Topologia zwarto-otwarta

Niech $ (X,\sT_X),\, (Y,\sT_Y) $ będą przestrzeniami Hausdorffa. Zbiór przekształceń ciągłych $ \Map\, (X,Y) $ , który można utożsamiać z podzbiorem produktu kartezjańskiego $ \prod_{x\in X} Y_x $ gdzie dla każdego $ x\in X $, $ Y_x=Y $. Zbiór $ \Map\, (X,Y) $ można więc rozpatrywać z topologią podprzestrzeni produktu kartezjańskiego. Topologia ta nazywa się topologią zbieżności punktowej, bo zbieżność ciągu elementów iloczynu kartezjańskiego jest równoważna zbieżności wszystkich ciągów współrzędnych. Topologię tę oznaczamy $ \sT_{p} $ i nazywamy topologią zbieżności punktowej. Topologia ta jest całkowicie wyznaczona przez topologię w $ Y $, a topologia w $ X $ określa jedynie jakie funkcje należą do $ \Map\, (X,Y) $. W przestrzeniach odwzorowań definiuje się więc subtelniejszą topologię, zwaną topologią zwarto-otwartą, lub topologią zbieżności niemal jednostajnej.

Definicja [Topologia zwarto-otwarta](#) $ (X,\sT_X), (Y,\sT_Y) $ -- przestrzenie Hausdorffa. Topologią zwarto-otwartą, oznaczaną $ \sT_{co} $ nazywamy topologię w zbiorze $ \Map\, (X,Y) $ generowaną przez rodzinę zbiorów

$$\{\langle A, W\rangle \ |\ A\subset X\, \text{zwarty},\, W\subset Y \text{otwarty}\},$$

gdzie $ \langle A,W\rangle := \{f\in\Map (X,Y) \ | f(A)\subset W\} $.

Z definicji topologii generowanej przez rodzinę podzbiorów wynika, że bazą topologii zwarto-otwartej są skończone przecięcia zbiorów postaci $ \langle A,W\rangle $ czyli zbiory $  \langle A_1,W_1\rangle\cap\dots\cap \langle A_n,W_n\rangle $ gdzie $ A_i\subset X $ są podzbiorami zwartymi, a $ W_i\subset Y $ podzbiorami otwartymi.

Stwierdzenie Dla dowolnych przestrzeni Hausdorffa zachodzi inkluzja topologii $ \sT_{p}\subset \sT_{co} $, a jeśli $ (X,\sT) $ jest przestrzenią dyskretną, to $ \sT_{p}=\sT_{co}. $
Dowód: Podzbiory skończone przestrzeni Hausdorffa są zbiorami zwartymi. Zbiory postaci $ \langle F,W\rangle $ gdzie $ F\subset X $ jest podzbiorem skończonym (a nawet jednopunktowym) generują topologię podprzestrzeni w iloczynie kartezjańskim. □
Stwierdzenie $ (\Map\, (X,Y),\sT_{co}) $ jest przestrzenią Hausdorffa.
Dowód: Wynika z poprzedzającego Stwierdzenia oraz faktu,ze iloczyn kartezjański przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią Hausdorffa. □

Zanim przejdziemy do dokładniejszej analizy topologii zwarto-otwartej odnotujmy teorio-mnogościowe własności konstrukcji zbiorów postaci $ \langle A,W\rangle . $

Lemat Niech $ X,Y $ będą dowolnymi zbiorami oraz $ A\subset X,\, W\subset W $ ich podzbiorami. $ \langle A,W\rangle := \{f\in\Map (X,Y) \ | f(A)\subset W\} $. Dla rodzin podzbiorów odpowiednio w $ X $ i $ Y $ zachodzą następujące równości i inkluzje zbiorów:

$$1)\,\bigcap\limits_{i\in J} \langle A_i,W\rangle = \langle\bigcup\limits_{i\in J} A_i,W\rangle \quad  2)\, \bigcap\limits_{i\in J}\langle A,W_i\rangle = \langle A,\bigcap\limits_{i\in J}  W_i\rangle$$
$$3)\, \bigcap\limits_{i\in J} \langle A_i,W_i\rangle\subset \langle\bigcup\limits_{i\in J} A_i, \bigcup\limits_{i\in J} W_i\rangle $$
Dowód: Dowody 1), 2), 3) wynikają natychmiast z definicji. □

Okazuje się, że rodzinę zbiorów potrzebną do generowania topologii zwarto-otwartej można istotnie ograniczyć, korzystając z rodziny generującej topologię w $ (Y,\sT_Y) $ , np. z jej bazy.

