Torus

Torusem nazywamy produkt dwóch okręgów $ S^1\times S^1 $ . Zauważmy, że tak zdefiniowany torus jest w naturalny sposób podprzestrzenią w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej: $ S^1\times S^1\subset \C\times\C. $ Można go jednak zanurzyć w $ \R^3 $ oraz przedstawić jako przestrzeń ilorazową kwadratu (Wizualizacja p. Neil Strickland web page ).

Zauważmy też, że torus jest grupą topologiczną - mnożenie zdefiniowane jest przez mnożenie zespolone współrzędnych; to działanie a także branie elementu odwrotnego są odwzorowaniami ciągłymi.

Stwierdzenie Następujące przestrzenie są homeomorficzne z torusem:

  1. $ T' $ -- powierzchnia w $ \R^3 $ otrzymaną przez obrót wokół osi $ x_3 $ okręgu położonego w płaszczyźnie $ x_2=0 $, który nie przecina osi $ x_3 $.
  2. $ T'' $ -- przestrzeń ilorazowa $ [-1,1]\times [-1,1]/\sim $ gdzie $ (-1,t)\sim (1,t),\, (s,1)\sim (s,-1) $ a pozostałe klasy abstrakcji są jednopunktowe.

Torus jest przestrzenią zwartą, w której każdy punkt posiada otoczenie homeomorficzne z $ \R^2 $.

Dowód: Torus jest zwarty jako produkt kartezjański dwóch przestrzeni zwartych. Dla dowolnego punktu torusa $ (z_1,z_2) $ zbiór $ (S^1\setminus \{z_1\})\times (S^1\setminus \{z_2\}) $ jest zbiorem otwartym, homeomorficznym z $ \R^2 $ i zbiory tej postaci oczywiście pokrywają torus.

Homeomorfizm $ [-1,1]\times [-1,1]/\sim \to S^1\times S^1 $ jest zadany przez odwzorowanie $ p(s,t) := (\exp \pi t, \exp \pi s ) $. Wzory na zanurzenie torusa w przestrzeń $ \R^3 $ podane są w Neil Strickland web page oraz opisane w skrypcie Michał Krych, Analiza Matematyczna 2, Funkcje wielu zmiennych - ciągłość . □

Stwierdzenie Dla dowolnych dwóch punktów torusa $ (z_1,z_2) $ i $ (w_1,w_2) $ istnieje homeomorfizm $ h\colon T\to T $ taki, że $ h(z_1,z_2)= (w_1,w_2). $
Dowód: Definiujemy $ h(u_1,u_2):= (u_1,u_2)(z_1,z_2)^{-1}(w_1,w_2) =  (u_1z_1^{-1}w_1, u_2z_2^{-1}w_2) $. □
Stwierdzenie Niech $ p\in T $ będzie dowolnym punktem. Przekłuty torus $ T\setminus\{p\} $ jest homotopijnie równoważny z bukietem okręgów $ S^1\vee S^1 $, a więc

$$H^1(T\setminus\{p\}) = [S^1\vee S^1,S^1] \simeq \Z\times\Z.$$
Dowód: Wybierzmy model torusa jako przestrzeni ilorazowej kwadratu i punkt $ p:=(0,0)\in [-1,1]\times [-1,1] =: J^2 $. Odwzorowanie $ [-1,1]\times [-1,1]\setminus \{p\} \to T $ pozostaje ilorazowe. Oczywista retrakcja przekłutego kwadratu na jego (euklidesowy) brzeg $ r\colon J^2\setminus \{p\} \to \partial J^2 $ wyznacza odwzorowanie retrakcję $ \bar r\colon (J^2\setminus \{p\})/\sim\,  \to (\partial J^2)/\sim $. Odwzorowanie $ \bar r\colon (J^2\setminus \{p\})/\sim\,  \to (\partial J^2)/\sim \subset (J^2\setminus \{p\})/\sim $ jest homotopijne z identycznością; homotopia jest wyznaczona przez afiniczną homotopię $ r\colon J^2\setminus \{p\} \to \partial J^2\subset J^2\setminus \{p\}  $ z identycznością. Z definicji bukietu wnika, że $ (\partial J^2)/\sim \subset J^2/\sim $ jest bukietem okręgów. □
Uwaga Teza Stw. pozostaje prawdziwa jeśli zamiast punktu wyjmiemy z torusa mały dysk lub kwadrat np. $ \bar B(0;\epsilon) $ lub $ [-\epsilon,\epsilon]\times [-\epsilon,\epsilon] $ gdzie $ 0<\epsilon < 1. $
Twierdzenie Włożenie $ j\colon S^1\vee S^1\subset S^1\times S^1 $ definiuje izomorfizm

$$j^*\colon [S^1\times S^1,S^1] \arr {\simeq} [S^1\vee S^1,S^1]\simeq \Z\times\Z.$$
Dowód: Homomorfizm $ j^* $ jest epimorfizmem. Jeśli $ f\colon S^1\vee S^1 \to S^1 $ jest pewnym odwzorowaniem, to definiujemy jego rozszerzenie na cały torus wzorem: $ \bar f(z_1,z_2) := f(z_1,1)f(1,z_2) $. Wykażemy, że $ j^* $ jest monomorfizmem. Załóżmy więc, że obcięcie przekształcenia $ g\colon S^1\times S^1\to S^1 $ do bukietu $ S^1\vee S^1 $ jest homotopijne z przekształceniem stałym. Podobnie jak w dowodzie Tw. [link] , stosując Tw. [link] , dla takiego $ g $ skonstruujemy jego logarytm $ \tilde g\colon S^1\times S^1\to \C $. Niech $ p=(-1,-1)\in T $ i rozłóżmy torus na sumę dwóch podzbiorów otwartych $ T = U_1\cup U_2 $ gdzie $ U_1 :=(T\setminus\{p\}) $ a $ U_2 :=((S^1\setminus\{1\})\times (S^1\setminus\{1\})) $. Zbiór $ U_2 $ jest oczywiście homeomorficzny z otwartym kwadratem $  (-1,1)\times (-1,1) $, a więc jest ściągalny. Na mocy Stw. [link] włożenie $ S^1\vee S^1 \subset T\setminus\{p\} $ jest homotopijną równoważnością. Stąd wynika, że dla $ i=1,2 $ obcięcie $ g|U_i $ posiada logarytm. Ponieważ przecięcie $ U_1\cap U_2 $ jest spójne (homeomorficzne z przekłutym kwadratem), a więc na mocy Wniosku [link] odwzorowanie $ g $ posiada logarytm, czyli na mocy Tw. [link][link] jest odwzorowaniem ściągalnym. □
Stwierdzenie Torus nie jest homeomorficzny ze sferą.
Dowód: Jeśli $ h\colon T\to S^2 $ byłoby homeomorfizmem (a nawet tylko homotopijną równoważnością), to $ h^*\colon 0=H^1(S^2)\to H^1(T)\neq 0 $ byłoby bijekcją, co jest niemozliwe. □