Topologia $\mathcal{T}_{co}$ a produkt kartezjański

Niech $ X,\, Y $ oraz $ X_i,Y_i,\, i=1,2 $ będą przestrzeniami topologicznymi. Z definicji iloczynu kartezjańskiego i sumy prostej wynika, że przekształcenia zbiorów odwzorowań ciągłych zadane przez rzutowania na współrzędne $ p_i\colon Y_1\times Y_2 \to Y_i,\, i=1,2 $ (odp. włożenia na składniki $ \iota_k\colon X_k\to X_1\coprod X_2,\, k=1,2 $):

$$(p_{1*},p_{2*})\colon \Map (X,Y_1\times Y_2) \arr {\simeq} \Map (X,Y_1)\times \Map (X,Y_2)$$
$$(\iota_1^*,\iota_2^*)\colon \Map (X_1\coprod X_2,Y) \to \Map (X_1,Y)\times \Map (X_2,Y).$$

są bijekcjami. Okazuje się, że jeśli w przestrzeniach odwzorowań rozpatrywać topologię zwarto-otwartą, są także homeomorfizmami.

Stwierdzenie (#)

  1. Rzutowania na współrzędne $ p_i\colon Y_1\times Y_2 \to Y_i,\, i=1,2 $ zadają homeomorfizm przestrzeni odwzorowań:
    $$(p_{1*},p_{2*})\colon \Map (X,Y_1\times Y_2) \arr {\simeq} \Map (X,Y_1)\times \Map (X,Y_2)$$
  2. Włożenia $ \iota_k\colon X_k\to X_1\coprod X_2,\, k=1,2 $ zadają homeomorfizm przestrzeni odwzorowań
    $$(\iota_1^*,\iota_2^*)\colon \Map (X_1\coprod X_2,Y) \to \Map (X_1,Y)\times \Map (X_2,Y).$$
Dowód:
Ad 1. Ciagłość odwzorowania $ (p_{1*},p_{2*}) $ wynika z Stw. [link] a z definicji produktu kartezjańskiego iż jest bijekcją. Wystarczy więc pokazać iż jest otwarte. Na mocy Lematu [link] topologia w $ \Map (X,Y_1\times Y_2) $ jest generowana przez zbiory postaci $ \langle C, p_i^{-1}(W_i)\rangle $ gdzie $ i=1,2,\, W_i\in\sT_{Y_i},\, C\subset X $ -- zwarty. Dla $ i=1 $ zachodzi równość zbiorów $ (p_{1*},p_{2*})(\langle C, p_1^{-1}(W_1)\rangle) = \langle C,W_1\rangle \times \Map (X,Y_2) $ i podobnie dla $ i=2 $, a więc obrazy zbiorów generujących topologię w $ \Map (X,Y_1\times Y_2) $ generują topologię w produkcie $ \Map (X,Y_1)\times \Map (X,Y_2) $.

Ad 2. Dowód, że odwzorowanie $ (\iota_1^*,\iota_2^*) $ jest ciągłą bijekcją jest identyczny jak Stw. [link]. Dowód, że rodzina generująca bazę w $ \Map (X_1\coprod X_2,Y) $ przechodzi na rodzinę generującą topologię w produkcie wynika natychmiast z Lematu [link] oraz faktu, że dowolny zwarty podzbiór $ C\subset X_1\coprod X_2 $ jest sumą rozłącznych zwartych zbiorów $ C = (C\cap X_1)\cup (C\cap X_2) $. □

Interesujace jest, że w terminach przestrzeni funkcyjnych można opisać odwzorowania dwóch zmiennych $ f\colon X\times Y\to Z $ jako rodziny odwzorowań jednej zmiennej $ f_x\colon Y\to Z,\, f_x(y) := F(x,y) $ parametryzowanie w sposób ciągły przestrzenią $ X $. O przestrzeni $ Y $ musimy jednak poczynić dodatkowe założenie:

Definicja Przestrzeń Hausdorffa $ (Y,\sT_Y) $ nazywa się lokalnie zwarta jeśli każdy punkt $ y\in Y $ posiada otoczenie $ V\ni y $ takie, że jego domknięcie $ \op{cl}_Y(V) $ jest zbiorem zwartym.
Uwaga Przestrzenie zwarte są lokalnie zwarte. Przestrzenie euklidesowe nie są zwarte, lecz są lokalnie zwarte, bowiem domknięcia kul euklidesowych sa zbiorami domknętymi i ograniczonymi, a więc zwartymi.
Twierdzenie (#) Jeśli przestrzeń $ Y $ jest jest lokalnie zwarta, to dla dowolnych przestrzeni $ Y,\, Z $ przekształcenie

$$\Map(X\times Y, Z)  \arr {e}\Map(X, \Map(Y,Z))$$
$$ e(h)(x)(y) :=\hat{h}(x)(y) := h(x,y)$$

homeomorfizmem (a więc także bijekcją) przestrzeni odwzorowań z topologią zwarto-otwartą.

