przede wszystkim, że dla dowolnych dwóch wektorów $ p^{-1}(\vv) $ i $ p^{-1}(\ww)  $ są homeomorficzne. Istotnie, jeśli $ C\in GL^+(n,\R) $ jest macierzą taka, ze $ C(\vv) = \ww $, to mnozenie przez $ C $ z lewej strony zadaje homeomorfizm $ C\cdot\colon p^{-1}(\vv)\to p^{-1}(\ww) $ -- przekształcenie odwrotne jest mnożeniem przez $ C^{-1} $.

Rozpatrzmy więc $ p^{-1}({\bf e}_n). $ Jest to zbiór macierzy postaci zapisanych blokowo

$$M =\begin{pmatrix} A & {\bf 0} \\ {\bf c} & 1 \end{pmatrix}$$

gdzie $ A\in GL^+(n-1,\R) $ a $ {\bf c} = (c_{n,1},...,c_{n,n-1})\in\R^{n-1} $. Taką macierz można w połaczyć drogą $ \omega\colon [0,1]\to GL^+(n,\R) $z macierzą dla której $ {\bf c} = 0 $:

$$\omega(t) :=\begin{pmatrix} A & {\bf 0} \\ t{\bf c} & 1 \end{pmatrix}$$

Zbiór macierzy postaci

$$\begin{pmatrix} A & {\bf 0} \\ {\bf 0} & 1 \end{pmatrix} \in GL^+(n,\R)$$

jest homeomorficzny z $ GL^+(n-1,\R) $, a więc na mocy założenia indukcyjnego jest spójny, a zatem zbiór $ p^{-1}({\bf e}_n) $ jest spójny, co kończy dowód twierdzenia. □

Stwierdzenie Rozkład $ GL(n;\R) = GL^+(n,\R) \cup GL^-(n,\R) $ jest rozkładem na sumę dwóch homeomorficznych ze sobą składowych spójnych.
Uwaga Korzystając z rozkładu macierzy na iloczyn macierzy elementarnych można podać bezpośrednią konstrukcję drogi łączącej daną macierz z macierzą identycznościową. Szkic dowodu jest następujący:

  1. Każda macierz $ A\in GL^+(n,\R) $ jest iloczynem macierzy elementarnych.
  2. Dla każdej macierzy elementarnej $ E_{ij}(\lambda) $ istnieje droga $ [0,1] \arr {\omega} GL(n,\R) $ taka, że $ \omega_{ij} (0) = E_{ij}(\lambda) $ oraz $ \omega (1) = Id_{n-1}\oplus [\pm 1]. $
  3. Jeśli $ A = E^1_{i_1j_1}(\lambda_1)\circ\dots \circ E^k_{i_kj_k}(\lambda_k) $ i $ \omega_r  $ droga łącząca $  E^r_{i_rj_r}(\lambda_r) $ z $ Id_{n-1}\oplus [\pm 1]. $ Wtedy droga $ \omega (t) := \omega_1 (t)\circ\dots\circ\omega_k(t) $ łączy macierz $ A $ z $ Id_{n-1}\oplus [\pm 1]. $ Jeśli $ \det A>0 $, to $ \omega (0) = Id. $