Topologie i przestrzenie topologiczne

Definicja topologii w dowolnym zbiorze jest motywowana własnościami podzbiorów prostej rzeczywistej będących sumami mnogościowymi odcinków otwartych, czyli takich podzbiorów $ U\subset\R $, że dla każdego punktu $ {x\in U} $ istnieją liczby $ {s<x<t} $ takie, że $ (s,t)\subset U. $ Istotnie, ciągłość funkcji rzeczywistej, zdefiniowana przez Cauchy (Paris 1789 - Sceaux (near Paris) 1857)

Definicja Niech $ f\colon\R\to\R $ będzie będzie funkcją rzeczywistą. Mówimy, że $ f $ jest ciągła jeśli dla każdego punktu $ x_0\in\R $ i dla każdej liczby $ \epsilon >0 $ istnieje liczba $ \delta >0 $ taka, że zachodzi implikacja: $  |x_0 - x| < \delta\quad \implies\quad  |f(x_0) - f(x)| < \epsilon. $

może być określona odwołując się jedynie do odcinków otwartych:

Stwierdzenie Funkcja $ f\colon\R\to\R $ jest ciagła wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego odcinka otwartego $ (c,d)\subset\R $ i dowolnego punktu $ x\in f^{-1}((c,d)) $ istnieje odcinek owarty $ (a,b)\ni x $ taki, że $ (a,b)\subset f^{-1}((c,d)) $, czyli przeciwobraz $ f^{-1}((c,d)) $ jest sumą mnogościową odcinków otwartych. □

Łatwo zauważyć, że przecięcie skończonej rodziny sum odcinków otwartych jest sumą odcinków otwartych. Mamy zatem następującą definicję topologii w dowolnym zbiorze:

Definicja (#) Niech $ X $ będzie zbiorem. Topologią w zbiorze $ X $ nazywamy rodzinę podzbiorów $ \sT\subset \sP (X) $ taką, że:

  1. $ \emptyset, X \in \cal T $
  2. Dla dowolnej rodziny zbiorów $ \{U_i\}_{i\in I} $ takich, że $ U_i\in \cal T $ suma mnogościowa $ \bigcup_{i\in I}U_i\in\cal T $
  3. Dla dowolnej skończonej rodziny zbiorów $ \{U_i\}_{i\in I} $ takich, że $ U_i\in\cal T $ ich część wspólna $ \bigcap_{i\in I}U_i\in\cal T $

Przestrzenią topologiczną nazywamy parę $ (X,\sT) $, gdzie $ X $ jest zbiorem, a $ {\sT} $ ustaloną topologią. Zbiory należące do $ \sT $ nazywa się otwartymi w przestrzeni topologicznej $ (X,{\sT}) $.

     Zauważmy kilka własności topologii jako podzbiorów zbioru potęgowego $ \sP(X) $, czyli zbioru wszystkich podzbiorów zbioru $ X $, oznaczanego też czasem $ 2^X $:

  • Zbiór topologii w $ X $ jest częściowo uporządkowany przez inkluzję rodzin.
  • W dowolnym zbiorze $ X $ definiuje się dwie topologie: minimalną (antydyskretną) $ {\cal T}_{\alpha\delta} = \{\emptyset , X\} $ oraz maksymalną (dyskretną) $ {\cal T}_{\delta} = {\cal P}(X). $ Dla dowolnego zbioru $ X $ przestrzeń $ (X,\sT_{\alpha\delta}) $ nazywamy przestrzenią antydyskretną, a przestrzeń $ (X,\sT_{\delta}) $ nazywamy przestrzenią dyskretną.
  • Dla dowolnej topologii $ \cal T $ w $ X:\quad {\cal T}_{\alpha\delta} \subset {\cal T} \subset {\cal T}_{\delta} $.
Stwierdzenie Jeśli $ \{{\cal T}_s\}_{s\in S} $ jest rodziną topologii w zbiorze $ X $, to ich przecięcie $ \bigcap\limits_{s\in S}  {\cal T}_s $ też jest topologią.