Dowód twierdzenia poprzedzimy lematem opisującym topologię w przestrzeni   $ \Map(X\times Y, Z) $.

Lemat (#) Zbiory postaci $ \langle A\times B, W\rangle $ gdzie $ A\subset X $, $ B\subset Y $ są podzbiorami zwartymi, a $ W\subset Z $ jest podzbiorem otwartym generują topologię zwarto-otwartą w $ \Map (X\times Y, Z) $.
Dowód: Sprawdzimy, że rodzina zbiorów

$$\{A\times B\subset X\times Y\colon A\subset X,\, B\subset Y\, \text{zbiory zwarte}\}$$

spełnia założenia Lematu [link]. Niech $ X\times Y\supset U\supset C $ będzie otoczeniem podzbioru zwartego. Dla każdego punktu $ c\in C $ istnieją zbiory otwarte $ U_c\subset X,\, V_c\subset Y $ takie, że $ U_c\times V_c\subset U $, a ze zwartości $ C $ można wybrać skończone przykrycie otwarte $ U \supset (U_{c_1}\times V_{c_1})\cup\dots\cup (U_{c_n}\times V_{c_n}) \supset C $. Ponieważ $ C $ jest zbiorem zwartym, w to przykrycie można wpisac pokrycie $ C $ zbiorami domknietymi $ C_i\subset U_{c_i}\times V_{c_i} $. Zachodzą inkluzje

$$\bigcup\limits_{i=1}^np_1(C_i)\times p_2(C_i)\subset \bigcup\limits_{i=1}^nU_{c_i}\times V_{c_i}\subset U$$

a zatem znależliśmy przykrycie zbioru $ C $ produktami zbiorów zwartych, zawartymi w danym otoczeniu $ U\supset C $. □

Dowód:[Dowód Twierdzenia [link]] Dowód składa się z trzech kroków.

Najpierw musimy wykazać, że przekształcenie $ e $ jest dobrze zdefiniowane tzn. dla odwzorowania ciągłego $ f:X\times Y\to Z $ przyporządkowane mu odwzorowanie $ \hat{h}(x)(y) := h(x,y) $ jest odwzorowaniem ciągłym $ X\to \Map(Y,Z) $. Zauważmy najpierw, że $ \forall_{x\in X} \hat h(x)\in\Map (Y,Z) $, jest to bowiem obcięcie $ h $ do poziomicy $ \{x\}\times Y $. Teraz sprawdzimy ciagłość $ \hat h\colon X\to \Map(Y,Z) $. Załóżmy, że $ \hat h(x)\in \langle C,W\rangle $ co oznacza, że $ h(\{x\}\times C)\subset W $. Z ciągłości $ h $ wynika, że istnieje biór otwarty $ G\supset \{x\}\times C $ taki, ze $ h(G)\subset W $, a ze zwartości $ C $ wynika (p.Lemat o tubie), ze istnieje otoczenie $ U\ni x $ takie, że $ U\times C \subset G $, a więc $ \hat h(U)\subset  \langle C,W\rangle $. Zauważmy, że dla poprawnego zedfiniowania przekształcenia $ e $ założenie lokalnej zwartości $ Y $ nie jest potrzebne.

Przyporządkowanie $ h\rightsquigarrow \hat h $ jest oczywiście róznowartościowe. Pokażemy, że jest bijekcją tzn. jeśli odwzorowanie $ \hat h\colon X\to \Map(Y,Z) $ jest ciągłe, to odpowiadające mu odwzorowanie $ h(x,y) := \hat h(x)(y) $ jest ciągłe. Niech $ h(x_0,y_0)\in W $ tzn. $ \hat h(x_0)\in \langle \{y_0\}, W\rangle $, a z ciąglości $ \hat h(x_0) $ i lokalnej zwartości $ Y $ wynika istnienie otoczenia $ V\ni y_0 $ takiego, że $ \bar V $ jest zbiorem zwartym i $ \hat h(x_0)\in \langle \bar V, W\rangle $. Z ciągłości $ \hat h $ wynika, ze istnieje otoczenie $ U\ni x_0 $ dla którego $ \hat h(U)\in \langle \bar V, W\rangle $, a więc $ h(U\times V)\subset W $ co kończy dowód, że przyporządkowanie $ h\rightsquigarrow \hat h $ jest bijekcją.

Pozostaje sprawdzić, że jest homoeomorfizmem. W tym celu wystarczy zauważyc, że obraz rodziny zbiorów generujących topologię w $ \Map(X\times Y, Z) $, opisany w Lemacie [link] generuje topologię w $ \Map(X, \Map(Y,Z)) $. □