Suma prosta

Zdefiniujemy konstrukcję sumy prostej rodziny zbiorów , dwoistą w pewnym sensie dokonstrukcji iloczynu kartezjańskiego .

Definicja Sumą prostą (zwaną też koproduktem lub sumą rozłączną) rodziny zbiorów $ \{X_s\}_{s\in S} $ nazywamy zbiór zbiór $ \coprod\limits_{s\in S} X_s  := \bigcup\limits_{s\in S} X_s\times \{s\} $ wraz z rodziną przekształceń (włożeń): $ {\frak j} := \{X_t \arr {j_t} \coprod\limits_{s\in S} X_s \}_{t\in S}, \quad j_t( x_t) := (x_t, t) $.

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_koprod_suma_prosta.jpg}}

Zauważmy, że dla $ s\neq t, (X_s\times \{s\})\cap (X_t\times \{t\}) = \emptyset $.

Definicja (#) Sumą prostą (koproduktem) rodziny przestrzeni topologicznych $ \{(X_s,\sT_s)\}_{s\in S} $ nazywamy przestrzeń

$$\coprod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) := (\coprod\limits_{s\in S}X_s , \sT_*({\mathfrak j}))$$

gdzie $ \sT_*({\mathfrak j} $ jest topologią wprowadzoną przez rodzinę odwzorowań $ {\mathfrak j} $, wraz z (ciągłymi) odwzorowaniami $ j_t: (X_t,\sT_t)\arr{j_t} \coprod\limits_{s\in S}(X_s , \sT_*({\frak j})). $

Utożsamiając za pomocą $ j_s $ zbiór $ X_s $ z $ X_s\times\{s\} $ możemy powiedziec, że podzbiór $ U\subset \coprod\limits_{s\in S} X_s $ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie przecięcia $ U\cap X_s \in\sT_s $, czyli są otwarte w $ (X_s,\sT_s) $. Zauważmy, że włożenia $ j_t\colon (X_t,\sT_t)\to \coprod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s)  $ są zanurzeniami homeomorficznymi.

Stwierdzenie [Sumy proste odwzorowań](#)

  1. Odwzorowanie $ f:  \coprod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) \to (Y,{\cal T}_Y) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ t\in S $ złożenie $  (X_t,\sT_t) \arr {j_t} \coprod\limits_{s\in S} (X_s,\sT_s)  \arr{f} (X_t,{\cal T}_t) $ jest odwzorowaniem ciagłym.
  2. Dla dowolnej rodziny odwzorowań ciągłych $ \{ (X_s,\sT_s) \arr{f_s} (Y,\sT_Y)\}_{s\in S} $ istnieje dokładnie jedno odwzorowanie ciągłe $ \coprod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) \arr{f} (Y,\sT_Y) $ takie, że dla każdego $ s\in S $ zachodzi równość $ f\circ j_s = f_s $.

Podobnie jak w przypadku iloczynów kartezjańskich zbadamy zachowanie poznanych własności topologii ze wzgledu na sumy proste. Jest to jednak dużo łatwiejsze.

Stwierdzenie

  1. Suma prosta $ \coprod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) $ jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ s\in S $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ jest przestrzenią Hausdorffa.

  2. Suma prosta rodziny przestrzeni spełnia I aksjomat przeliczalności wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie składniki spełniają I aksjomat przeliczalności.
  3. Suma prosta rodziny przestrzeni spełnia II aksjomat przeliczalności wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie składniki spełniają I aksjomat przeliczalności i co najwyzej przeliczalnie wiele jest niepustych.
  4. Suma prosta rodziny przestrzeni jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie składniki są przestrzeniami ośrodkowymi i co najwyzej przeliczalnie wiele jest niepustych.
  5. Suma prosta $ \coprod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) $ jest przestrzenią metryzowalną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ s\in S $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ jest metryzowalna.
Dowód: Dowody punktów 1-4 jako bardzo łatwych pomijamy.

Ad 5. $ \implies $ Jeśli $ \coprod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) $ jest przestrzenią metryzowalną to dowolna jej podprzestrzeń, zatem także $ (X_s,\sT_s) $ jest przestrzenią metryzowalną.

$ \impliedby $ Jeśli dana jest rodzina przestrzeni metrycznych $ \{(X_s,d_s)\}_{s\in S} $ to w zbiorze $ \coprod\limits_{s\in S}X_s $ określamy metrykę:

$$d(((x,s), (x',t)) = \begin{cases} d'_s(x,x') \quad\text {jeśli} \quad s=t \\ 1 \quad  \text {jeśli} \quad s\neq t \end{cases}$$

gdzie $ d'_s(x,x') : =\min (d_s(x,x'),1). $ W tej metryce kule o środku w punkcie $ (x,s)\in \coprod\limits_{s\in S}X_s $ i promieniu $ <1 $ są identyczne jak kule w metryce $ d_s $ w zbiorze $ X_s $. Stąd wynika, że metryka $ d' $ definiuje topologię $ \sT_*({\mathfrak j}) $. □

Zauważmy, że tak jak w przypadku metryki w produkcie kartezjańskim musielismy ''obciąć'' metryki $ d_i $ (nawet w przypadku sumy dwóch przestrzeni!), tym razem po to, aby spełniona była nierówność trójkąta.