Lemat (#) Jeśli $ \sT_Y = \sT(\sF) $ to rodzina $ \{\langle A, W\rangle \ |\ A\subset X \,\text{zwarty,}\, W\in \rodz F\} $ generuje topologię zwarto-otwartą na $ \Map (X,Y) $.
Dowód: Oczywiście rodzina $ \rodz F_{\Map} := \{\langle  A, W \rangle \, |\ A\subset X \,\text{zwarty,}\, W\in \rodz F\} $ jest zawarta w rodzinie generujacej topologię zwarto -- otwartą (Def. [link]). Trzeba więc pokazać, że dowolny zbiór postaci $ \langle A,W\rangle  $ gdzie $ A\subset X $ jest zwarty, a $ W\subset Y $ jest otwarty jest zawarty w topologii generowanej przez rodzinę $ \rodz F_{\Map} $.

Z definicji topologii generowanej wynika, że dowolny zbiór $ W\in\sT(\sF) $ jest sumą skończonych przecięć zbiorów z rodziny $ \sF $. Zauważmy najpierw, że jeśli $ W = W_1\cap\dots\cap W_n $ gdzie $ W_i\in\sF $, to

$$\langle A,W\rangle = \langle A, \bigcap_{1}^n W_i\rangle = \bigcap_{1}^n \langle A, W_i\rangle \in \sT(\sF_{\Map}).$$

Pokażemy teraz, że jeśli $ W = \bigcup\limits_{s\in S} W_s $ oraz dla każdego zwartego podzbioru $ A\subset X $ oraz każdego $ s\in S, \,  \langle A,W_s\rangle\in \sT(\sF_{\Map}) $ to $ \langle A,W\rangle\in \sT(\sF_{\Map}) $. W tym celu trzeba pokazać, że dla dowolnego $ f\in \langle A,W\rangle $ istnieje zbiór taki, że $ f\in \langle A_1,W_1\rangle\cap\dots\cap \langle A_n,W_n\rangle \subset \langle A,W\rangle $ gdzie $ A_i\subset X $ są podzbiorami zwartymi oraz $ \langle A_i,W_i\rangle\in \sT(\sF_{\Map}) $.

Dla dowolnego punktu $ a\in A $ istnieje $ s(a)\in S $ taki, że $ f(a)\subset W_{s(a)} $, a więc z ciągłości $ f $ wynika, ze istnieje otoczenie $ a\in \op{cl}_A (V_a) \subset A $ takie, że $ f(\op{cl}_A(V_a))\subset W_{s(a)} $. Zbiory $ \{(V_a\}_{a\in A} $ tworzą otwarte pokrycie zbioru zwartego $ A $, można więc wybrać skończone podpokrycie $ V_{a_1}\cup\dots\cup V_{a_n} = A $. Przecięcie zbiorów $ \bigcap\limits_{i=1}^n\langle A_{a_i},W_{a_i}\rangle $ spełnia nasze wymagania:

$$ f\in \langle A_{a_1},W_{a_1}\rangle\cap\dots\cap \langle A_{a_n},W_{a_n}\rangle \subset (\bigcup\limits_{i=1}^n A_{a_i}, \bigcup\limits_{i=1}^n W_{a_i}) \subset \langle A,W\rangle .$$

Pożyteczne bywa też ograniczenie klasy zbiorów zwartych używanych do generowania topologii zwarto-otwartej:

Lemat (#) Niech $ \sC = \{C_s \}_{s\in S} $ będzie rodziną zwartych zbiorów w $ (X,\sT_X) $ z następującą własnością: dla każdego zbioru zwartego $ A\subset X $ i otwartego $ U \supset A $ istnieje skończenie wiele $ C_i\in \sC $ spełniających $ A\subset \bigcup_1^n C_i \subset U. $ Niech $ \sB\subset\sT_Y $ będzie pewną bazą. Wtedy rodzina

$$\sF(\sC,\sB) := \{\langle C,W\rangle \ |\ C\in \rodz{F}, W\in \rodz{B}\}$$

generuje topologię zwarto -- otwartą w $ \Map (X,Y) $.

Dowód: Na mocy Lematu [link] wiemy, że $ \sT(\sF_{co}) = \sT(\sF (All, \sB)) $ gdzie $ All $ oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów zwartych, baza generuje topologię. Ponieważ $ \sF(\sC,\sB)\subset \sT(\sF (All, \sB)) $ więc podobnie jak w poprzednim lemacie, wystarczy wykazać że dla każdego elementu zbioru $ f\in \langle C,W\rangle  $ istnieją zbiory zwarte $ C_{s_1},...,C_{s_n} \in\sC $ oraz otwarte $ W_1,\dots,W_n \in\sB $ takie, że $  f\in \langle A_{1},W_{1}\rangle\cap\dots\cap \langle A_{n},W_{n}\rangle \subset \langle C,W\rangle $. Rozważmy zbiór otwarty $ U:= f^{-1}(W)\supset C $, z założenia istnieje skończona rodzina zbiorów $ C_{s_1},\dots ,C_{s_n}\in\sC $ taka, że $ C\subset \bigcup\limits_{i=1}^n C_{s_i} \subset U $. Przecięcie zbiorów $ \bigcap\limits_{i=1}^n\langle C_{s_i},W_{a_i}\rangle $ spełnia nasze wymagania:

$$f\in \bigcap\limits_{i=1}^n\langle C_{s_i},W\rangle = \langle\bigcup\limits_{i=1}^n  C_{s_i},W\rangle \subset \langle C,W\rangle.$$

Zbadamy przekształcenia ciągłe przestrzeni $ \Map (X,Y) $ pochodzące od odwzorowań $ X\to X' $ i $ Y\to Y' $.

Stwierdzenie (#) $ f\colon (X,\sT_X) \to (X',\sT_{X'}),\, g\colon (Y,\sT_Y) \to (Y',\sT_{Y'}) $ -- odwz. ciągłe. Odwzorowania

$$f^*:\Map (X',Y)\to \Map(X,Y),\, f^*(\phi) := \phi\circ f $$
$$ g_*:\Map (X,Y)\to \Map(X,Y')\, \, g_*(\psi) := g\circ\psi$$

są ciągłe w topologii zwarto-otwartej oraz zachodzą równości $ (f_1\circ f_2)_* = f_2^*\circ f_1^*, \, (g_1\circ g_2)_* = g_{1*}\circ  g_{2*},\ Id_X^* = Id,\, Id_{Y*} = Id $.

Dowód: Ciągłość wynika łatwo z teorio-mnogościowych własności zbiorów generujących topologię. Żeby sprawdzić, iż $ f^* $ jest ciągłe wystarczy zauważyć, że dla zbiorów generujących topologię w $ \Map (X,Y) $ zachodzi: $ (f^*)^{-1}(\langle C,W\rangle) = \langle f(C), W\rangle $, a więc jest zbiorem otwartym w $ \Map (X',Y) $. Podobnie $ (g_*)^{-1}(\langle C,W'\rangle) = (\langle C, g^{-1}(W')\rangle) $ jest zbiorem otwartym w $ \Map (X,Y) $. □
Uwaga Jeśli $ Y=Y'=\R^n $, to odwzorowanie $ f^* $ jest liniowe. Jeśli $ Y=\R^n,\, Y=\R^m' $ a $ g:\R^n\to \R^m $ jest odwzorowaniem liniowym, to $ g_* $ też jest liniowe.