Topologia $\mathcal{T}_{co}$ a produkt kartezjański | Portal Dydaktyczny dla Matematyków

Niech $X,\, Y$ oraz $X_i,Y_i,\, i=1,2$ będą przestrzeniami topologicznymi. Z definicji iloczynu kartezjańskiego i sumy prostej wynika, że przekształcenia zbiorów odwzorowań ciągłych zadane przez rzutowania na współrzędne $p_i\colon Y_1\times Y_2 \to Y_i,\, i=1,2$ (odp. włożenia na składniki $\iota_k\colon X_k\to X_1\coprod X_2,\, k=1,2$ ):

$(p_{1*},p_{2*})\colon \Map (X,Y_1\times Y_2) \arr {\simeq} \Map (X,Y_1)\times \Map (X,Y_2)$

$(\iota_1^*,\iota_2^*)\colon \Map (X_1\coprod X_2,Y) \to \Map (X_1,Y)\times \Map (X_2,Y).$

są bijekcjami. Okazuje się, że jeśli w przestrzeniach odwzorowań rozpatrywać topologię zwarto-otwartą, są także homeomorfizmami.

Stwierdzenie (#)

Rzutowania na współrzędne $p_i\colon Y_1\times Y_2 \to Y_i,\, i=1,2$ zadają homeomorfizm przestrzeni odwzorowań:

$(p_{1*},p_{2*})\colon \Map (X,Y_1\times Y_2) \arr {\simeq} \Map (X,Y_1)\times \Map (X,Y_2)$
Włożenia $\iota_k\colon X_k\to X_1\coprod X_2,\, k=1,2$ zadają homeomorfizm przestrzeni odwzorowań

$(\iota_1^*,\iota_2^*)\colon \Map (X_1\coprod X_2,Y) \to \Map (X_1,Y)\times \Map (X_2,Y).$

Dowód:
Ad 1. Ciagłość odwzorowania $(p_{1*},p_{2*})$ wynika z Stw. [link] a z definicji produktu kartezjańskiego iż jest bijekcją. Wystarczy więc pokazać iż jest otwarte. Na mocy Lematu [link] topologia w $\Map (X,Y_1\times Y_2)$ jest generowana przez zbiory postaci $\langle C, p_i^{-1}(W_i)\rangle$ gdzie $i=1,2,\, W_i\in\sT_{Y_i},\, C\subset X$ -- zwarty. Dla $i=1$ zachodzi równość zbiorów $(p_{1*},p_{2*})(\langle C, p_1^{-1}(W_1)\rangle) = \langle C,W_1\rangle \times \Map (X,Y_2)$ i podobnie dla $i=2$ , a więc obrazy zbiorów generujących topologię w $\Map (X,Y_1\times Y_2)$ generują topologię w produkcie $\Map (X,Y_1)\times \Map (X,Y_2)$ .

Ad 2. Dowód, że odwzorowanie $(\iota_1^*,\iota_2^*)$ jest ciągłą bijekcją jest identyczny jak Stw. [link]. Dowód, że rodzina generująca bazę w $\Map (X_1\coprod X_2,Y)$ przechodzi na rodzinę generującą topologię w produkcie wynika natychmiast z Lematu [link] oraz faktu, że dowolny zwarty podzbiór $C\subset X_1\coprod X_2$ jest sumą rozłącznych zwartych zbiorów $C = (C\cap X_1)\cup (C\cap X_2)$ . □

Interesujace jest, że w terminach przestrzeni funkcyjnych można opisać odwzorowania dwóch zmiennych $f\colon X\times Y\to Z$ jako rodziny odwzorowań jednej zmiennej $f_x\colon Y\to Z,\, f_x(y) := F(x,y)$ parametryzowanie w sposób ciągły przestrzenią $X$ . O przestrzeni $Y$ musimy jednak poczynić dodatkowe założenie:

Definicja Przestrzeń Hausdorffa $(Y,\sT_Y)$ nazywa się lokalnie zwarta jeśli każdy punkt $y\in Y$ posiada otoczenie $V\ni y$ takie, że jego domknięcie $\op{cl}_Y(V)$ jest zbiorem zwartym.

Uwaga Przestrzenie zwarte są lokalnie zwarte. Przestrzenie euklidesowe nie są zwarte, lecz są lokalnie zwarte, bowiem domknięcia kul euklidesowych sa zbiorami domknętymi i ograniczonymi, a więc zwartymi.

Twierdzenie (#) Jeśli przestrzeń $Y$ jest jest lokalnie zwarta, to dla dowolnych przestrzeni $Y,\, Z$ przekształcenie

$\Map(X\times Y, Z) \arr {e}\Map(X, \Map(Y,Z))$

$e(h)(x)(y) :=\hat{h}(x)(y) := h(x,y)$

homeomorfizmem (a więc także bijekcją) przestrzeni odwzorowań z topologią zwarto-otwartą.

