Topologia $\mathcal{T}_{co}$ a zbieżność jednostajna

Niech $ (Y,d) $ będzie przestrzenią metryczną. Rozważając zbiór przekształceń ciągłych $ (X,\sT_X)\to (Y,\sT(d)) $ zauważamy, że metrykę $ d_{\sup}(f,g) := \sup_{x\in X} d(f(x),g(x)) $ można zdefiniować sensownie jedynie w podzbiorze składającym się z przekształceń ograniczonych, podczas gdy topologia zwarto-otwarta określona jest w całym zbiorze $ \Map (X,Y) $. Zajmiemy się obecnie porównaniem topologii $ \sT(d_{\sup}) $ w zbiorze ograniczonych przekształceń ciągłych $ \Map_b(X,Y) $ oraz topologii podprzestrzeni pochodzącej z topologii zwarto-otwartej w $ \Map (X,Y) $.

Stwierdzenie Dla dowolnej przestrzeni topologicznej $ (X,\sT_X) $ i przestrzeni metrycznej $ (Y,d) $ w zbiorze $ \Map_b(X,Y) $ zachodzi inkluzja topologii $ \sT_{co}\subset \sT(d_{\sup}) $. Jeśli $ X $ jest zwarta, to $  \sT_{co}=\sT(d_{\sup}) $.
Dowód: Wystarczy pokazać, że dowolny zbiór generujący topologię $ \sT_{co} $ należy do topologii $ \sT(d_{\sup}) $. Na mocy Lematu [link] wystarczy sprawdzić to dla zbiorów postaci $ \langle C,B_d(y_0,r)\rangle $ gdzie $ C\subset X $ jest podzbiorem zwartym, a $ B(y_0,r) $ kulą w przestrzeni $ (Y,d) $. Niech $ f\in \langle C,B(y_0,r)\rangle $ Odwzorowanie $ d(y_0, f(-))\colon X\to \R $ jest ciągłe, zatem ze zwartości $ C $ wynika, że przyjmuje swoje kresy; kres górny oznaczmy $ 0<r_0 < r $, a przez $ r_1:= \frac12 (r-r_0) >0 $. Twierdzimy, że kula $ B_{d_{\sup}}(f,r_1 )\subset \langle C,B_d(y_0,r)\rangle $ .

Niech $ g\in B_{d_{\sup}}(f,r_1) $. Dla dowolnego $ x\in C $ zachodzą nierówności:

$$d(y_0,g(x))\leq d(y_0,f(x)) + d(f(x),g(x)) \leq r_0 + r_1 = r_0 +\frac12 (r-r_0) < r$$

a więc dla dowolnego elementu $ f\in \langle C,B_d(y_0,r)\rangle $ istnieje kula w metryce $ d_{\sup} $ o środku w tym punkcie, zawarta w $  \langle C,B_d(y_0,r)\rangle $.

Wykażemy teraz równość topologii $  \sT_{co}=\sT(d_{\sup}) $, gdy $ X $ jest przestrzenią zwartą. W tym celu trzeba pokazać, że dla dowolnej kuli $ B_{d_{\sup}}(f,r) $ istnieje zbiór postaci $ \langle C_1,W_1\rangle\cap\dots\cap\langle C_n,W_n\rangle $ taki, że

$$f\in \langle C_1,W_1\rangle\cap\dots\cap \langle C_n,W_n\rangle \subset B_{d_{\sup}}(f,r)$$

Dla każdego $ x\in X $ wybierzmy otoczenie $ U_x\ni x $ takie, że \newline $ f(\bar U_x)\subset B_d(f(x),\frac{r}{3}) =: B_x $. Na mocy zwartości $ X $ z pokrycia $ \{U_x\}_{x\in X} $ można wybrać pokrycie skończone $ U_{x_1}\cup\dots\cup U_{x_n} = X $. Pokażemy, że dowolny element $ g\in \langle \bar U_{x_1},B_{x_1}\rangle \cap\dots\cap\langle\bar U_{x_n},B_{x_n}\rangle $ należy do kuli $ B_{d_{\sup}}(f,r) $. Dla dowolnego $ x\in X $ wybierzmy $ U_i\ni x $. Zachodzą nierówności:

$$d(f(x),g(x)) \leq d(f(x),f(x_i))+d(f(x_i),g(x)) \leq \frac{r}{3} + \frac{r}{3} < r$$

oraz z definicji $ f\in \langle \bar U_{x_1},B_{x_1}\rangle \cap\dots\cap\langle\bar U_{x_n},B_{x_n}\rangle \subset B_{d_{\sup}}(f,r). $

