Topologie i przestrzenie topologiczne | Portal Dydaktyczny dla Matematyków

Definicja topologii w dowolnym zbiorze jest motywowana własnościami podzbiorów prostej rzeczywistej będących sumami mnogościowymi odcinków otwartych, czyli takich podzbiorów $U\subset\R$ , że dla każdego punktu ${x\in U}$ istnieją liczby ${s<x<t}$ takie, że $(s,t)\subset U.$ Istotnie, ciągłość funkcji rzeczywistej, zdefiniowana przez Cauchy (Paris 1789 - Sceaux (near Paris) 1857)

Definicja Niech $f\colon\R\to\R$ będzie będzie funkcją rzeczywistą. Mówimy, że $f$ jest ciągła jeśli dla każdego punktu $x_0\in\R$ i dla każdej liczby $\epsilon >0$ istnieje liczba $\delta >0$ taka, że zachodzi implikacja: $|x_0 - x| < \delta\quad \implies\quad |f(x_0) - f(x)| < \epsilon.$

może być określona odwołując się jedynie do odcinków otwartych:

Stwierdzenie Funkcja $f\colon\R\to\R$ jest ciagła wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego odcinka otwartego $(c,d)\subset\R$ i dowolnego punktu $x\in f^{-1}((c,d))$ istnieje odcinek owarty $(a,b)\ni x$ taki, że $(a,b)\subset f^{-1}((c,d))$ , czyli przeciwobraz $f^{-1}((c,d))$ jest sumą mnogościową odcinków otwartych. □

Łatwo zauważyć, że przecięcie skończonej rodziny sum odcinków otwartych jest sumą odcinków otwartych. Mamy zatem następującą definicję topologii w dowolnym zbiorze:

Definicja (#) Niech $X$ będzie zbiorem. Topologią w zbiorze $X$ nazywamy rodzinę podzbiorów $\sT\subset \sP (X)$ taką, że:

$\emptyset, X \in \cal T$
Dla dowolnej rodziny zbiorów $\{U_i\}_{i\in I}$ takich, że $U_i\in \cal T$ suma mnogościowa $\bigcup_{i\in I}U_i\in\cal T$
Dla dowolnej skończonej rodziny zbiorów $\{U_i\}_{i\in I}$ takich, że $U_i\in\cal T$ ich część wspólna $\bigcap_{i\in I}U_i\in\cal T$

Przestrzenią topologiczną nazywamy parę $(X,\sT)$ , gdzie $X$ jest zbiorem, a ${\sT}$ ustaloną topologią. Zbiory należące do $\sT$ nazywa się otwartymi w przestrzeni topologicznej $(X,{\sT})$ .

Zauważmy kilka własności topologii jako podzbiorów zbioru potęgowego $\sP(X)$ , czyli zbioru wszystkich podzbiorów zbioru $X$ , oznaczanego też czasem $2^X$ :

Zbiór topologii w $X$ jest częściowo uporządkowany przez inkluzję rodzin.
W dowolnym zbiorze $X$ definiuje się dwie topologie: minimalną (antydyskretną) ${\cal T}_{\alpha\delta} = \{\emptyset , X\}$ oraz maksymalną (dyskretną) ${\cal T}_{\delta} = {\cal P}(X).$ Dla dowolnego zbioru $X$ przestrzeń $(X,\sT_{\alpha\delta})$ nazywamy przestrzenią antydyskretną, a przestrzeń $(X,\sT_{\delta})$ nazywamy przestrzenią dyskretną.
Dla dowolnej topologii $\cal T$ w $X:\quad {\cal T}_{\alpha\delta} \subset {\cal T} \subset {\cal T}_{\delta}$ .

Stwierdzenie Jeśli $\{{\cal T}_s\}_{s\in S}$ jest rodziną topologii w zbiorze $X$ , to ich przecięcie $\bigcap\limits_{s\in S} {\cal T}_s$ też jest topologią.