Dowód twierdzenia poprzedzimy lematem opisującym topologię w przestrzeni $\Map(X\times Y, Z)$ .

Lemat (#) Zbiory postaci $\langle A\times B, W\rangle$ gdzie $A\subset X$ , $B\subset Y$ są podzbiorami zwartymi, a $W\subset Z$ jest podzbiorem otwartym generują topologię zwarto-otwartą w $\Map (X\times Y, Z)$ .

Dowód: Sprawdzimy, że rodzina zbiorów

$\{A\times B\subset X\times Y\colon A\subset X,\, B\subset Y\, \text{zbiory zwarte}\}$

spełnia założenia Lematu [link]. Niech $X\times Y\supset U\supset C$ będzie otoczeniem podzbioru zwartego. Dla każdego punktu $c\in C$ istnieją zbiory otwarte $U_c\subset X,\, V_c\subset Y$ takie, że $U_c\times V_c\subset U$ , a ze zwartości $C$ można wybrać skończone przykrycie otwarte $U \supset (U_{c_1}\times V_{c_1})\cup\dots\cup (U_{c_n}\times V_{c_n}) \supset C$ . Ponieważ $C$ jest zbiorem zwartym, w to przykrycie można wpisac pokrycie $C$ zbiorami domknietymi $C_i\subset U_{c_i}\times V_{c_i}$ . Zachodzą inkluzje

$\bigcup\limits_{i=1}^np_1(C_i)\times p_2(C_i)\subset \bigcup\limits_{i=1}^nU_{c_i}\times V_{c_i}\subset U$

a zatem znależliśmy przykrycie zbioru $C$ produktami zbiorów zwartych, zawartymi w danym otoczeniu $U\supset C$ . □

Dowód:[Dowód Twierdzenia [link]] Dowód składa się z trzech kroków.

Najpierw musimy wykazać, że przekształcenie $e$ jest dobrze zdefiniowane tzn. dla odwzorowania ciągłego $f:X\times Y\to Z$ przyporządkowane mu odwzorowanie $\hat{h}(x)(y) := h(x,y)$ jest odwzorowaniem ciągłym $X\to \Map(Y,Z)$ . Zauważmy najpierw, że $\forall_{x\in X} \hat h(x)\in\Map (Y,Z)$ , jest to bowiem obcięcie $h$ do poziomicy $\{x\}\times Y$ . Teraz sprawdzimy ciagłość $\hat h\colon X\to \Map(Y,Z)$ . Załóżmy, że $\hat h(x)\in \langle C,W\rangle$ co oznacza, że $h(\{x\}\times C)\subset W$ . Z ciągłości $h$ wynika, że istnieje biór otwarty $G\supset \{x\}\times C$ taki, ze $h(G)\subset W$ , a ze zwartości $C$ wynika (p.Lemat o tubie), ze istnieje otoczenie $U\ni x$ takie, że $U\times C \subset G$ , a więc $\hat h(U)\subset \langle C,W\rangle$ . Zauważmy, że dla poprawnego zedfiniowania przekształcenia $e$ założenie lokalnej zwartości $Y$ nie jest potrzebne.

Przyporządkowanie $h\rightsquigarrow \hat h$ jest oczywiście róznowartościowe. Pokażemy, że jest bijekcją tzn. jeśli odwzorowanie $\hat h\colon X\to \Map(Y,Z)$ jest ciągłe, to odpowiadające mu odwzorowanie $h(x,y) := \hat h(x)(y)$ jest ciągłe. Niech $h(x_0,y_0)\in W$ tzn. $\hat h(x_0)\in \langle \{y_0\}, W\rangle$ , a z ciąglości $\hat h(x_0)$ i lokalnej zwartości $Y$ wynika istnienie otoczenia $V\ni y_0$ takiego, że $\bar V$ jest zbiorem zwartym i $\hat h(x_0)\in \langle \bar V, W\rangle$ . Z ciągłości $\hat h$ wynika, ze istnieje otoczenie $U\ni x_0$ dla którego $\hat h(U)\in \langle \bar V, W\rangle$ , a więc $h(U\times V)\subset W$ co kończy dowód, że przyporządkowanie $h\rightsquigarrow \hat h$ jest bijekcją.

Pozostaje sprawdzić, że jest homoeomorfizmem. W tym celu wystarczy zauważyc, że obraz rodziny zbiorów generujących topologię w $\Map(X\times Y, Z)$ , opisany w Lemacie [link] generuje topologię w $\Map(X, \Map(Y,Z))$ . □