Niech oraz
będą przestrzeniami topologicznymi. Z definicji iloczynu kartezjańskiego i sumy prostej wynika, że przekształcenia zbiorów odwzorowań ciągłych zadane przez rzutowania na współrzędne
(odp. włożenia na składniki
):
![]() |
![]() |
są bijekcjami. Okazuje się, że jeśli w przestrzeniach odwzorowań rozpatrywać topologię zwarto-otwartą, są także homeomorfizmami.
- Rzutowania na współrzędne
zadają homeomorfizm przestrzeni odwzorowań:
- Włożenia
zadają homeomorfizm przestrzeni odwzorowań
Ad 1. Ciagłość odwzorowania









Ad 2. Dowód, że odwzorowanie jest ciągłą bijekcją jest identyczny jak Stw. [link]. Dowód, że rodzina generująca bazę w
przechodzi na rodzinę generującą topologię w produkcie wynika natychmiast z Lematu [link] oraz faktu, że dowolny zwarty podzbiór
jest sumą rozłącznych zwartych zbiorów
. □
Interesujace jest, że w terminach przestrzeni funkcyjnych można opisać odwzorowania dwóch zmiennych jako rodziny odwzorowań jednej zmiennej
parametryzowanie w sposób ciągły przestrzenią
. O przestrzeni
musimy jednak poczynić dodatkowe założenie:






![]() |
![]() |
homeomorfizmem (a więc także bijekcją) przestrzeni odwzorowań z topologią zwarto-otwartą.
Dowód twierdzenia poprzedzimy lematem opisującym topologię w przestrzeni .





![]() |
spełnia założenia Lematu [link]. Niech będzie otoczeniem podzbioru zwartego. Dla każdego punktu
istnieją zbiory otwarte
takie, że
, a ze zwartości
można wybrać skończone przykrycie otwarte
. Ponieważ
jest zbiorem zwartym, w to przykrycie można wpisac pokrycie
zbiorami domknietymi
. Zachodzą inkluzje
![]() |
a zatem znależliśmy przykrycie zbioru produktami zbiorów zwartych, zawartymi w danym otoczeniu
. □
Najpierw musimy wykazać, że przekształcenie jest dobrze zdefiniowane tzn. dla odwzorowania ciągłego
przyporządkowane mu odwzorowanie
jest odwzorowaniem ciągłym
. Zauważmy najpierw, że
, jest to bowiem obcięcie
do poziomicy
. Teraz sprawdzimy ciagłość
. Załóżmy, że
co oznacza, że
. Z ciągłości
wynika, że istnieje biór otwarty
taki, ze
, a ze zwartości
wynika (p.Lemat o tubie), ze istnieje otoczenie
takie, że
, a więc
. Zauważmy, że dla poprawnego zedfiniowania przekształcenia
założenie lokalnej zwartości
nie jest potrzebne.
Przyporządkowanie jest oczywiście róznowartościowe. Pokażemy, że jest bijekcją tzn. jeśli odwzorowanie
jest ciągłe, to odpowiadające mu odwzorowanie
jest ciągłe. Niech
tzn.
, a z ciąglości
i lokalnej zwartości
wynika istnienie otoczenia
takiego, że
jest zbiorem zwartym i
. Z ciągłości
wynika, ze istnieje otoczenie
dla którego
, a więc
co kończy dowód, że przyporządkowanie
jest bijekcją.
Pozostaje sprawdzić, że jest homoeomorfizmem. W tym celu wystarczy zauważyc, że obraz rodziny zbiorów generujących topologię w , opisany w Lemacie [link] generuje topologię w
. □