Topologie pochodzące od metryki

Definicja [Metryka] Metryką w zbiorze X nazywa się funkcję $ d\colon X \times X \to \R $ spełniającą następujące warunki:

  1. $ d(x, y) = 0 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ x = y $,
  2. $ d(x, y) = d(y, x) $, dla $ x, y \in  $X,
  3. $ d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y), $ dla $ x, y, z \in X. $ (nier. trójkąta)

Liczba $ d(x,y) $ nazywa się odległością punktów $ x, y \in X $ w metryce $ d $. Parę $ (X, d) $ nazywamy przestrzenią metryczną.

Uwaga Jeśli $ A\subset X $ jest dowolnym podzbiorem przestrzeni metrycznej $ (X,d_X) $, to obcięcie odwzorowania $ d $ do zbioru $ A\times A $ zadaje metrykę na $ A $ - odpowiednią przestrzeń metryczną oznaczamy $ (A,d_X|A) $.
Definicja Kulą (otwartą) w przestrzeni metrycznej $ (X, d) $ o środku w punkcie $ x_0\in X $ i promieniu $ r > 0 $ nazywamy zbiór

$$B(x_0, r) := \{x \in X\, |\, d(x_0, x) < r\},$$

a kulą domkniętą zbiór $ D(x_0, r) := \{x \in X\, |\, d(x_0, x) \leq r\} $

Stwierdzenie Niech $ (X, d) $ będzie przestrzenią metryczną. Rodzina podzbiorów zbioru $ X $:

$$\sT (d) := \{U\subset X\,|\, \forall_{x\in U}\exists_{r>0}\,  B(x,r)\subset U\}$$

czyli składająca się z sum kul otwartych, jest topologią w $ X, $ spełniajacą warunek Hausdorffa.

Dowód: Spełnienie przez zdefinowaną wyżej rodzinę warunków (1), (2) w definicji topologii [link] jest oczywiste. Jeśli $ U_1,.., U_k\in\sT(d) $ oraz $ x\in  U_1\cap...\cap U_k $ i dla każdego $ i=1,..,k $ istnieje liczba $ r_i>0 $ taka, że $ B(x,r_i)\subset U_i $, to dla $ r := \min \{r_1,..,r_k\} $ zachodzi inkluzja $ B(x,r)\subset U_1\cap...\cap U_k. $

Zauważmy, że dowolna kula otwarta $ B(x,r)\in\sT(d) $, bowiem dla dowolnego punktu $ y\in B(x,r) $ z nierówności trójkata wynika, że dla $ s := r - d(x,y) $ zachodzi inkluzja $ B(y,s)\subset B(x,r). $

Podobnie warunek Hausdorffa wynika natychmiast z warunku (1) i z nierówności trójkąta. Jeśli $ x_1,x_2\in X $ są różnymi punktami i $ d := d(x_1,x_2)>0 $ to kule $ B(x_1,\frac{d}{2}) $ i $ B(x_2,\frac{d}{2}) $ są rozłącznymi otoczeniami otwartymi tych punktów. □

Nie każda topologia pochodzi od metryki, choćby dlatego, ze nie każda ma własność Hausdorffa. Z drugiej strony dwie różne metryki mogą wyznaczać tę samą topologię. Np. dla dowolnej metryki $ d $ jej ''obcięcie'' z góry przez dowolną liczbę $ >0 $ np. 1, czyli $ d'(x,y) := \min\{d(x,y),1\} $ wyznacza tę samą topologię co $ d $ bowiem kule o promieniu $ <1 $ są w obu metrykach identyczne. Stąd następna definicja:

Definicja [Metryki równoważne i topologia metryzowalna] Metryki $ d_1, d_2 $ w zbiorze $ X $ nazywają się równoważne jeśli $ \sT (d_1) = \sT(d_2). $ Jeśli $ (X,\sT) $ jest przestrzenią topologiczną taką, że istnieje metryka $ d $ na $ X $ taka, że $ \sT = \sT(d) $ to mówimy, że przestrzeń $ (X,\sT) $ jest metryzowalna.
Stwierdzenie Jeśli przestrzeń $ (X,\sT_X) $ jest metryzowalna, a przestrzeń $ (Y,\sT_Y) $ jest z nią homeomorficzna, to jest także metryzowalna.
Dowód: Jeśli $ g:(Y,\sT_Y) \to (X,\sT_X) $ jest homeomorfizmem, a $ d_X:X\times X\to\R $ metryką taką, że $ \sT_X=\sT(d_X) $ to definiujemy metrykę ''przenosząc'' ją przez odwzorowanie $ g $ : $ d_Y:Y\times Y\to\R $ wzorem $ d_Y(y_1,y_2) := d_X(g(y_1),g(y_2)). $
Stwierdzenie Odwzorowanie $ (X,\sT(d_X))\arr f (Y,\sT(d_Y)) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $ {x_0\in X} $ i dla każdej liczby $ \epsilon >0 $ istnieje liczba $ {\delta >0} $ taka, że $ f(B(x_0,\delta))\subset B(f(x_0),\epsilon). $
Definicja Ciąg punktów $ \{x_n\} $ przestrzeni metrycznej $ (X,d) $ jest zbieżny do punktu $ x_0\in X $ wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnej liczby $ \epsilon >0 $ istnieje liczba $ n(\epsilon) $ taka, że dla wszystkich $ n>n(\epsilon),\, x_n\in B(x_0,\epsilon) $ tzn. $ d(x_n,x_0)<\epsilon . $
Stwierdzenie $ (X,\sT(d_X))\arr f (Y,\sT(d_Y)) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy zachowuje granice ciągów, tzn.

$$ x_0 = \lim \{x_n\} \implies  f(x_0) = \lim \{f(x_n)\}.$$
Dowód: Powtórz dowód równoważności definicji ciagłości wg Heinego i Cauchy znany z Analizy Matematycznej I.□