    

Topolgia zwarto -otwarta jest nazywana także topologią zbieżności niemal jednostajnej. Żeby wyjaśnić skojarzenie z nazwą znaną z Analizy Matematycznej udowodnimy najpierw ogólny fakt dotyczący obcinania przekształceń do podzbiorów zwartych. Niech $ (X,\sT_X), (Y,\sT_Y) $ będą dowolnymi przestrzeniami Hausdorffa. Dla dowolnego zwartego podzbioru $ C\subset X $ inkluzja definiuje ciagłe odwzorowanie $ \iota_C^*\colon\Map (X,Y)\to \Map (C,Y) $.

Stwierdzenie Niech $ \sC $ oznacza rodzinę wszystkich zwartych podzbiorów przestrzeni $ X $. Przekątna rodziny odwzorowań $ \{\iota_C^*\}_{C\in\sC} $

$$\iota_{\sC}^*\colon \Map (X,Y) \to \prod\limits_{C\in\sC}\Map (C,Y)\quad \iota_{\sC}^*(f) := \{f|_C\}_{C\in\sC} $$

jest zanurzeniem homeomorficznym.

Dowód: Odwzorowanie $ \iota_{\sC}^* $ jest oczywiście różnowartościowe, bo zbiory jednopunktowe są zwarte. Topologia w produkcie $ \prod\limits_{C\in\sC}\Map (C,Y) $ jest generowana przez zbiory $ p_C^{-1}(\langle K,W\rangle) $ gdzie $ K\subset C $, $ W\in\sT_Y $, a więc topologia podprzestrzeni jest generowana przez przecięcia tych zbiorów z obrazem $ \iota_{\sC}(\Map (X,Y)). $ Z definicji zachodzi równość zbiorów

$$\iota_{\sC}(\Map (X,Y))\cap p_C^{-1}(\langle K,W\rangle) = \iota_{\sC}(\langle K,W\rangle)$$

a więc topologia podprzestrzeni jest generowana przez obrazy zbiorów generujących topologię w $ \Map (X,Y) $. □

Stwierdzenie Ciąg odwzorowań $ f_n\in\Map (X,Y) $ jest zbieżny w topologii zwarto-otwartej do odwzorowania $ f\in\Map (X,Y) $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru zwartego $ C\subset X $, ciąg $ f_n|_C\in \Map (C,Y) $ jest zbieżny do $ f|_C\in \Map (C,Y) $.

Z ostatniego wniosku wynika, że jeśli $ (Y,d) $ jest przestrzenią metryczną to zbieżność w sensie topologii zwarto\dywiz otwartej w $ \Map (X,Y) $ jest dokładnie znaną z Analizy Matematycznej zbieżnością niemal jednostajną (czyli na zbiorach zwartych).

Na zakończenie podsumujmy związki między trzema topologiami w przestrzeniach odwzorowań: zbieżności punktowej, zwarto\dywiz otwartą i zbieżności jednostajnej.

Twierdzenie Dla dowolnych przestrzeni Hausdorffa $ (X,\sT_X),\, (Y,\sT_Y) $ w zbiorze $ \Map (X,Y) $ zachodzi inkluzja topologii $ \sT_p \subset \sT_{co} $.

  1. Jeśli $ (X,\sT) $ jest przestrzenia dyskretną, to $ \sT_p =\sT_{co} $.
  2. Jeśli $ (Y,d) $ jest przestrzenią metryczną i $ \Map_b (X,Y) $ zbiorem ograniczonych, ciągłych odwzorowań, to zachodzi inkluzja topologii $ \sT_{co}|\Map_b (X,Y) \subset \sT(d_{\sup}) $.
  3. Jeśli przestrzeń $ (X,\sT_X) $ jest zwarta, to $ \sT_{co}=\sT(d_{\sup}) $.