Definicja topologii w dowolnym zbiorze jest motywowana własnościami podzbiorów prostej rzeczywistej będących sumami mnogościowymi odcinków otwartych, czyli takich podzbiorów , że dla każdego punktu
istnieją liczby
takie, że
Istotnie, ciągłość funkcji rzeczywistej, zdefiniowana przez Cauchy (Paris 1789 - Sceaux (near Paris) 1857)






może być określona odwołując się jedynie do odcinków otwartych:






Łatwo zauważyć, że przecięcie skończonej rodziny sum odcinków otwartych jest sumą odcinków otwartych. Mamy zatem następującą definicję topologii w dowolnym zbiorze:



-
- Dla dowolnej rodziny zbiorów
takich, że
suma mnogościowa
- Dla dowolnej skończonej rodziny zbiorów
takich, że
ich część wspólna
Przestrzenią topologiczną nazywamy parę , gdzie
jest zbiorem, a
ustaloną topologią. Zbiory należące do
nazywa się otwartymi w przestrzeni topologicznej
.
Zauważmy kilka własności topologii jako podzbiorów zbioru potęgowego , czyli zbioru wszystkich podzbiorów zbioru
, oznaczanego też czasem
:
- Zbiór topologii w
jest częściowo uporządkowany przez inkluzję rodzin.
- W dowolnym zbiorze
definiuje się dwie topologie: minimalną (antydyskretną)
oraz maksymalną (dyskretną)
Dla dowolnego zbioru
przestrzeń
nazywamy przestrzenią antydyskretną, a przestrzeń
nazywamy przestrzenią dyskretną.
- Dla dowolnej topologii
w
.


