Spójność a konstrukcje przestrzeni topologicznych

Zauważmy jak zachowuje się spójność przy poznanych operacjach na przestrzeniach topologicznych. Następujące własności są oczywiste:

  1. Podprzestrzeń przestrzeni spójnej może nie być spójna.
  2. Przestrzeń ilorazowa przestrzeni spójnej jest spójna na mocy Stw. [link] pkt. 1.
  3. Suma prosta niepustych przestrzeni topologicznych nie jest spójna.

Trudniejsze do wykazania jest następujące:

Twierdzenie (#) Iloczyn kartezjański rodziny przestrzeni topologicznych jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie przestrzenie są spójne.
Dowód:

$ \implies $ Jeśli $ \prod\limits_{s\in S}  (X_s, {\cal T}_s) $ jest przestrzenia spójną, to wszystkie czynniki $ (X_s,\sT_s) $ też są przestrzeniami spójnymi ponieważ rzutowania na czynniki $ p_t\colon \prod\limits_{s\in S}  (X_s, {\cal T}_s)\to (X_t,\sT_t) $ są ciagłymi surjekcjami.

$ \impliedby $ Zaczniemy od wykazania tezy dla skończonych rodzin przestrzeni. Dzięki indukcji wystarczy pokazać, że iloczyn dwóch spójnych przestrzeni $ (X,\sT_X) $ i~$ (Y,\sT_Y) $ jest spójny. W tym celu rozłożymy $ X\times Y $ na sumę spójnych podprzestrzeni spełniających założenia Stw. [link] pkt. 3. Wybierzmy punkt $ x_0\in X $ i przedstawmy $ X\times Y = (\{x_0\}\times Y)\cup\bigcup\limits_{y\in Y} X\times \{y\} $ Poziomice są zbiorami spójnymi oraz $ \forall_{y\in Y}\, (\{x_0\}\times Y)\cap (X\times \{y\}) = \{(x_0,y)\} \neq\emptyset $. Z Stw. [link] pkt. 3 wynika, że $ X\times Y $ jest przestrzenią spójną.

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_spoj_rozklad_prod.jpg}}

Niech teraz $ \prod\limits_{s\in S}  (X_s, {\cal T}_s) $ będzie produktem dowolnej rodziny przestrzeni spójnych. Wybierzmy punkt $ x^0:=\{x_s^0\}_{s\in S} $ i rozpatrzmy zbiór

$$D:= \{\{x_s\}_{s\in S}\in\prod\limits_{s\in S} X_s\, |\,   x_s = x_s^0\,\text{poza skończenie wieloma}\, {s\in S}\}$$

Zbiór $ D $ jest sumą podzbiorów homeomorficznych ze skończonymi iloczynami: jeśli $ F\subset S $ jest zbiorem skończonym, to podzbiór:

$$D_F:= \{\{x_s\}_{s\in S}\in\prod\limits_{s\in S} X_s\, |\,   x_s = x_s^0\, s\in S\setminus F\}$$

jest homeomorficzny z $ \prod\limits_{s\in F}  (X_s, {\cal T}_s) $ a więc spójny oraz $  D = \bigcup\limits_{F\subset S} D_F $. W przecięciu zbiorów $ D_F $ leży punkt $ x^0 $, więc $ D $ jest zbiorem spójnym.

Pozostaje zauważyć, że $ D $ jest gęstym podzbiorem $ \prod\limits_{s\in S}  (X_s, {\cal T}_s) $. Dowolny zbiór z bazy topologii produktowej $ \langle U_{s_1},\dots U_{s_n}\rangle $ przecina zbiór $ D_F $ gdzie $ F=\{s_1,\dots s_n\} $:

$$\langle U_{s_1},\dots U_{s_n}\rangle\cap D_F = \prod\limits_{s\in S} A_s\quad \text{gdzie}\,\, A_s = \begin{cases} U_s\,\,\text{dla}\,\, s\in F \\ x_s^0\,\,\text{dla}\,\, s\notin F\end{cases}. $$

Dowód kończy przywołanie Stw.[link] pkt. 2, bowiem $ \op{cl}(D) = \prod\limits_{s\in S}  X_s $. □